PRESENTACIÓN MATEMÁTICAS

Ángela Fernández 4ºB Nº7

TRABAJO FINAL MATES

ÍNDICE

8. Definión de probabilidad. Propiedades

1. Introducción

2. Historia de la combinatoria

9. Ley de Laplace

2. Binomio de Newton

10. Probabilidad condicionada. Indepenmdencia

3. Triángulo de Pascal o Tartaglia.

4. Relación entre los dos anteriores.

11. Regla de la probabilidad total

5. Experiementos y sucesos

12. Teorema de Bayes

6. Operaciones con sucesos Unión, intersección, resta. Diagrama de Venn

13. Aplicaciones

14. Conclusión, valoración personal

15. Bibliografía

Introducción

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2. Historia de la combinatoria

La combinatoria es la rama de las matemáticas que estudia las posibles agrupaciones de elementos partiendo un conjunto dado. Teniendo en cuenta 3 datos: - Si influye el orden. - Sí entran todos los elementos. - Si hay repetición.

CRONOLOGÍA

S. XVII

S. XVIII

S. XIX

S. XX

3. Binomio de Newton

El descubrimiento de este teorema se le atribuye a Isaac Newton (1642-1727). en el siglo XVII consiguió transformar una expresión polinómica en una serie infinita. En 1665, demostró que la potencia de un binomio también se puede solucionar si el exponente es una fracción. Por otro lado también hizo la demostración con un caso de exponente negativo. También es conocido como teorema del binomio, es una fórmula que nos permite calcular con rapidez una potencia de un binomio. Es decir podemos resolver binomios del tipo (a+b)n.

Para resolver la fórmula de arriba necesitamos saber cómo resolver un número combinatorio el cual tiene la siguiente forma:

EJEMPLO

Aplica el binomio de Newton para calcular la potencia del siguiente binomio:

4. TRIÁNGULO DE PASCAL O TARTAGLIA

Es la representación matemática de números ordenados en un triángulo.Fue en 1654 cuando el filósofo y matemático francés Blaise Pascal introdujo esta expresión. A la hora de construir un Triángulo de Pascal hay que tener en cuenta varias cosas: 1) La cúspide siempre es 1 2) Los siguientes números de las filas posteriores son siempre la suma de los dos que tiene arriba. 3) Los extremos EN TODAS LAS FILAS también son 1. Normalmente esta relacionado con el campo de la álgebra y se utiliza para calcular números combinatorios. Cada coeficiente binomial equivale a un número en el triángulo. El Triángulo de Pascal puede ser usado en combinatoria y probabilidad.

EJEMPLOS PROPIEDADES

5. RELACIÓN ENTRES LAS DOS EXPRESIONESQUÍ

La relación es bastante sencilla. Para hacer más sencillo el cálculo de números combinatorios, podemos utilizar el Triángulo de Pascal para no complicarnos tanto.

EJEMPLO

6. EXPERIMENTOS Y SUCESOS

Los experimentos aleatorios son aquellos que no pueden predecir sus resultados. Son aleatorios si: 1) Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. 2) Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. 3) El resultado obtenido, e, es parte del conjunto conocido previamente de resultados posibles. Esto es denominado espacio muestral = E y los elementos = sucesos elementales.

= Subconjuntos de E expresado con A y B.

7. OPERACIONES CON SUCESOS. UNIÓN, INTERSECCIÓN, RESTA.

Un suceso es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.Las operaciones con sucesos que se pueden llevar a cabo son:

• Unión de sucesos ⇢ el resultado de que suceda A o B
• Intersección de sucesos ⇢ se cumplen dos resultados al mismo tiempo: A = a y B = b
• Diferencia de sucesos ⇢ El resultado es A = a pero B no es = a b.

8. PROBABILIDAD Y PROPIEDADES

La probabilidad como ya he mencionado al inicio de este trabajo, es el cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar.

9. LEY DE LAPLACE

III

EJEMPLO De un dado: Probabilidad de que salga un 6 en una tirada. Casos probables=1 posibilidad de que salga la cara con el número 6 Casos posibles=6 caras con un número diferente en cada una (1,2,3,4,5,6) P(Z)= ⅙

II

La Ley de Laplace es una fórmula muy utilizada para calcular probabilidades de un experimento aleatorio cuando los sucesos tienen la misma probabilidad de aparecer, más concretamente, esta ley establece la relación entre los casos probables y los casos posibles dada una variable aleatoria.

FÓRMULA: P(Z)= Casos probables/Casos Posibles

10. PROBABILIDAD CONDICIONADA. INDEPENDENCIA

La probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurre otro evento B y se describe de la siguiente forma P(A/B). La forma matemática es = P(A/B)=P(A∩B)/P(B) La independencia entre sucesos en probabilidad sucede cuando la ocurrencia de un suceso A no afecta a otro suceso B. En este caso la forma de expresarlo es la siguiente: P(A/B)=P(A) P(B/A)=P(B)

11. REGLA DE LA PROBABILIDAD FINAL

EJEMPLO

Esta regla nos ayuda a calcular la probabilidad de un evento A a partir de las probabilidades condicionadas de cada uno de las particiones condicionadas a que ocurra el evento A. P(A)= P(AB 1)+ P(AB 2)+ ….+ P(ABk)

Supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidente es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%.

12. TEOREMA DE BAYES

Es un teorema de probabilidades condicionadas. El teorema de Bayes vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Entiende las probabilidades de forma inversa a la Regla de la probabilidad total. El Teorema de Bayes calcula la probabilidad de causa una vez sabida la probabilidad de la consecuencia cuando en la mayoría de los casos es al revés, conocida la probabilidad de la causas hallar la probabilidad de la consecuencia. Lo singular de este Teorema es que su creador Thomas Bayes (1702-1761) nunca lo publicó porque lo consideraba relevante, fue dado a conocer al público por un amigo suyo Richard Price.

13. APLICACIONES

Este teorema ha sido aplicado en numerosas ciencias por su capacidad para predecir eventos aleatorios.

EJEMPLOS

En la bioquímica: deducir enfermedades basándose en muestras de sangre.

En la medicina: la probabilidad de una persona para padecer cáncer.

En la economía: para análisis de inversiones financieras.

14. CONCLUSIÓN

Personalmente me ha parecido un trabajo muy interesante. Con él, podría atreverme a decir, que he aprendido más que en todo el curso de mates de este año. He investigado sobre las mates, cosa que me gusta y me ha despertado una curiosidad hacia estos puntos tratados en el trabajo. En general creo que he hecho un buen trabajo, esta bastante completo y bien explicado, junto con imágenes que aportan una ayuda visual al lector igual que los ejemplos.

15. BIBLIOGRAFÍA

• https://cienciadehoy.com/ejemplos-de-probabilidad-de-la-vida-real/

• https://jobscareerquestions.com/una-profesion-que-utiliza-la-probabilidad/

• https://www.polinomios.org/binomio-de-newton-o-teorema-del-binomio-formula-y-ejercicios-resueltos/

• https://www.polinomios.org/triangulo-de-tartaglia-o-de-pascal/

• https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/estadistica-y-probabilidad/operaciones-con-sucesos/

• https://economipedia.com/definiciones/ley-de-laplace.html

• https://espanol.libretexts.org/Ingenieria/Ingenier%C3%ADa_Industrial_y_de_Sistemas/Libro%3A_Din%C3%A1mica_y_Controles_de_Procesos_Qu%C3%ADmicos_(Woolf)/13%3A_Estad%C3%ADsticas_y_antecedentes_probabil%C3%ADsticos/13.04%3A_Regla_Bayes%2C_probabilidad_condicional_e_independencia

• https://www.youtube.com/watch?v=heEfntnBy8c

• https://www.youtube.com/watch?v=nod4kJW-Zas

• https://www.youtube.com/watch?v=KrvsiHh1ThA

• https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes