Funciones- María Casado y Marta Casado

FUNCIONES

María Casado y Marta Casado

¡Vamos!

Índice

Estudio de funciones

Introducción

Tipos de funciones

Bibliografía

1. Introducción

Las funciones son una parte fundamental de las matemáticas y tienen una amplia gama de aplicaciones en diversas áreas del conocimiento. Las funciones se pueden expresar de diferentes maneras, como mediante una ecuación algebraica, una tabla de valores o un gráfico. Al analizar una función, podemos examinar sus propiedades, como su dominio o su recorrido , su comportamiento en diferentes regiones y si es creciente, decreciente o constante. En resumen, las funciones son relaciones matemáticas que asignan valores de entrada a valores de salida. Son una herramienta poderosa para describir y analizar situaciones en muchas áreas del conocimiento. El estudio de las funciones nos permite comprender patrones, predecir comportamientos y resolver problemas de manera sistemática.

Función recta

Función cuadrática

2. Tipos de funciones

Proporcionalidad inversa

2.1 Tipos de funciones: función recta

La ecuación se puede expresar de tres maneras: 1. Ecuación explícita: y= mx + n 2. Ecuación punto-pendiente: y0 + y = m· (x0 + x) 3. Ecuación general/implícita: ax + by + c = 0 Además puede ser lineal si pasa por el punto (0,0) o afín. En estas funciones, se debe calcular la pendiente para saber el número de unidades en el 'eje y' que varía por unidad en el 'eje x'. Esta se puede observar gráficamente desde cualquier punto de la recta o matemáticamente usando dos puntos: A= (x1, y1) y B= (x2, y2). Veamos un ejemplo:

Función afín

Función lineal

y= 4x + 8 Para calcular su pendiente (m), debemos escoger dos puntos. En este caso serán los puntos de corte (0,8) y (-2,0). A continuación, sustituimos la x y la y en la fórmula dada anteriormente:

2.2 Tipos de funciones: función cuadrática

Se expresa como: ax2 + bx + c El vértice solo se necuentra en este tipo de funciones y es el punto más alto o más bajo de la gráfica correspondiente a dicha función. Cualquier cosa que suceda a la izquierda de este punto será un reflejo exacto de lo que sucede a la derecha. También hay dos tipos de función cuadrática; cóncava (a > 0) o convexa (a < 0). Veamos un ejemplo

Cóncava

Convexa

y=4 x2+4 x+2 Para calcular su vértice (V), debemos sustituir la función en la fórmula dada: Sustituimos en la función:

2.3 Tipos de funciones: función de proporcionalidad inversa

Se expresa como y= k/x Si k < 0, la función estará en el 1er y 3er cuadrante. Pero si k > 0, se encontrará en el 2º y 4º cuadrante En este tipo de funciones siempre habrá asintotas verticales y horizontales, que son rectas a la cuales se aproxima la función pero sin llegar nunca a tocarlas.

k > 0 (y= 4/x)

k= valor numérico

k < 0 (y= -4/x)

3. Estudio de funciones

Dominio y recorrido

Signo

Monotonía

¿Qué es el estudio de funciones? Es el estudio de las características de lafunción para poder describir con precisión los fenómenos que representan.

Curvatura y puntos de inflexión

Puntos de corte

Puntos extremos

Discontinuidad

3.1 Estudio de funciones: dominio y recorrido

¿Qué es el dominio? Es el conjunto de valores para los cuales está definida. Este, se debe estudiar de izquierda a derecha. Los paréntesis los ponemos para indicar que desde/hasta ese punto pertenecen al dominio, sin incluirlo y los corchetes los ponemos para indicar que desde/hasta ese punto pertenecen al dominio, incluido. Hay dos formas de representarlo: - Si es expresión analítica, se determinan los valores de x en los que la función no está definida y se quitan de ℝ. - Si lo que tenemos es la gráfica de la función, el dominio se calcula proyectando la función sobre el eje horizontal x. ¿Qué es el recorrido? El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la función en el eje y. Se debe estudiar de abajo a arriba. El comportamiento de los paréntesis y corchetes es el mismo que en el dominio.

Dominio= (-∞, +∞) Recorrido= (-∞, +∞)

3.2 Estudio de funciones: signo

¿Qué es el signo?Son puntos en la función que se encuentran por encima o por debajo del eje x. Se estudia de izquierda a derecha. Los paréntesis y corchetes funcionan al igual que en el recorrido y el dominio. Hay tres tipos de signos: - Positivo: la función está por encima del eje x. - Negativo: la función está por debajo del eje x. - Nulo: la función toca el eje x

Signo: Positivo= (-0'8, +∞) Negativo= (-∞, -0'8) Nulo x= -0'8

3.3 Estudio de funciones: monotonía

¿Qué es la monotonía? Es el estudio del crecimiento y decrecimiento de la función. No hay corchetes, sólo paréntesis. Hay tres tipos de monotonía: - Creciente: la función crece - Decreciente: la función decrece - Constante: la función ni crece ni decrece

Monotonía: Creciente= (-∞, +∞)

3.4 Estudio de funciones: curvatura y puntos de inflexión

¿Qué es la curvatura? Es el estudio en el que una función deja de ser recta y se vuelve cóncava o convexa. Es cóncava cuando el segmento que une dos puntos cualesquiera del intervalo siempre queda debajo de la gráfica y convexa cuando queda por encima. Solo se utilizan paréntesis ¿Qué son los puntos de inflexión? Son puntos en los que la función cambia su curvatura, es decir, cuando pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava.

Curvatura: Cóncava= (-∞, 0) Convexa= (0, +∞) Pto inflexión: (0,0)

3.5 Estudio de funciones: puntos de corte

¿Qué son los puntos de corte? Puntos incluidos en la función y que se encuentran sobre alguno de los dos ejes. En ellos la función puede cambiar de signo. Solo permiten paréntesis y nunca puede haber más de un punto de corte en el eje y

Ptos de corte: Eje x= (-0'8,0) Eje y= (0, 4)

3.6 Estudio de funciones: puntos extremos

¿Qué son los puntos extremos? Puntos donde cambia el crecimiento de la función. Si cambia de decreciente a creciente se denomina mínimo y si cambia de creciente a decreciente se denomina máximo. Hay dos tipos; relativos y absolutos. Los absolutos tienen su imagen más alta (máximo absoluto) o más baja (mínimo absoluto). Los relativos tienen continuidad alrededor de un punto y tienen la imagen más alta (máximo relativo) o más baja (mínimo relativo).

Ptos extremos: Mínimo relativo= (-1'4, -5'7) Máximo relativo= (1'4, 5'7)

3.7 Estudio de funciones: discontinuidad

¿Qué es la discontinuidad? Es un punto en el que se rompre la continuidad, es decir, son puntos de la gráfica donde hay que levantar el trazo para dibujarla. Hay tres tipos de discontinuidades: - Salto finito - Salto infinito - Asintótico

En este caso, no hay discontinuidad

Bibliografía

https://matematicas-para-todos6.webnode.mx/blog/obtencion-del-vertice-de-una-funcion/#:~:text=El%20v%C3%A9rtice%20de%20una%20e,que%20sucede%20a%20la%20derecha https://www.fisicalab.com/apartado/asintotas-funcion#:~:text=Una%20as%C3%ADntota%20es%20una%20recta,sin%20llegar%20nunca%20a%20tocarla.&text=La%20palabra%20as%C3%ADntota%20proviene%20del%20griego%20asumptotos%20que%20significa%20sin%20encontrarse https://www.fisicalab.com/apartado/caracteristicas-funciones Apuntes tema 5 - Funciones de Ana Casado y Miguel Ángel Sanz Libro de Matemáticas de 3ºESO - EDELVIVES

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