Números complejos

Números complejos.

Algebra Lineal

origen de los números complejos

El matemático francés, René Descartes, fue el primero en enfatizar la naturaleza imaginaria de los números, planteando que "uno puede imaginar tantos números en cada ecuación, pero a veces no existe una cantidad que coincida con lo que imaginamos" El concepto de los números complejos se remonta al siglo XVI gracias al aporte del matemático italiano Gerolamo Cardano, quien demostró que teniendo un término negativo dentro de una raíz cuadrada se puede obtener la solución a una ecuación. En el siglo XVIII, el matemático Carl Friedrich Gauss, consolidó las premisas de Cardano, además de desarrollar un tratado sobre números complejos en un plano, estableciendo las bases modernas del término.

Definición de números complejos

Combinación de números reales e imaginarios. La parte real puede ser expresada por un número entero o sus decimales, mientras que la parte imaginaria es aquella cuyo cuadrado es negativo. Son expresiones de esta forma (a + b i), donde a y b son números Reales. El número a se llama parte Real El término b i se llama parte Imaginaria

características principales de los números complejos

• Los números reales que intervienen en una fórmula de números complejos pueden expresarse en forma par, binómica y vectorial.
• La unidad de los números imaginarios se denomina i y es el equivalente a 1 de los números reales. Asimismo, la raíz cuadrada de i es -1.
• Dos números complejos se consideran iguales cuando tienen el mismo componente real e imaginario.

• C = conjunto de todos los números complejos. C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones.
• No pueden mantener un orden.
• Existen los números imaginarios puros, cuya parte real es 0 y su fórmula se representa de la siguiente manera: 0 + bi = bi.

Representación Grafíca

los números complejos están representados en ejes cartesianos, en el que el eje X se conoce como eje real y Y como eje imaginario. La fórmula de números complejos a + bi está representada a través del punto o extremo (a,b) denominado afijo o por medio de un vector de origen (0,0).

Suma y resta de numeros reales

Para sumar dos números complejos se tiene que sumar por separado las partes reales y las partes imaginarias

Ejemplo: (4-3i)+ (6+7i) = (4+6) +(-3i+7i) = 10+4 i

Para restar dos números complejos se tiene que restar por separado las partes reales y las partes imaginarias

Ejemplo: (5-8i)- (7+6i) = (5-7) -((-8i)-(-6i)) = -2+2 i

Multiplicación

En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegamos a un resultado donde encontramos i2, donde i2 = -1.

Ejemplo

División de números complejos

Para dividir dos números complejos en forma binómica, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplo

Potencias de i

La unidad imaginaria está definida como la raíz cuadrada de –1. Así, i2 = –1 i3 puede ser escrito como ( i 2 ) i , que es igual a (–1) i o simplemente – i . i4 puede ser escrito como ( i 2 )( i 2 ), que es igual a (–1)(–1) o 1. i5 puede ser escrito como ( i 4 ) i , que es igual a (1) i o i .

Por lo tanto, el ciclo se repite cada cuatro potencias

Forma polar de un número complejo

La forma polar de un número complejo es otra forma de representar un número complejo. La forma z = a + bi es llamada la forma coordenada rectangular de un número complejo.El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Encontramos los componentes reales y complejos en términos de r y θ donde r es la longitud del vector y θ es el ángulo hecho con el eje real.

Forma exponencial de un número complejo

A partir de la función exponencial compleja se define la forma exponencial de un número complejo. Se cumple que: z=r( cos⁡ϕ+isenϕ )=r e iϕ siendo r=| z |  ,ϕ=arg⁡( z ) . Así, por ejemplo, el número complejo z=1+i puede escribirse de las siguientes formas: binómica: z=1+i polar: 2 ∏/4 trigonométrica: 2 ( cos⁡ ∏ 4 +i sen ∏ 4 ) forma exponencial: 2   e i ∏ 4

No debes confundir la forma exponencial de un número complejo con la exponencial de dicho número complejo. En el primer caso se trata de una forma de escribir el número (igual que la forma binómica, polar o trigonométrica).

Teorema de Moivre

El teorema de Moivre aplica procesos fundamentales de álgebra, como las potencias y la extracción de raíces en números complejos. El teorema fue enunciado por el reconocido matemático francés Abraham de Moivre (1730), quien asoció los números complejos con la trigonometría. Formula:

ecuaciones polinómicas

ax + b = 0. Donde: a y b son números reales y a ≠ 0. ax es el término lineal. b es el término independiente.

Primer grado

Las ecuaciones polinómicas son un enunciado que plantea la igualdad de dos expresiones o miembros, donde al menos uno de los términos que conforman cada lado de la igualdad son polinomios P(x). Estas ecuaciones son nombradas según el grado de sus variables.

ax2 + bx + c = 0. Donde: a, b y c son números reales y a ≠ 0. ax2 es el término cuadrático, y “a” es el coeficiente del término cuadrático. bx es el término lineal, y “b” es el coeficiente del término lineal. c es el término independiente.

Segundo grado

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