NUMERI RAZIONALI: FRAZIONI E DECIMALI

RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DEI NUMERI RAZIONALI

Prima di iniziare... ricordiamo cosa sono i numeri razionali!

L'insieme dei numeri razionali (indicato con il simbolo Q) contiene tutti quei numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione, con nominatore e denominatore costituito da numeri interi.

L'insieme dei numeri naturali, N, è un sottinsieme dell'insieme Q.

Cos'è un numero decimale?

Un numero è decimale se la sua rappresentazione contiene una virgola. La scrittura dei numeri con la virgola segue questo schema:

I numeri decimali possono essere posizionati sulla semiretta numerica.

Ricorda: Una frazione non è altro che la rappresentazione tramite divisione tra due numeri interi, presenti a numeratore e denominatore, di un numero con la virgola.

Ogni numero decimale limitato può essere rappresentato tramite una frazione:

1,472 può essere scritto come:

Come posso fare per scrivere la frazione generatrice di un numero decimale limitato in modo rapido? Osserva l'esempio!

Per ottenere la frazione generatrice partendo da un numero decimale limitato, si prende:

• per numeratore lo stesso numero decimale levandogli la virgola
• per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola
• se fosse necessario, si riduce la frazione ai minimi termini

Scrivi la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali finiti:

12,783 10,92 0,04 33,2 198,02 0,056 1,005 9,2 84,1 100,005

Come posso passare da una frazione decimale a un numero decimale?

NB: Le frazioni che hanno come denominatore potenze di 10 sono dette frazioni decimali.

Ricorda: la linea di frazione corrisponde al simbolo di divisione

Basta ricordarsi come dividere per 10, 100, 1000, etc!

1. Scriviamo il numeratore
2. Si devono togliere tanti zeri quanti sono quelli di 10, 100, 1000 oppure spostare la virgola verso sinistra di tanti posti quanti sono gli zero

Ricorda: in coda a un decimale si possono aggiungere o togliere tanti zeri quanti si vuole, senza cambiare il suo valore!

Operazioni con i decimali

Per sommare o sottrarre due o più decimali tra loro devo prestare attenzione ad allineare in colonna in modo corretto ciascuna cifra:

Tutte le virgole si devono trovare sulla stessa immaginaria retta verticale

Operazioni con i decimali

Per moltiplicare due o più decimali tra loro devo eseguire la moltiplicazione in colonna come se non ci fossero virgole:

Le virgole non devono essere allineate. Quando ho ottenuto il risultato, segno la virgola in modo tale che il prodotto abbia lo stesso numero di cifre decimali quante ne hanno in totale i due fattori.

Operazioni con i decimali

Per dividere un numero decimale per un numero naturale devo eseguire la divisione come se non ci fossero virgole:

Quando si incontra la prima cifra decimale del dividendo, si aggiunge una virgola al quoziente.

Operazioni con i decimali

Come posso dividere un numero naturale per un decimale (o due decimali tra loro)?

Ricorda: la divisione possiede la proprietà invariantiva (moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero, il risultato non cambia).

Operazioni con i decimali

Applicando la proprietà invariantiva e moltiplicando entrambi i termini per 10, 100, 1000 o per la potenza di dieci necessaria, ottengo una divisione come quelle mostrate in precedenza!

Finora abbiamo lavorato con numeri decimali limitati, ovvero che hanno un numero finito di cifre dopo la virgola. Es. 34,721 Ma proviamo ad eseguire l'operazione:

1 : 3 = ?

1 : 3 = 0,3333333...

Potremmo andare avanti all'infinito, senza ottenere MAI resto 0!Il quoziente di 1:3 è un numero illimitato periodico.

• Illimitato: perchè dopo la virgola ci sono infinite cifre (diverse da 0)

• Periodico: perchè una o più delle sue cifre si ripetono ciclicamente

Esistono due tipi di numeri periodici:

Le cifre prima del periodo si chiamano antiperiodo.

Le cifre che si ripetono vengono chiamate periodo e si indicano con un trattino orizzontale.

Nei numeri periodici semplici c'è subito il periodo dopo la virgola. Nei numeri periodici misti c'è almeno un decimale dopo la virgola (antiperiodo), prima del periodo.

Come posso passare da un numero decimale periodico alla sua frazione generatrice?

1. Al numeratore scrivo l'intero numero senza la virgola e sottraggo tutto ciò che viene prima del periodo ( parte intera e antiperiodo, se presente)
2. Al denominatore scrivo tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo

Trova la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali periodici:

Fai attenzione a periodo e antiperiodo!

Se frazioni e numeri decimali sono due modi diversi per rappresentare la stessa quantità, quando mi conviene usare uno o l'altro modo?

In generale:

• Quando voglio ottenere dei risultati di calcolo esatti, è meglio rappresentare i numeri razionali sottoforma di frazioni

• Quando voglio solamente confrontare due numeri senza eseguire calcoli complicati, meglio rappresentarli come numeri decimali

Come può una calcolatrice riuscire a rappresentare un numero decimale illimitato?

FINE!