Schéma en barres et résolution de problèmes-EGPA

Schémas en barres

et résolution de problèmes

Formateurs : BRIAND Saphia - EDOUARD Christelle

INDEX

Manipuler-verbaliser-abstraire

Schématisation en barres

Introduction

Des statistiques...

Apport théorique

Apport Théorique

Des outils

C'est à vous

C'est à vous

VIDEO D'INTRO

D'après les 21 mesures pour l'enseignement des mathématiques (rapport Villani-Torossian en 2018)

Efficacité, plaisir et ambition pour tous

4 - Équipement Proposer à toutes les écoles un équipement de base, accompagné de tutoriels, favorisant les manipulations d’objets réels ou virtuels.

5 - Les étapes d’apprentissage Dès le plus jeune âge mettre en oeuvre un apprentissage des mathématiques fondé sur :

La et ;

manipulation l’expérimentation

la verbalisation;

l’abstraction.

Différents problèmes dont la résolution par le calcul est identique:

3+5 = 8

Paul a 3 billes. Pierre a 5 billes. Combien ont-ils de billes ensemble ?

Paul avait 3 billes. Il en gagne 5 à la récréation. Combien a-t-il de billes maintenant ?

Paul avait des billes. Il en perd 3 pendant la récréation et maintenant il lui en reste 5. Combien de billes avait-il avant la récréation ?

Paul a 3 billes. Paul a 5 billes de moins que Pierre. Combien Pierre a-t-il de billes ?

Paul a 3 billes. Pierre a 5 billes de plus que Paul. Combien de billes Pierre a-t-il ?

(D’après Riley, Greeno, Heller, 1983)

Des statistiques qui interrogent: Qu'en pensez-vous?

Paul a 3 billes. Pierre a 5 billes. Combien ont-ils de billes ensemble ?

3+5 = 8

Paul avait 3 billes. Il en gagne 5 à la récréation. Combien a-t-il de billes maintenant ?

100%

100%

Paul avait des billes. Il en perd 3 pendant la récréation et maintenant il lui en reste 5. Combien de billes avait-il avant la récréation ?

28%

Paul a 3 billes. Paul a 5 billes de moins que Pierre. Combien Pierre a-t-il de billes ?

Paul a 3 billes. Pierre a 5 billes de plus que Paul. Combien de billes Pierre a-t-il ?

6%

17%

Je pense à un nombre, j’ajoute 2/3 de ce nombre et j’obtiens 375. Quel est le nombre auquel je pensais au départ ?

Pourriez-vous proposer ce problème à vos élèves?

APPORT THEORIQUE

Pour la résolution de problèmes mathématiques, une approche qualifiée de « concrète-imagée abstraite » est mise en avant depuis quelques années notamment avec l'apparition de la méthode Singapour. Le renforcement de la phase intermédiaire « imagée » s’est traduit par l’introduction d’une organisation de schématisation s’appuyant sur quatre types de schémas en barres. De nombreuses recherches à Singapour, mais aussi dans d’autres pays, ont montré l’efficacité de l’utilisation des schémas en barres, y compris pour les élèves rencontrant des difficultés en mathématiques.

La schématisation s'appuie sur

4 types

de schémas en barre

Schémas de base PARTIES-TOUT (Additif)

TOUT

Partie A

Partie B

Lou paie 146,80 € avec sa carte bancaire dans un magasin de bricolage. Il lui reste maintenant 743,55 € sur son compte en banque. Combien d’argent Lou avait-elle sur son compte en banque avant son achat ?

Toto achète un pain aux céréales et une tarte aux abricots pour 17,30€ . Le pain aux céréales coûte 2,70 €. Quel est le prix de la tarte aux abricots ?

+info

+info

Schémas de base PARTIES-TOUT multiplicatif

TOUT

Part

Part

Part

Part

.....

Nombre de parts

Inaya souhaite fabriquer cinq invitations pour son anniversaire en découpant une bande de papier d’une longueur de 32 cm. Quelle est la plus grande longueur qu’elle peut choisir pour que toutes les invitations aient la même longueur ?

+info

Schémas de base COMPARAISON (additif)

Partie A

TOUT

Partie B

Différence

Selon le site de l’institut national d’études démographiques (Ined), en 2021, il y avait 625 738 000 habitants de plus en Afrique qu’en Europe et le nombre d’habitants en Afrique était de 1 373 486 000.Quel était, selon l’Ined, le nombre d’habitants en Europe en 2021 ?

+info

Schémas de base COMPARAISON (multiplicatif)

Part

TOUT

Part

Part

Part

.....

N fois

Juliette et Ayoub jouent à la bataille avec un jeu de 56 cartes qu’ils ont fabriqué. Juliette a sept fois plus de cartes qu’Ayoub. Combien Ayoub a-t-il de cartes ?

+info

Schémas de base PARTIE TOUT

Schémas de base COMPARAISON

Additif

Additif

TOUT

Partie A

TOUT

Partie A

Partie B

Partie B

Différence

Multiplicatif

Multiplicatif

TOUT

Part

TOUT

Part

Part

Part

Part

Part

Part

Part

......

......

N fois

Nombre de parts

DES OUTILS

Les réglettes cuisenaires

Présentation

Réglettes virtuelles

Ressources

Les cubes emboîtables

Présentation

Cubes virtuels

Ressources

REGLETTES CUISENAIRE

BC

Réglettes virtuelles

SANS quadrillage

SANS quadrillage

Au cycle 2, les programmes placent « la résolution de problèmes au centre de l’activité mathéma-tique des élèves » et précisent que « les problèmes permettent d’aborder de nouvelles notions, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements ». La résolution de problèmes doit débuter dès le début de l’année de CP et reposer sur un travail régulier et structuré... Ce chapitre vise à clarifier la démarche d’ensei-gnement permettant aux élèves d’apprendre à résoudre des problèmes, notamment à travers la modélisation, tout en l’inscrivant dans la perspective plus large de ce travail mené tout au long du cycle 2.

La mesure 4 du rapport Villani-Torossian, 21 mesures pour l’enseignement des mathématiques51, rappelle l’importance d’un équipement des écoles en matériels de base, accompagnés de tutoriels et favorisant les manipulations. Ce chapitre fait une synthèse des différents matériels évoqués précédem-ment et pouvant être exploités en classe, de façon individuelle ou collective, pour permettre les apprentissages des élèves en numération, en calcul ou en résolution de problèmes.

https://eduscol.education.fr/3107/guides-fondamentaux-pour-l-enseignement

C'est à vous !

Modéliser chaque exemple par un schéma.

ACTIVITÉ

Léa avait des billes. Elle perd 4 billes à la récréation. Il lui reste 3 billes. Combien Léa avait-elle de billes au début de la récréation ?

Paul a 3 billes. Paul a 5 billes de moins que Pierre. Combien Pierre a-t-il de billes ?

J’ai 4 sacs 3 billes, combien ai-je de billes ?

ACTIVITÉ

J’ai 12 billes, je fais 4 sacs. Combien y-a-t-il de billes dans chaque sac ?

J’ai 12 billes, je fais des sacs de 3 billes, combien ai-je de sacs ?

Je souhaite partager avec mon petit frère les billes gagnées aujourd’hui. J’en garde 3 et j’en donne le triple à mon petit frère. Combien de billes avais-je gagnées aujourd’hui ?

Qu’est ce que résoudre un problème ?

Comment accompagner les élèves quant à la manipulation, la verbalisation et l’abstraction?

Le tryptique manipuler-verbaliser-abstraire

Afin que la manipulation soit efficiente et spontanée il faut qu’elle intervienne le plus tôt possible! Il n’est pas rare que certains élèves rechignent à utiliser le matériel au service de la résolution: - Certains savent résoudre sans - D’autres ne voient pas comment s’emparer du matériel et le détournent à des fins ludiques.

Exemples d'activités décrochées

Préconisations

Le schéma ne doit pas être qu’une trace écrite mais bien la transition de la manipulation vers la modélisation algébrique. Pour se faire, il doit être explicité. Le recours aux réglettes Cuisenaire, tout comme les cubes empilables sont des outils appropriés. Il permet aussi de faire le lien avec la droite graduée.

La compréhension

Manipuler

Amener à la compréhension de concepts mathématiques

VERBALISER

… C’est amener vers l’abstraction

Abstraire

C'est à vous !

Modéliser chaque exemple par un schéma.

ACTIVITÉ

J’ai 14 billes en tout, des billes rouges et des billes bleues. Cinq billes sont rouges. Combien de billes sont bleues ?

Loana a 12 billes. Pierre a 19 billes de plus que Loana. Combien de billes possèdent Pierre et Loana en tout ?

Il y a 24 élèves dans la classe. Pour participer à des rencontres sportives, l’enseignant constitue des équipes de 4 élèves. Combien y-aura-t-il d’équipes ?

ACTIVITÉ

Il y a 18 zèbres dans un enclos. Il y en a six fois plus dans le reste du parc animalier. Combien y en a-t-il en tout ?

Un manteau coûte 164 euros. Le manteau coûte quatre fois plus cher que la chemise. J’achète le manteau et la chemise. Combien dois-je payer ?

Je pense à un nombre, j’ajoute 2/3 de ce nombre et j’obtiens 375. Quel est le nombre auquel je pensais au départ ?

MERCI DE VOTRE ATTENTION!

ACTIVITÉ 2: Problèmes complexes

Mes économies s’élèvent à 3 cinquièmes de celles de mon frère. Mon frère a 24 € deplus que moi. Combien possède mon frère ?

Louis et Emma ont chacun la même somme d’argent. Louis dépense 1200€ et Emma dépense 900€. Emma a maintenant trois fois plusd'argent que Louis. Combien d'argent reste-t-il maintenant à Louis ?

Une jeune vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins qu’une vache. Ensemble, les animaux pèsent 410 kg. Combien pèse le chien?

ACTIVITÉ 2: Problèmes de ratio

240€ sont partagés entre Toto et Ti-Sonson dans le ratio 2:3. Combien chacun d’eux reçoit-il ?

Les angles du triangle sont dans un ratio : Quelle est la nature d’un triangle dont les angles sont dans le ratio 1:2:3 ?

Un fils et son père ont leur taille dans le ratio 5 :8. Sachant que le père mesure 66 cm de plus que le fils, quelle est la taille du père ?

Exemples de problèmes atypiques

Théo a 4 tee-shirts, 3 pantalons et 2 paires de chaussures. Combien Théo peut-il former de tenues différentes ?

Combien voyez-vous de rectangles dans cette figure?

13

En lançant autant de fléchettes que l’on veut (elles atteignent toutes la cible), quel est le nombre le plus grand que l’on ne peut pas atteindre?

Faible performance de élèves français

Démarches de résolutions superficielles

Recherche d'indices sémantiques

Non prise en compte des connaissances du monde réél

Changement au niveau des pratiques d'ensignement et d'apprentissage à la résolution de problèmes

Adopter une méthodologie ouverte

Reconceptualiser les activités de résolution de problèmes

Proposer des problèmes variés

Le recodage sémantique, un levier pour modéliser.

D'après les recherches d’Emmanuel Sander, professeur de psychologie à l’Université de Genève.

Le recodage sémantique permet de donner à l’élève une nouvelle grille de lecture de l’énoncé du problème.Il consiste à déterminer dans l’énoncé d’un problème si la quantité considérée provient d’un regroupement ( Tout ) ou si c’est une quantité contenue dans un regroupement ( Partie ). Ce recodage est à faire aussi bien sur les quantités connues que sur celle dont la question est posé.

Le recodage sémantique demande un fort étayage de l’enseignant au début de l’apprentissage qui est à poursuivre tant que cela est nécessaire pour les élèves qui en ont besoin. L’objectif étant que les élèves automatisent ce questionnement.

Exemple

Avec quadrillage