Geometrie non euclidee

GEOMETRIE NON EUCLIDEE

di Elena e Greta Ruffini, Beatrice Seri

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geometria euclidea

La geometria euclidea nasce con Euclide, un matematico greco vissuto nel 300 a.C. Egli scrisse un'opera, "Gli Elementi", in cui ripose teoremi, assiomi e postulati sulle figure geometriche classiche (triangoli, quadrati...), insomma tutti i concetti che oggi costituiscono i programmi scolastici da noi studiati.

basi

I 5 POSTULATI

1.Tra due punti qualsiasi c’è una linea retta 2.Una linea retta può essere estesa all’infinito in entrambe le direzioni 3.Qualsiasi centro e qualsiasi raggio può descrivere un cerchio 4.Tutti gli angoli retti sono uguali 5.Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti

IL PROBLEMA DEL 5° POSTULATO

- forma ipotetica -non è evidente alla ragione -regione di piano esterna a quella finita (in un piano finito la proposizione è falsa) -uso limitato

Vari studiosi tentarono di risolvere il problema, con più tecniche, tra cui Saccheri e Gauss

GAUSS

SACCHERI

GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Sulla violazione del 5°postulato, si basano le geometrie non euclidee. Sono nate disubbidendo ai cinque postulati, si tratta di geometrie costruite negando o non accettando alcuni postulati euclidei, possiamo chiamarle anche "metageometrie". Le geometrie nascono così, per dimostrare l’inconsistenza del 5°postulato e diventano dei veri e propri modelli geometrici alternativi e anche piuttosto affascinanti.

LA GEOMETRIA IPERBOLICA O DELLA SELLA

La geometria iperbolica è una delle geometrie non euclidee, fu inventata da Nicolaj Ivanovic Lobacevskij, il quale comprese che lo spazio fisico reale aveva delle caratteristiche differenti rispetto a quello euclideo. Secondo il matematico infatti , la geometria non doveva essere fondata su enti ideali (punto,retta,piano), ma su oggetti geometrici che dovevano essere più vicini alla nostra esperienza sensoriale. Quindi questa fisicità portò a considerare vere solo le affermazioni che possono essere verificate sperimentalmente.

Lobacevskij modificò il 5^ postulato di Euclide in « Per un punto passano almeno due rette parallele ad una retta data. » Questo perché: Preso un foglio su cui disegnare, dalle dimensioni qualsiasi, se r è una retta e P un punto esterno ad essa, si conduca per P la perpendicolare PH alla retta r e, sempre per P, una retta a che forma con PH un angolo che differisce da un angolo retto per "pochissimo". La retta a non incontrerà la retta r sul foglio di lavoro e potrebbe non incontrarla ad una distanza "ragionevolmente vicina"; potrebbe incontrarla invece ad una distanza al di fuori della nostra percezione, o, proprio per questo, non incontrarla affatto.

MODELLO DI POINCARE'

E’ un modello di geometria iperbolica in cui l'idea di punto è simile a quanto conosciamo nella geometria di Euclide, mentre quella di retta è sostanzialmente diversa. La cosa comunque importante è costituita dal fatto che non vale il postulato delle parallele nella forma di Euclide.Consideriamo un cerchio, che indichiamo con K, e diamo le seguenti definizioni:- Punto è un punto interno (sono cioè esclusi i punti sul bordo).- Retta è ogni diametro, privato degli estremi, oppure ogni arco di circonferenza, interno al cerchio K e con estremi sullo stesso, ma sempre privato degli estremi, ed ortogonale alla circonferenza che lo delimita (due cerchi si dicono ortogonali se le loro tangenti nei punti di intersezione sono ortogonali).- Piano è l'insieme di tutti i punti interni.

I PUNTI E LE RETTE

“Data una retta r e un punto P non appartenente ad essa,esistono almeno due rette che passano per P e sono parallele a r” “Per tre rette iperboliche r,s,t, se r è parallela ad s ed s è parallela a t, non è detto che r sia parallela a t. Per due punti distinti passa una sola retta”

ANGOLI E TRIANGOLI

Due rette iperboliche se si intersecano formano angoli iperbolici. L’ampiezza di un angolo iperbolico è data dall'ampiezza in radianti dell’angolo formato dalle rette tangenti (in senso euclideo) alle rette iperboliche. Tre rette intersecandosi in tre punti distinti formano un triangolo iperbolico.

LE DIFFERENZE

Per un punto passano due rette parallele ad una retta data e infinite rette ultraparalelle

Per un punto passa una e una sola retta parallela ad una retta data

La somma degli angoli di un triangolo è minore di 180°

la somma degli angoli di un triangolo è di 180°

Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono ultraparallele

Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele

Non esistono rettangoli

Esistono rettangoli

Due rette parallele hanno infinite perpendicolari comuni

Due rette parallele o incidenti non hannp alcuna perpendicolare in comune

GEOMETRIA ELLITTICA

La geometria ellittica, come quella iperbolica, nasce dalla negazione del V Postulato di Euclide. Nella geometria iperbolica questo viene sostituito dal cosiddetto Postulato Iperbolico ,mentre la geometria ellittica si sviluppa al contrario, sull’ipotesi che non esistano parallele.

Questo sistema si basa sul fatto che lo spazio sia finito, in particolare ciò fa riferimento alla retta che, a differenza dei casi euclideo e iperbolico, si comporta come una linea chiusa che ha lunghezza finita pur essendo illimitata.

A seguito di modifiche apportate alla teoria di Riemann otteniamo la geometria ellittica,le cui definizioni base sono:-a differenza di quello euclideo quello,il PIANO ellittico è costituito da una superficie sferica. -i PUNTI sono costituiti da coppie di punti diametralmente opposti. - le RETTE sono i cerchi massimi tracciabili sulla superficie sferica, sono quindi linee finite e chiuse. Da ciò deriva che per 2 punti ellittici passa una e una sola retta, e 2 qualunque rette hanno sempre un punto ellittico in comune.

RETTE AC e BC AVENTE IL PUNTO C IN COMUNE

UNICA RETTA CHE PASSA PER I PUNTI A e B .

I TRIANGOLI NELLA GEOMETRIA ELLITTICA

Il triangolo ABC giace sulla superficie sferica ed è detto triangolo sferico, la somma dei suoi angoli interni è maggiore di 180° : si prendono due meridiani che formano al polo un angolo di 90° tra loro. Essi formeranno angoli di: -90° tra essi e il polo; -90° tra il primo meridiano e l’equatore; -90° tra il secondo meridiano e l’equatore.

OTTENIAMO UN TRIANGOLO LA CUI SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI è 270°

LE DIFFERENZE

(tra geometria euclidea ed ellittica)

CONCEZIONE DEL PIANO

CONCEZIONE DEL PIANO

Superficie piana uniforme

piano sferico

DEFINIZIONE DI PUNTO

DEFINIZIONE DI PUNTO

associata ai punti del mondo reale

coppie di punti diametralmente opposti

definizione di retta

definizione di retta

insieme infinito di punti,che non ha nè inizoìio nè fine

circonferenza massima avente quindi, lunghezza finita.

RETTE PARALLELE

RETTE PARALLELE

la retta parallela ad una retta data, passante per un punto esterno ad essa, è UNICA

non esistono rette parallere, due rette hanno semre 1 punto in comune

tRIANGOLI

tRIANGOLI

somma angoli interni =180°

somma angoli interni è maggiore a 180°