NUMERI RAZIONALI E REALI

NUMERI RAZIONALI e REALI

Prof.ssa Eleonora Castagna

Prerequisiti:

1. divisioni

2. mcm

Ripasso

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Frazioni

Possiamo interpretare la frazione come un operatore. Il denominatore indica in quante parti uguali dividiamo ogni intero: questo spiega perché non può essere 0. Invece il numeratore indica quante parti di ogni intero consideriamo.

Frazioni proprie, improprie, apparenti

Una frazione è:

• propria se m < n;
• apparente se m è multiplo di n;
• impropria se m > n e m non è multiplo di n.

Frazioni equivalenti

I due prodotti della definizione vengono chiamati prodotti in croce e per ricordarli si può usare lo schema a lato:

Per indicare che due frazioni sono equivalenti usiamo il simbolo =.

ESEMPIO

Proprietà invariantiva

Per passare da una frazione a una equivalente usiamo la proprietà invariantiva.

Semplificazione di una frazione

Una frazione è irriducibile o ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono primi fra loro. Chiamiamo semplificazione di una frazione il passaggio da una frazione a una equivalente quando dividiamo numeratore e denominatore per un divisore comune diverso da zero.

Frazioni irriducibili

Otteniamo una frazione irriducibile quando dividiamo numeratore e denominatore per il loro MCD.

Riduzione a denominatore comune

Ridurre due o più frazioni a denominatore comune significa determinare frazioni equivalenti a quelle date, ma con lo stesso denominatore. Di solito usiamo come denominatore comune il minimo comune multiplo dei denominatori, che chiamiamo minimo comune denominatore.

Rappresentazione sulla retta orientata

Per rappresentare i numeri razionali su una retta orientata:

• prendiamo come verso positivo quello verso destra;
• fissiamo l’origine, corrispondente a 0, e l’unità di misura;
• consideriamo il segmento ottenuto dividendo l’unità in b parti uguali e prendendone a;

• associamo a il punto a destra dell’origine e a quello a sinistra, con distanza dall’origine uguale alla lunghezza del segmento.

Confronto di numeri razionali

I numeri razionali sono rappresentabili su una retta orientata e quindi sono ordinabili. Il confronto tra un numero razionale e lo 0 o tra due numeri razionali discordi è immediato:

• zero è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo;
• se i numeri sono discordi, il maggiore è quello positivo.

Per confrontare due numeri razionali concordi, li trasformiamo in frazioni con lo stesso denominatore positivo e con i segni al numeratore: a numeratore maggiore corrisponde numero razionale maggiore.

Ragioniamo...

• confronta le seguenti frazioni (metti i simboli <,> e =)

Ragioniamo...

• confronta le seguenti frazioni (metti i simboli <,> e =)

• Seleziona la lampada e controlla graficamente le uguaglianze/disuguaglianze indicate nell'esercizio precedente

Addizione e sottrazione

Esplora e scrivi le conclusioni che riesci a trarre.

Addizione e sottrazione

Addizione e sottrazione

Esplora e scrivi le conclusioni che riesci a trarre.

Addizione e sottrazione

Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, otteniamo la somma o la differenza trasformandole in frazioni equivalenti con lo stesso minimo comune denominatore.

Addizione e sottrazione

L’addizione e la sottrazione sono operazioni interne nell’insieme dei numeri razionali. Per l’addizione valgono le seguenti proprietà:

• commutativa;
• associativa;
• esistenza dell’opposto.

La sottrazione invece gode della proprietà invariantiva. Lo 0 è l’elemento neutro sia per l’addizione sia per la sottrazione.

Moltiplicazione

il segno della frazione è dato dai segni dei numeratori e dei denominatori delle due frazioni

Moltiplicazione

La moltiplicazione è un’operazione interna in e valgono le proprietà seguenti:

• commutativa;
• associativa;
• distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione;
• 0 è l’elemento assorbente;
• vale la legge di annullamento del prodotto;
• 1 è l’elemento neutro.

Semplificazione ad incrocio

Se ci sono fattori in comune fra numeratori e denominatori delle frazioni, è utile anticipare la semplificazione prima di calcolare i prodotti a numeratore e a denominatore.

Frazione inversa

Chiamiamo reciproca o inversa di una frazione con c ≠ 0, la frazione che esiste sempre se c ≠ 0. Il prodotto di una frazione per la sua reciproca è sempre 1, cioè l’elemento neutro della moltiplicazione.

Divisione

La divisione fra frazioni è definita come operazione inversa della moltiplicazione.

Divisione

Nell’insieme dei razionali, escludendo il caso in cui il divisore sia 0, la divisione è sempre possibile, quindi è un’operazione interna in Q privato di 0. Per la divisione in Q privato di 0 valgono le proprietà:

• invariantiva;
• distributiva a sinistra rispetto all’addizione.

Potenze con esponente positivo o nullo

Potenze con esponente positivo o nullo

Per il segno, valgono le stesse regole viste per i numeri interi:

• se l’esponente è pari, la potenza ha sempre segno positivo;
• se l’esponente è dispari, la potenza è negativa solo se la base è negativa.

Nell’insieme dei razionali valgono le cinque proprietà delle potenze.

Potenze con esponente negativo

Nei numeri razionali si possono eseguire anche potenze con esponente negativo, che hanno sempre significato se la base è diversa da 0.

Numeri decimali

In un numero decimale distinguiamo:

• la parte intera, cioè quella prima della virgola;
• la parte decimale, cioè quella dopo la virgola, costituita da decimi, centesimi, millesimi…

Tutte le frazioni che hanno come denominatore una potenza di 10 si chiamano frazioni decimali. Con la stessa scrittura decimale possiamo rappresentare anche tutte le frazioni equivalenti a una frazione decimale.

Decimali finiti e periodici

Possiamo trasformare una frazione in un numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore:

• se il resto della divisione è uguale a zero, il numero è decimale finito;
• se il resto non è zero, allora il numero razionale non è decimale finito ma ha un numero infinito di cifre decimali che, da un certo punto in poi, si ripetono periodicamente. Diciamo allora che il numero è decimale periodico.

Decimali semplici e misti

Un numero decimale periodico è:

• semplice se le cifre si ripetono subito dopo la virgola;
• misto se le cifre si ripetono ma non subito dopo la virgola.

Chiamiamo periodo il gruppo di cifre che si ripete e antiperiodo il gruppo di cifre decimali che precede il periodo.

Frazioni e numeri decimali generati

Osservando il denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini, è possibile conoscere il tipo di numero decimale generato.

Dal numero decimale alla frazione

Un numero decimale finito si può scrivere come la somma della sua parte intera con frazioni decimali:

Anche un numero decimale periodico può essere sempre trasformato in una frazione.

Dunque, a ogni numero razionale corrisponde un numero decimale, finito o periodico, e viceversa.

‹N›

Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020

Numeri reali

Chiamiamo numero irrazionale ogni numero che non è esprimibile mediante una frazione, cioè ogni numero che non è razionale. I numeri irrazionali sono infiniti e corrispondono ai numeri decimali con un numero infinito di cifre e non periodici. Chiamiamo numero reale ogni numero che sia razionale o irrazionale e indichiamo con ℝ l’insieme dei numeri reali.

Approssimazioni

Per operare con numeri che hanno molte cifre, e in particolare con numeri decimali con infinite cifre, si può utilizzare una loro approssimazione.

Approssimazione per arrotondamento

Di solito, si sceglie l’approssimazione procedendo per arrotondamento. Se la prima cifra che trascuriamo è:

• maggiore o uguale a 5, approssimiamo per eccesso, aumentando di 1 l’ultima cifra che consideriamo;
• minore di 5, approssimiamo per difetto, confermando l’ultima cifra considerata.

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Escape Room

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