equivalenze

L'EQUIVALENZA

Filippo Caruso

COS' E' UN' EQUIVALENZA?

L'equivalenza è un concetto fondamentale nella matematica e viene utilizzata per stabilire relazioni di uguaglianza, semplificare espressioni, dimostrare teoremi e definire strutture matematiche

LE EQUIVALENZE NELLA MATEMATICA

Nella matematica, l'equivalenza è una relazione tra due o più oggetti matematici che indica che tali oggetti sono "uguali" o "equivalenti" in un certo senso specificato. L'equivalenza può essere definita in diversi contesti matematici, come l'algebra, la logica, la teoria degli insiemi e altre branche della matematica.

EQUIVALENZA TRA SUPERFICI

L'equivalenza tra superfici è una nozione che indica che due superfici hanno la stessa estensione o la stessa area. In altre parole, due superfici sono equivalenti se hanno la stessa misura di superficie. Nel contesto della geometria euclidea, l'equivalenza tra superfici può essere stabilita confrontando le aree delle due superfici in questione. Se due superfici hanno la stessa area, allora sono equivalenti. Ad esempio, se due rettangoli hanno la stessa base e la stessa altezza, avranno la stessa area e quindi saranno equivalenti. Tuttavia, l'equivalenza tra superfici può essere più complessa quando si considerano superfici con forme irregolari o curve. In tali casi, spesso è necessario utilizzare metodi matematici avanzati per calcolare l'area delle superfici e determinare se sono equivalenti.

ASSIOMA 2: INVARIANZA PER ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

ASSIOMA 1: PROPRIETA' DELLA RELAZIONE DI EQUIVALENZA TRA SUPERFICI

1. Superfici congruenti sono equivalenti; in particolare ogni superficie è equivalente a se stessa. 2. Se una superficie A è equivalente a B, allora anche B è equivalente ad A. 3. Se tre superfici A, B e C sono tali che A e B sono equivalenti e B e C sono equivalenti, allora anche A e C sono equivalenti.

Quando una figura C è la somma di due superfici A e B, si dice anche che la superfice è la differenza di C e di A. A proposito della somma e della differenza di due superfici, assumiamo il seguente assioma: somma e differenze di superfici equivalenti sono equivalenti.

EQUISCOMPONIBILITA'

Per capire il concetto di equiscomponibilità ci basterà considerare due poligoni e scomporli in triangoli a due a due conguenti; essendo due poligoni la somma di triangoli rispettivamente congruenti (e quindi equivalenti), possiamo concludere che i due poligoni sono equivalenti (perché somme di superfici equivalenti sono equivalenti). In generale due superfici che possono essere scomposte in poligoni a due a due congruenti si dicono equiscomponibili.

TEOREMI DI EQUIVALENZA

Equivalenza tra parallelogramma e rettangolo:dato un parallelogramma è possibile costruire un rettangolo equivalente che ha la base e l'altezza congruenti, rispettivamente, alla base e all'altezza del parallelogramma; da questo teorema discende il seguente corollario: due parallelogrammi che hanno congruenti due basi e le relative altezze sono equivalenti.

Equivalenza tra triangolo e rettangolo: dato un triangolo è possbilie costruire un rettangolo equivalente avente per base la stessa base del triangolo e per altezza metà dell'altezza relativa alla base scelta; dal teorema discende il seguente corollario: due triangoli che hanno congruenti le basi e le relative altezze sono equivalenti.

Equivalenza tra trapezio e triangolo: dato un trapezio è possibile costruire un triangolo equivalente avente base congruente alla somma delle basi del trapezio e l'altezza congruente all'altezza del trapezio.

Equivalenza tra un quadrilatero con le diagonali perpendicolari ad un rettangolo: dato un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è possibile costruire un rettangolo equivalente al doppio del quadrilatero, avente i lati congruenti alle sue diagonali.

Equivalenza tra poligono regolare e triangolo: un poligono regolare è equivalente ad un triangolo avente base di lunghezza uguale al perimetro del poligono e altezza congruente all'apotema del poligono.

PROBLEMA CON LE EQUIVALENZE

Dato un trapezio ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, chiama P il punto di intersezione delle diagonali. Dimostra, nell'ordine, che: - i due triangoli ACD e BCD sono equivalenti; - i due triangoli APD e BPC sono equivalenti.

Per dimostrae che i triangoli ADC e BDC sono equivalenti, possiamo utilizzare la proprietà dei trapezi che afferma che le diagonali di un trapezio si intersecano in un punto P che divid ele diagonali in segmenti proporzionali. Siano M e N i punti di intersezione delle diagonali Ac e Bd rispettivamente. Dato che AB è parallelo a CD, possiami affermare che i segmenti AM e DN sono proporzionali ai segmenti BM e CM.

Quindi possiamo scrivere le segenti proporzioni: AM/DN = BM/CN (1) Inoltre, sappiamo che i segmenti AM e DN si intersecano in P, quindi possiamo scrivere: AP/DP = AM/DN (2) Ora consideriamo i triangoli ADC e BDC. Vogliamo dimostrare che sono equivalenti, il che significa dimostrare che i loro lati sono proporzionali. Dal teorema dei segmenti proporzionali possiamo scrivere: AD/BD = AM/DN (3) Poichè le proporzioni 2 e 3 sono uguali possiamo dedurre che: AP/DP = AD/ BD (4) Ciò dimostra che i triangoli ADC e BDC sono equivalenti, in quanto hanno i loro lati proporzionali. Ora dimostriamo che APD e BPC sono equivalenti. Dato che AB è parallelo a CD, possiamo affermare che i segmenti AP e BP sono proporzionali ai segmenti DP e CP.

Quindi possiamo scrivere le seguenti proporzioni: AP/DP = BP/CP (5) Ma dal momento che i segmenti AP e BP si intersecano in P, possiamo scruvere: AP/DP = BP/CP = 1 (6) Questo dimostra che i triangoli APD e BPC sono equivalenti in base alla proprietà dei segmenti proporzionali.