Geometria analitikoa (DBH4)

Geometria analitikoa

ideia nagusiak

Ideia nagusiak

Home

Jakin beharrekoak

• oinarrizko kontzeptuak

• zuzenen posizio erlatiboak

• zuzenaren ekuazioak

• eragiketak bektoreekin

• puntuak eta bektoreak planoan

Ideia nagusiak

Oinarrizko kontzeptuak 1/3

Home

Bektoreak planoan

bektorea A puntutik B puntura doan zuzenki orientatua da. A puntua bektorearen jatorria da, eta B puntua muturra.

bektoren modulua, A eta B puntuen arteko distantzia da eta horrela izendatzen da:

Bektorearen norabidea, bektore hori dagoen zuzenarena da, eta bere paralelo guztiena.

Bektorearen noranzkoa, norabidearen barruan alde batera ala bestera orientatuta dagoen. Norabide bakoitzean bi noranzko daude, eta geometrikoki geziaren puntak adieraziko digu.

Bi bektore berdinak dira modulu, norabide eta noranzko berdinak dituztenean, eta bektore ekipolente ere esaten zaie.

Ideia nagusiak

Oinarrizko kontzeptuak 2/3

Home

• bektore baten koordenatuak: bektorearen koordenatuak lortzeko, B muturraren koordenatuei A jatorriaren koordenatuak kendu behar zaizkio. Adibidez:

• bektore baten modulua:

Erraz ikus daiteke V bektorearen modulua koordenatuek osatzen duten triangeluaren hipotenusa dela, beraz Pitagorasen teorema erabiliaz lortzen dela goiko formula.

Oinarrizko kontzeptuak 3/3

Ideia nagusiak

Home

Ariketak: 165 orrian 1 eta 2 txangoak 166 orrian 1 eta 2 181 orrian 4 eta 5

Ideia nagusiak

Eragiketak bektoreekin 1/5

Home

• bektore bat bider k zenbaki bat: beste bektore bat izango da, norabide berdinekoa eta noranzkoa k-ren zeinuaren araberakoa: k positiboa bada, noranzko bera izango du, eta k negatiboa bada berriz, aurkakoa. Modulua, bektorearena k-rekin bidertuz lortuko dugu. Adibideak:

• koordenatuak erabiliaz: biderkaduraren koordenatuak lortzeko, bektorearen bi osagaiak k-rekin bidertu behar dira.

, orduan:

Ideia nagusiak

Eragiketak bektoreekin 2/5

Home

• bektoreen batuketa: geometrikoki, bi bektoreak bata bestearen atzetik jarri eta lehenengoaren jatorria bigarrenaren muturrarekin lotu. Adibideak:

• koordenatuak erabiliaz: batura bektorearen koordenatuak lortzeko, bi bektoreen koordenatuak batu behar dira. Adibidez:

Eragiketak bektoreekin 3/5

Ideia nagusiak

Home

• bektoreen kenketa: lehenengo bektorearik bigarrenaren aurkakoa gehituz lortuko dugu, kenketaren printzipio hau erabiliaz: a - b = a + (-b) . Adibideak:

• koordenatuak erabiliaz: kenketa bektorearen koordenatuak lortzeko, bi bektoreen koordenatuak batu behar dira. Adibidez:

Eragiketak bektoreekin 4/5

Ideia nagusiak

Home

• bektoreen konbinazio lineala:

• koordenatuak erabiliaz: biderketa, batuketa eta kenketa egin ditugun moduan. Adibidez:

(7,-4) eta (-5,-2) bektoreak izanik,

Eragiketak bektoreekin 5/5

Ideia nagusiak

Home

Ariketak: 167 orrian 1 168 orrian 2 eta 3 181 orrian 6tik 9ra 183 orrian 33, 37, 38

Ideia nagusiak

Puntuak eta bektoreak planoan 1/6

Home

Planoko puntu eta bektoreen arteko erlazioa

Bektore batek bere jatorria (0,0) puntuan badauka, bere koordenatuak eta A muturrarenak berdinak dira. ONDORIOA: planoko A(x,y) edozein puntuk, (x,y) koordenatuak dituzten bektore ekipolente guztiak ordezkatzen ditu.

Propietate hau oso lagungarria da hainbat kalkulu egin ahal izateko, adibidez:

• bi punturen arteko distantzia
• zuzenki baten erdiko puntua
• puntu baten simetrikoa beste batekiko
• puntu lerrokatuak

Ideia nagusiak

Puntuak eta bektoreak planoan 2/6

Home

• Bi punturen arteko distantzia

A eta B bi punturen arteko distantzia kalkulatzeko, osatzen duten bektorearen modulua kalkulatzea nahikoa izango da.

Adibidea: kalkulatu A(-2,2) eta B(1,6) puntuen arteko distanzia.

= (1,6) - (-2,2) = (1-(-2), 6-2) = (3,4)

Ideia nagusiak

Puntuak eta bektoreak planoan 3/6

Home

• Zuzenki baten erdiko puntua

Ideia nagusiak

Puntuak eta bektoreak planoan 4/6

Home

• Puntu baten simetrikoa beste batekiko

A' puntua A-ren simetrikoa bada P puntuarekiko, orduan P bien arteko erdiko puntua da, eta badakigu zein baldintza beteko dituen:

Adibidez, aurkitu A-ren simetrikoa P-rekiko:

Ideia nagusiak

Puntuak eta bektoreak planoan 5/6

Home

• Hiru puntu lerrokatuta egoteko baldintza

A, B eta C hiru puntu lerrokatuta badaude, beraien artean osa daitezken edozein bi bektoreren osagaiak proportzionalak izango dira.

Ideia nagusiak

Puntuak eta bektoreak planoan 6/6

Home

Ariketak: 169 orrian 1, 2 178 orrian 1, 3, 4 170 orrian 1, 2 171 orrian 1, 2, 3, 4 181 orrian 10etik 14ra 182 orrian 27tik 30era

Ideia nagusiak

Zuzenaren ekuazioak 1/6

Home

Funtzio linealak aztertu genituenean, ekuazio bat erabiltzen genuen edozein zuzen adierazteko:

Orain, puntuak eta bektoreak erabiliaz zuzenak adierazteko beste modu batzuk ikusiko ditugu, baina beti ere bi datu izan beharko ditugu:

• zuzenean kokatuta dagoen P(p1, p2) puntu bat
• zuzenaren norabide bektorea (d1, d2)

Ideia nagusiak

Zuzenaren ekuazioak 2/6

Home

<-- koordenatuak erabiliaz

Ekuazio honek adierazten duena zera da: P puntutik habiatuz eta t aldiz bidertuz (d1, d2) bektorea, zuzenaren edozein (x, y) puntura iritsiko garela.

Hobeto ulertzeko, klikatu hemen eta saiatu bertan eskatzen diren eragiketak egiten.

Adibidez, (x, y) = (5, 3) + t (-2, 4) da EKUAZIO BEKTORIALA

Ideia nagusiak

Zuzenaren ekuazioak 3/6

Home

Ekuazio hauek EKUAZIO BEKTORIALETIK erraz lortzen dira, osagaitan banatuz.

Adibidez, aurreko adibidearekin jarraituz,

EKUAZIO PARAMETRIKOAK

Ideia nagusiak

Zuzenaren ekuazioak 4/6

Home

Ekuazio hau EKUAZIO PARAMETRIKOETATIK erraz lortzen da, bietan t askatuz eta berdinduz.

Adibidez, aurreko adibidearekin jarraituz,

EKUAZIO JARRAITUA:

Ideia nagusiak

Zuzenaren ekuazioak 5/6

Home

Hau da orain arte ezagun genuen zuzenaren ekuazioa. Malda (m) eta n lortzeko modu desberdinak daude, baina EKUAZIO JARRAITUAN y askatuz zuzenean lor dezakegu.

Adibidez, aurreko adibidearekin jarraituz,

Ekuazio jarraituan gurutz biderkaketa eginaz: 4x - 20 = -2y + 6 4x - 26 = -2y

EKUAZIO ESPLIZITUA: y = -2x + 13

Ideia nagusiak

Zuzenaren ekuazioak 6/6

Home

Nola lortu zuzen baten malda, bere norabide bektoretik abiatuta?

Adibidea: A(3, 7) eta B(8, -3) puntuetatik igarotzen den zuzenaren norabide-bektorea da. Malda, beraz:

Ariketak: 173 orrian 1 174 orrian 1-2-3-4 182 orrian 15etik 26ra

Ideia nagusiak

Bi zuzenen posizio erlatiboak 1/6

Home

Nola kokatu daitezke bi zuzen planoan? kontutan izan zuzenak infinituak direla, mugarik gabeak.

BIAK BAT DIRA(kasu partikularra)

PARALELOAK

EBAKI EGITEN DIRA

PERPENDIKULARRAK(kasu partikularra)

Gogoratu zuzen bakoitza zehazteko zuzenean dagoen P(p1,p2) puntu bat eta zuzenaren (d1,d2) norabide bektore bat beharko ditugula. Beraiei esker aurkituko dugu zein den beraien posizioa.

Ideia nagusiak

Bi zuzenen posizio erlatiboak 2/6

Home

• Paraleloak

Bi zuzenak paraleloak badira, bi baldintza beteko dira:

• beraien (d1,d2) norabide bektoreak norabide bera izango dute, hau da, proportzionalak izango dira
• beraien maldak berdinak izango dira

Bi baldintzetako bat frogatu beharko dugu. Adibidez:

PARALELOAK

Ideia nagusiak

Bi zuzenen posizio erlatiboak 3/6

Home

• Bi zuzenak bat dira

Bi zuzenak bat badira, paraleloak izateaz gain puntu berak dituzte. Baldintzak:

• aurreko biak (paraleloenak)

• zuzen bateko edozein puntuk bestearen ekuazioa ere betetzen du (ekuazio berak dituzte)

Lehendabizi paraleloak direla frogatu beharko dugu, eta gero bat direla. Adibidez: aurkitu zuzen hauen posizio erlatiboa:

AB norabide bekt.: (-4,-5), ekuazio jarraia:

Eragiketak eginaz: -5(x-4)= -4(y-7), -5x+20 = -4y+28, eta hemendik 5x - 4y + 8 = 0 , r zuzenaren ekuazioaren berdina, beraz, BI ZUZENAK BAT DIRA.

Ideia nagusiak

Bi zuzenen posizio erlatiboak 4/6

Home

• Ebaki egiten dira

Bi zuzenak ebaki egiten badira:

• beraien (d1,d2) norabide bektoreak ez dira proportzionalak
• beraien maldak ez dira berdinak
• beraien ekuazioak osatzen duten sistemak soluzioa du, eta P puntua emango digu

Adibidea: bi ekuazio hauek dituzten zuzenen posizioa aurkitu:

Ideia nagusiak

Bi zuzenen posizio erlatiboak 5/6

Home

• Perpendikularrak dira

Bi zuzenak perpendikularrak badira, ebakitzeaz gain beste bi baldintza bat beteko dituzte:

• beraien norabide bektoreen koordenatuak erlazio hau betetzen dute:

• beraien maldak erlazio hau betetzen dute:

* edo proportzionalak!

Beraz, bi zuzen perpendikularrak direla frogatzeko baldintza hauetakoren bat betetzen dela frogatu beharko dugu.

Ideia nagusiak

Bi zuzenen posizio erlatiboak 6/6

Home

Adibidea: perpendikularrak al dira bi zuzen hauek?

r zuzena: malda: 5/3 5/3 . (-3/5) = -1 bai, perpendikularrak dira s zuzena: malda: -3/5

Ariketak: 177 orrian 1 182 orrian 23tik 26ra 183 orrian 37tik 45era 187 orrian AUTOEBALUAZIOA