Rette parallele e perpendicolari

Rette perpendicolari e parallele

Studente: Giovanni Battista Ferrari Anno scolastico: 22/23 Prossoressa: Manuela Monteleone ITIS MARCONI DALMINE

Le rette perpendicolari

Definizione:

Due rette incidenti r ed s si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli retti. In simboli: r ⟂ s.

Contenuti aggiuntivi:

• Quindi due segmenti (AB,CD) si dicono perpendicolari se la retta AB è perpendicolare alla retta CD.
• Avendo un punto P e una retta r è sempre possibile determinare una retta passante per P e perpendicolare ad r.

Asse di un segmento

Definizione:

Dato un segmentto si chiama asse del segmento la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio.

Essa è una retta perpedicolare unica.

Informazioni aggiuntive

La definizione di perpedicolarità è estesa con logica analoga ai diversi enti geometrici del piano e dello spazio: segmenti, semirette.

La perpendicolarità

La condizione della perpendicolarità si riduce ancora una volta con una formula che convolge i coefficienti angolari: due rette sono perpendicolari se e solo se i coefficienti angolari sono l'uno il reciproco dell'opposto dell'altro.

I punti A e B, tali che l'asse di AB è la retta r, si dicono simmetrici ripetto alla retta r.

Proiezione del punto su una retta

Definizione:

Dati una retta r e un punto P, il punto di interesezione tra la retta r e la proiezione condotta da P e r si chiama proiezione (ortogonale) del punto P su r o piede della perpendicolare condotta da P a r .

In aggiunta:

Il segmento che congiunge il puno d'origine (P per ipotesi) della retta s e la suo proiezione H su una retta s è quello di lunghezza minima fra tutti i segmenti che hanno un estremo in P e uno su s: consideriamo sulla retta s un punto A diverso da H, il segmento PA è l'ipotenusa del triangolo PHA, quindi maggiore di PH che è un cateto. In questo modo si arriva al concetto di distanza (v. slide seguente).

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Distanza

Definizione:

Si definisce distanza di un punto da una retta la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto stesso e la sua proiezione sulla retta.

Proiezionedi un segmento

Definizione:

Si chiama proiezione di un segmento su di una retta r il segmento formato dalle proiezioni su r di tutti i punti del segmento.

Curiosità:

Un fascio di rette parallele che interseca due rette trasversali individua su di esse due classi di segmenti direttamente proporzionali. È il più noto dei teoremi attribuiti al filosofo, scienziato e matematico greco Talete di Mileto (di cui parleremo più tardi). Questo teorema e il suo inverso individuano le condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo di due rette, e hanno trovato applicazioni importanti nello sviluppo della geometria, quali per esempio il procedimento per suddividere un segmento in parti uguali con riga e compasso, oppure la dimostrazione del secondo criterio di congruenza dei triangoli.

Le rette parallele

Definizioni:

Due rette r si dicono parallele se non hanno punti di intersezione oppure se coincidono. In simboli: r || s .

Informazioni aggiuntive

Date due rette parallele distinte r ed s, l'intersezione tra il semipiano che ha come origine r e che contiene s e il semipiano che ha come origine s e che contiene r si chiama striscia di lati r ed s.

Data una retta, tutte le rette a essa parallele si dicono avere la stessa direzione della retta data. L'insieme delle infinite rette che hanno una stessa direzione si dice fascio improprio di rette.

Teorema rette parallele

Definizione:

Due rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele.

Tesi

Ipotesi

r⟂n, s⟂n r || s

Utilizzeremo la dimostrazione per assurdo: la tesi è falsa.

Dimostrazione:

Se, per assurdo, le due rette r ed s avessero un punto di intersezione Q, allora r ed s formerebbero, con la retta n, un riangolo con due angoli retti: ciò è assurdo perchè un triangolo può avere al massimo un angolo retto. Dobbiamo perciò escludere che le rette r ed s possano avere qualche punto in comune e concludere, di conseguenza, che r ed s sono parallele.

Curiosià

La ricerca di questa dimostrazione ha occupato per più 2000 anni i matematici e la sorprendente conclusione a cui si è giunti è che l'unicità della parallela condotta da una punto a una retta data non può essere dimostrata a partire dagli assiomi che abbiamo fin qui assunto e dai teoremi che ne abbiamo dedotto. Pertanto, dobbiamo introdurre un nuovo assioma.

Assioma della parrallela

Definizione:

Dato un punto P e una retta r, la retta passante per P e parallela a r è unica.

Informazione aggiuntive:

Date tre rette r, s e t, si potrebbe dimostrare che la relazione di parallelismo gode delle seguenti proprietà: riflessiva: r || r simmetrica: se r || s, allora s || r transitiva: se r || s e s || t, allora r || t

Il quinto opostulato di Euclide

Spiegazione ulteriore dell'assioma della parellela

Il V postulato di Euclide è il postulato più conosciuto fra quelli che il matematico Euclide enuncia nei suoi "Elementi". I matematici si sono cimentati per più di duemila anni nel tentativo di dedurlo dai primi quattro postulati, finché nell'Ottocento hanno effettivamente dimostrato la sua indeducibilità. Modificando questo postulato si creano geometrie diverse, dette non euclidee.

Dobbiamo dire che esiste sempre una retta passante per P e perpedicolare a r, e che tale retta è unica. Per questo è possibile provare che esiste certamente una retta passante per P e parallela a r: -se il punto P appartiene alla retta r, la retta passante per P e parallela a r è la retta r stessa; - se il punto P non appartiene alla retta r, possiamo costruire la retta parallela a r passante per P seguendo la procedura della slide precedente.

La soluzione del nostro problema dovuto all'impossibilità di trovare punti di intersezione fissi poichè le rette sono composte da un'infinità di punti: dobbiamo esaminare gli angoli formati da due rette quando sono tagliate da una retta incidente ad entambe, detta trasversale.

Due angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

Spiegazione illustrativa

Consideriamo due rette a e b e una trasversale r. Le due rette a e b tagliate dalla trasversale r, formano 8 angoli. Si danno nomi particolari alle diverse coppie di angoli che si vengono a formare, a seconda della loro posizione rispetto alle tre rette r, a e b. La terminologia viene indicata nel disegno qui accanto.

Criteri di parallelismo 1 (teorema 2)

Definizione:

Due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora le due rette sono parallele.

Tesi

Ipotesi

α≅β r || s

Dimostrazione

Supponiamo, per assurdo, che la retta r e s non siano parallele, cioè che si incontrino in un punto che chiameremo P. Allora nel triangolo APB che si verrebbe a formare, l'angolo esterno α sarebbe congruente (per ipotesi) all'angolo interno β , contraddicendo il primo teorema dell'angolo esterno. Dal momeno che, supponendo la tesi falsa, siamo giunti a una contraddizione, dobbiamo quindi concludere che la tesi è vera, cioè che r || s .

Criteri di parallelismo 2 (inverso del teorema 2)

Definizione:

Se due rette sono parallele, allora, sono tagliate da una trasversale e formano coppie di angoli alterni interni congruenti.

Ipotesi Tesi

r || s α≅β, γ≅δ

Teorema criteri di parallelismo 3 (fusione dei teoremi 2 e 3)

Definizione:

Due rette sono parallele, se e solo se, tagliate da una trasversale, formano coppie di angoli alterni interni congruenti.

Congruenza di una coppia di angoli interni

Essa equivale:-alla congruenza di una coppia di angoli alterni esterni; -alla congruenza di una coppia di angoli corrispondenti; -alla condizione che una coppia di angoli congruenti siano supplementari.

Angoli corrispondenti conrgruenti

Angoli coniugati supplementari

Angoli alterni esterni congruenti

Gli angoli alterni interni d' e b sono congruenti se e solo se lo sono gli angoli corrispondenti d' e d: infatti d e b sono opposti al vertice.

Se due angoli d' e b alterni interni sono conruenti allora d' + a' ≅ π segue b + a' ≅ π, cioè gli angoli coniugati a' e b sono complementari. Viceversa, se b + a'≅π, allora d'≅b, perchè sia d' sia b risultano supplementari di a'.

Gli angoli alterni interni d' e b sono congruenti se e solo se lo sono gli angoli b' e d: infatti b' e d sono opposti al vertice di d' e b.

Teorema 5 (criterio generale di parallelismo)

Definizione

Due rette, tagliate da una trasversale, sono parallele se e solo se:- formano una coppia di angoli alterni congruenti (interni o esterni); -formano una coppia di angoli corrispondenti congruenti; -formano una coppia di angoli coniugati supplementari (interno o esterni).

Corollario 1

Definizione

Due rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele.

L'assioma della parallela e la proprietà transitiva del parallelismo tra rette

Che il parallelismo tra rette goda della proprietà simmetrica è di natura puramente insiemistica: se la retta r non ha punti in comune con la retta s, nemmeno s ha punti in comune con r. Che esso goda di proprietà riflessiva dipende dal fatto che le due rette coincidenti sono parallele per definizione. Sarebbe più curioso analizzare la proprietà transitiva, essa dice: se r è parallela a s ed s è parallela a t, possiamo dire che r sia parallela a t: dobbiamo sicuramente dire che se r || s ed s || t segue necessariamente r || t. Infatti se r e t si intersecassero in un punto P, si avrebbero due rette distinte parallele a s e passanti per P, in contraddizione dell'unicità della parallela. Viceversa, senza l'unicità parallela non può sussistere la transitività del parallelismo tra rette. Infatti supponendo che da uno stesso punto P passino due distinte rette, s e t, entrambe parallele a r, avremmo sia r || s sia r || t, ma non certo s || t !. La geometria euclidea è l'unica ad avere la proprietà transitiva.

TALETE

Prima di raccontare chi era Talete bisogna dire una cosa importatissima : proprio Talete elaborò il Criterio del parallelismo. Talete di Mileto è stato un filosofo, astronomo e matematico greco antico. Da Aristotele, in poi, Talete viene indicato come il primo filosofo della storia del pensiero occidentale che iniziò la ricerca della archè, ossia del «principio», identificato empiricamente nell'acqua, da cui tutte le cose avrebbero avuto origine. In questa tradizione quindi egli è considerato come uno dei sette savi dell'antica Grecia e come primo «filosofo», intendendo con questo termine colui che per primo si occupò delle scienze naturali, matematiche, astronomiche. Il suo metodo di analisi della realtà lo rende una delle figure più importanti della conoscenza scientifica: deviando dai discorsi esplicativi forniti dalla mitologia, anche se ancora lontano dal metodo sperimentale, Talete, pur ancora legato a un ragionamento astratto sulla realtà, favorì l'ancora generica concezione naturalistica dei filosofi della scuola di Mileto caratterizzata da osservazione dei fenomeni e dimostrazione puramente logica. Di Talete, fondatore della scuola, non rimane nessun libro, se mai ne scrisse, ma ci sono giunte varie testimonianze sul suo pensiero e su alcuni episodi della sua vita, non tutti accettati come storici o verosimili. Le fonti letterarie antiche lo ritraggono come una figura di saggezza proverbiale e di grande versatilità, perciò associato a molti campi di attività: scienze naturali, ingegneria, politica, economia applicata.