i numeri naturali e il principio di induzione

Pietricola Rosanna 62526

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I numeri naturali e il principio di induzione

Cosa sono i numeri naturali?

E' possibile definire in modo assiomatico i numeri naturali grazie a Giuseppe Peano e ai suoi 5 assiomi.

5. Se U è un sottoinsieme di ℕ che contiene lo 0 e per ogni elemento dell'insieme, contiene anche il suo successore, allora U coincide con tutto l'insieme dei numeri naturali.

1. 0 è un numero naturale
2. Se n è un numero naturale, anche il suo successore è un numero naturale
3. Se due numeri naturali sono diversi, anche i loro successori saranno diversi
4. 0 non è successore di alcun numero

Gli assiomi di Peano

P(n) è vera ∀n∈N Se . P(0) è vera . P(n) è vera ⇒ P(n+1) vera

Se U è un sottoinsieme di ℕ che contiene lo 0 e per ogni elemento dell'insieme, contiene anche il suo successore, allora U coincide con tutto l'insieme dei numeri naturali.

V Assioma di Peano → Principio di induzione

Passo induttivo

Base induttiva

∀n ≥1

S(n)= 1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2

Vogliamo dimostrare che la somma dei primi numeri naturali è uguale a n(n+1)/2

Esempio di applicazione del principio di induzione

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Proposta didattica

Classe V Primaria

L’insieme ℕ possiede un numero minimo che è minore di tutti gli altri (lo 0). Non possiede un elemento massimo, che sia maggiore di tutti gli altri numeri

L’insieme ℕ ha un elemento minimo

Tra due numeri naturali non consecutivi è compreso un numero finito di numeri naturali

L’insieme ℕ è un insieme discreto

Possiamo sempre confrontare due numeri fra di loro, dicendo se uno è uguale oppure se uno è più grande (maggiore) dell’altro

L’insieme ℕ è un insieme ordinato

Preso un numero naturale qualsiasi se ne può sempre trovare uno maggiore. I numeri naturali sono infiniti

L’insieme ℕ è un insieme infinito

Proprietà dei numeri naturali

Logico, matematico, che dedicò la sua vita alla ricerca scientifica. Fu il primo a definire in modo rigoroso l'insieme dei numeri naturali, cioè cercò il modo per creare un sistema formale da cui si potesse derivare tutta l'aritmetica. A tal proposito propose 5 assiomi

V assioma di Peano

reflect

Principio di induzione

Esercitiamoci

Si ottiene la successione dei quadrati dei numeri naturali

Consideriamo la successione dei numeri dispari: 1, 3, 5, 7, … Calcoliamo ora le somme successive dei primi numeri dispari: 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Vogliamo dimostrare che la somma dei primi numeri dispari ci permette di ottenere un quadrato perfetto

Ogni volta si ottiene un quadrato che ha il lato più lungo di un’unità e il numero degli elementi del quadrato è dato dal quadrato del numero di elementi del lato.

1+3+5+7=16 4X4=16

1+3+5=9 3X3=9

1+3=4 2X2=4

• Rosso numero 1
• Verde numero 3
• Giallo numero 5
• Azzurro numero 7

Rappresentiamo graficamente

Rosanna Pietricola 62526

Grazie per l'attenzione