i numeri naturali e il principio di induzione

I numeri naturali e il principio di induzione

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Pietricola Rosanna 62526

Cosa sono i numeri naturali?

E' possibile definire in modo assiomatico i numeri naturali grazie a Giuseppe Peano e ai suoi 5 assiomi.

Gli assiomi di Peano

1. 0 è un numero naturale
2. Se n è un numero naturale, anche il suo successore è un numero naturale
3. Se due numeri naturali sono diversi, anche i loro successori saranno diversi
4. 0 non è successore di alcun numero

5. Se U è un sottoinsieme di ℕ che contiene lo 0 e per ogni elemento dell'insieme, contiene anche il suo successore, allora U coincide con tutto l'insieme dei numeri naturali.

V Assioma di Peano → Principio di induzione

Se U è un sottoinsieme di ℕ che contiene lo 0 e per ogni elemento dell'insieme, contiene anche il suo successore, allora U coincide con tutto l'insieme dei numeri naturali.

P(n) è vera ∀n∈N Se . P(0) è vera . P(n) è vera ⇒ P(n+1) vera

Esempio di applicazione del principio di induzione

Vogliamo dimostrare che la somma dei primi numeri naturali è uguale a n(n+1)/2

S(n)= 1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2

∀n ≥1

Base induttiva

Passo induttivo

Proposta didattica

Classe V Primaria

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Proprietà dei numeri naturali

L’insieme ℕ è un insieme infinito

Preso un numero naturale qualsiasi se ne può sempre trovare uno maggiore. I numeri naturali sono infiniti

L’insieme ℕ è un insieme ordinato

Possiamo sempre confrontare due numeri fra di loro, dicendo se uno è uguale oppure se uno è più grande (maggiore) dell’altro

L’insieme ℕ è un insieme discreto

Tra due numeri naturali non consecutivi è compreso un numero finito di numeri naturali

L’insieme ℕ ha un elemento minimo

L’insieme ℕ possiede un numero minimo che è minore di tutti gli altri (lo 0). Non possiede un elemento massimo, che sia maggiore di tutti gli altri numeri

Logico, matematico, che dedicò la sua vita alla ricerca scientifica. Fu il primo a definire in modo rigoroso l'insieme dei numeri naturali, cioè cercò il modo per creare un sistema formale da cui si potesse derivare tutta l'aritmetica. A tal proposito propose 5 assiomi

Principio di induzione

V assioma di Peano

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Esercitiamoci

Vogliamo dimostrare che la somma dei primi numeri dispari ci permette di ottenere un quadrato perfetto

Consideriamo la successione dei numeri dispari: 1, 3, 5, 7, … Calcoliamo ora le somme successive dei primi numeri dispari: 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Si ottiene la successione dei quadrati dei numeri naturali

Rappresentiamo graficamente

• Rosso numero 1
• Verde numero 3
• Giallo numero 5
• Azzurro numero 7

1+3=4 2X2=4

1+3+5=9 3X3=9

1+3+5+7=16 4X4=16

Ogni volta si ottiene un quadrato che ha il lato più lungo di un’unità e il numero degli elementi del quadrato è dato dal quadrato del numero di elementi del lato.

Grazie per l'attenzione

Rosanna Pietricola 62526