Funciones 2º ESO

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TEMA 8: FUNCIONES

Vamos a estudiar el plano catesiano, las tablas, las gráficas y las funciones

¡Vamos!

Índice

Descartes y la mosca

2. Puntos que trasmiten información

1. El plano Cartesiano.Coordenadas

Cómo empezó todo

3. Tablas y gráficas

3. Tablas y gráficas

4. Interpretación de las gráficas

Tabla de valores

Representando puntos

A partir de situaciones

4. Interpretación de las gráficas

5. Las funciones

5. Las funciones

Variable independiente y dependiente

Como las expresamos

Lectura

6. Una función importante

Proporcionalidad

Descartes y la mosca

Debido a la precaria salud que padecía desde niño, René Descartes tenía que pasar innumerables horas en cama. Aprovechaba para pensar en filosofía, matemáticas, divagar e incluso se permitía perder el tiempo pensando en las musarañas. Teniendo su vista perdida en el techo de la estancia fue una mosca a cruzarse en su mirada, cosa que hizo que la siguiera con la vista durante un buen rato, mientras pensaba y se preguntaba ¿existe una manera de conocer su posición en cada instante? Mientras le daba vueltas a esto se levanto de la cama y agarrando un trozo de papel dibujó sobre él dos rectas perpendiculares: cualquier punto de la hoja quedaba determinado por su distancia a los dos ejes. A estas distancias las llamó coordenadas del punto: acababan de nacer las Coordenadas Cartesianas, y con ellas, la Geometría Analítica.

El plano cartesiano. Coordenadas

Queremos saber dónde está la mosca

Un sistema de referencia cartesiano consiste en dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes. El punto en el que se cortan lo ejes es el origen de coordenadas. Normalmente lo representaremos con un eje vertical y otro horizontal. Al eje horizontal le denominaremos eje de abscisas o también eje X y al vertical eje de ordenadas o eje Y. Al cortarse los dos ejes, el plano queda dividico en cuatro zonas, que se conocen como cuadrantes.

Las coordenadas de un punto A son un par ordenado de números (x,y), siendo x la primera coordenada que llamamos abscisa y nos indica la distnacia a la que dicho punto se encuetra del eje vertical. La segunda coordenada es la y, llamada ordenada y nos indica la distancia a la que dicho punto se encuentra del eje horizontal. Cuando esta cantidad sea hacia la izquierda o hacia abajo la indicaremos con un número negativo y si es hacia arriba o hacia la derecha la indicaremos con uno positivo, de la misma manera que hacíamos al representar los números reales.

tarea 1

Puntos que trasmiten información

Amalia y Basilio, que viajaban con su hijo Calos, han estampado su coche en el gran turismo de don Dionisio. Todos ellos contemplan los desperfectos junto con Esustaquio, que pasaba por allí. Faustino, guardia municipal, acude al lugar de los hechos. En el diagrama del margen se relacionan las estaturas y los pesos de los seis personajes.

tarea 2

Tablas y Gráficas

Relación entre dos magnitudes

En muchas ocasiones tenemos una relación entre dos magnitudes que nos viene dada por la correspondencia entre las cantidades de cada una de ellas. Hablamos de esas relaciones cuando hablamos de proporcionalidad en el tema 4. De una relación entre dos magnitudes podemos obtener un conjunto de datos, relacionados dos a dos, que si los ordenamos en una tabla nos facilita su interpretación.

Una tabla de valores es una tabla en la que situamos ordenadamente las cantidades correspondientes de dos magnitudes dadas.

Los 100 metros lisos es una carrera en la que se tiene que recorrer 100 metros, libres de todo obstáculo, con la mayor rapidez posible. Se considera, en general, como la competición de carreras de velocidad más importante. Los mejores atletas la realizan en un tiempo de alrededor de 10 segundos de duración corriendo cada 10 metros en un promedio de 1 segundo.

En algunas ocasiones la relación entre dos magnitudes nos la pueden indicar directamente mediante su tabla de valores

La sopa estaba muy caliente, así que la dejé enfriar durante cinco minutos. La temperatura de la sopa, según se enfriaba, la indica la tabla siguiente:

Las notas de Matemáticas y Tecnología, en la segunda evaluación, de un grupo de 2º de E.S.O. fueron las recogidas en la siguiente tabla:

En otras ocasiones desconocemos cuáles son las magnitudes con las que estamos trabajando, tan solo conocemos los valores relacionados, y las solemos indicar con las letras X e Y

En la tabla adjunta tenemos la relación entre la magnitud X y la magnitud Y

tarea 3

Representando puntos: Las gráficas

Cada par de datos correspondientes de una relación entre dos magnitudes los podemos representar en un sistema cartesiano

En la relación del ejemplo de la temperatura de la sopa veíamos que, a los 2 minutos, la sopa tenía una temperatura de 50 °C. Este par de números son las coordenadas de un punto (2, 50) en un sistema de referencia cartesiano en el que en el eje de abscisas representamos la magnitud Tiempo medida en minutos y en el eje de ordenadas representamos la magnitud Temperatura medida en grados centígrados.

Si representamos en un sistema de referencia cartesiano todos los pares de datos de una tabla de valores obtenemos una gráfica.

Si representamos todos los pares de datos de la tabla de valores del ejemplo anterior obtenemos la siguiente gráfica:

En ocasiones podríamos haber dado muchos más datos en la tabla de valores y al representarlos nos quedaría casi una línea. En estos casos la gráfica, uniendo los puntos, estaría constituida por una línea que en muchas situaciones sería continua.

Ejemplo 1: Si llenamos un depósito de agua mediante un surtidor que vierte 75 litros de agua por minuto podemos calcular una tabla de valores con la cantidad de agua que va teniendo el depósito (llenado) en relación al tiempo que ha ido pasando.

Dibujamos su gráfica a partir de esta tabla de valores

Tiene sentido ir midiendo cada menos tiempo.

Si representáramos TODOS los valores la gráfica quedaría en una línea

Ejemplo 2: “Una paella para seis personas necesita 750 g de arroz” podemos construir una tabla de valores en la que se relacionan el número de personas y la cantidad de arroz que se necesita:

Podemos construir una gráfica con esos valores

Sin embargo, no podemos calcular valores intermedios (para dos personas y media por ejemplo), pues no podemos dividir a una persona y, por lo tanto, no tiene sentido unir los puntos de la gráfica.

tarea 4

Interpretación de las gráficas

Relación entre dos magnitudes

Gráficas a partir de situaciones

En la mayoría de las situaciones que hemos estudiado hasta ahora, hemos podido calcular los pares de valores relacionados, porque se trataban de relaciones de proporcionalidad o de relaciones dadas por una fórmula que conocíamos. Esto no siempre ocurre. A veces nos encontrarnos con que nos describen una situación en la que nos dan una información entre dos magnitudes sin aportarnos apenas cantidades numéricas. En muchas ocasiones una situación cotidiana o relacionada con fenómenos naturales descrita verbalmente se puede representar mediante una gráfica de manera directa.

Javier tiene que ir a comprar a una tienda algo alejada de su casa, como no tiene prisa decide ir dando un paseo. Justo cuando llega a la tienda se da cuenta de que se le ha olvidado la cartera y no tiene dinero para comprar. Corriendo vuelve a su casa a por la cartera.

La temperatura en una montaña va descendiendo según ganamos en altitud. En la cima llegamos a temperaturas bajo cero.

En un establecimiento comercial, el depósito de agua de los servicios públicos va llenándose poco a poco hasta alcanzar los 10 L de agua y, en ese momento, se vacía regularmente. Cuando está vacío se repite el proceso. En llenarse tarda el quíntuple de tiempo que en vaciarse.

Las gráficas nos dan una visión más clara de la situación que estamos estudiando, además de ellas podemos obtener una tabla de valores y así hacer una interpretación más precisa.

Hemos dicho antes que con la tabla de valores construímos una gráfica. Ahora decimos que con la gráfica podemos construir una tabla de valores.

1. Manuela va algunas tardes a casa de sus abuelos donde pasa un buen rato con ellos. Después vuelve rápidamente a su casa para hacer los deberes antes de cenar. Construye una gráfica de esta situación

2. Este verano Juan fue en bicicleta a casa de sus abuelos que vivían en un pueblo cercano, a 35 kilómetros del suyo. A los 20 minutos había recorrido 10 km; en ese momento comenzó a ir más deprisa y tardó 15 minutos en recorrer los siguientes 15 km. Paró a descansar durante 10 minutos y, después, emprendió la marcha recorriendo los últimos 10 km en 15 minutos. Construye una gráfica de esta situación y, a partir de ella, confecciona una tabla de valores.

tarea 5

Interpretación y lectura de gráficas

Las gráficas resumen de manera eficaz la información sobre la relación entre dos magnitudes, por ello se suelen emplear mucho, tanto en situaciones de carácter científico o social, como en la información que se emplea en los medios de comunicación. Su lectura e interpretación es pues de mucha utilidad. De las coordenadas de los puntos de una gráfica podemos extraer datos muy interesantes para la comprensión de la situación que nos muestra la gráfica (la ordenada más alta o más baja, como se relacionan las magnitudes…)

El gráfico adjunto muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en el pico de Peñalara.

La actividad resuelta que nos describe el recorrido de Juan de camino a casa de sus abuelos. La gráfica que dibujamos y resume el viaje era la que figura a la derecha.

La gráfica siguiente nos indica la relación entre la edad y la estatura de los miembros de una familia.

Observando las gráficas de debajo, determina cuál es la que mejor se ajusta a la situación siguiente: “Juan va al Instituto cada mañana desde su casa, un día se encuentra con un amigo y se queda charlando un ratito. Como se la ha hecho tarde sale corriendo para llegar a tiempo a la primera clase”

La gráfica siguiente nos muestra la variación de la estatura de Laura con relación a su edad. Observando la gráfica contesta a las siguientes preguntas: a) ¿A qué edad medía 1 metro? b) ¿Cuánto medía al nacer? c) ¿Cuánto medía a los 10 años? ¿Y a los 20? d) ¿En qué periodo creció menos?

tarea 6

Las funciones

Relación entre dos variables

Las funciones como relación entre dos variables. Variable dependiente y variable independiente

No es raro escuchar o leer en la prensa expresiones como: “el precio está en función de la demanda”, “el número de escaños obtenidos por un partido político está en función del número de votos obtenidos”, “los resultados obtenidos en los estudios están en función del tiempo dedicado a estudiar”, o como esta: “el área de un círculo está en función del radio”. Estas expresiones indican que el precio de un objeto, el número de escaños, los resultados académicos y el área del círculo están relacionados, respectivamente, con la demanda, el número de votos recibidos, el tiempo dedicado al estudio y el radio, de tal forma que la primera magnitud citada depende únicamente de la segunda.

Una magnitud Y está en función de otra magnitud X, si el valor de la magnitud Y depende de manera única del valor que tenga la magnitud X.

Cuando realizamos un viaje en coche podemos observar varias magnitudes; vamos a estudiar la relación entre dos de ellas, por ejemplo, la distancia recorrida y el tiempo transcurrido desde la salida. Según sea nuestro viaje y lo que hagamos durante su recorrido (ir por autopista o por una carretera secundaria, parar un rato, volver…) la distancia recorrida según el tiempo transcurrido será mayor o menor, pero es claro que la distancia está en función del tiempo. En cada instante de tiempo habremos recorrido una distancia determinada.

Como hemos visto en algunos ejemplos y actividades anteriores, por ejemplo, en el caso de Juan que va a ver a sus abuelos, en la actividad 20, hay un periodo de tiempo (10 minutos) en el que se detiene a descansar y no avanza distancia, pero el tiempo no se detiene.

Así nos encontramos con que a varios valores de la magnitud tiempo les corresponden el mismo valor de la magnitud distancia (los 25 kilómetros que había recorrido antes de parar). Sin embargo, a cada valor de la magnitud tiempo solamente le corresponde un único valor de la magnitud distancia, esto es evidente pues Juan no puede estar en dos sitios distintos en el mismo instante de tiempo. Cuando esto ocurre decimos que la relación entre las dos magnitudes es una función.

Una función es una relación entre dos magnitudes numéricas X e Y, de tal forma que a cada valor de la primera magnitud X, le hace corresponder un único valor de la segunda magnitud Y. Además ambas magnitudes tienen valores numéricos y varía una en función de la otra (la distancia varía según la variación del tiempo en el ejemplo de Juan). Para abreviar nos vamos a referir a ellas como variables. En las relaciones funcionales, a las magnitudes relacionadas las llamamos variables. Cuando tenemos dos magnitudes, X e Y, que están relacionadas de tal forma que Y es función de X, a la magnitud Y se la denomina variable dependiente, y a la magnitud X, de la que depende, se la denomina variable independiente.

Ejemplos:

“El precio del kg de peras es de 1.80 €.” Esta situación nos define una relación entre el precio y el peso, de tal manera que el precio que pagamos depende del peso que compramos. La relación es una función. El peso y el precio son las variables, el peso es la variable independiente y el precio la variable dependiente. 3

La relación entre dos variables viene dada por la función y = 2x – 1. En este caso Y está en función de X, pues para cada valor x de la variable X hay un único valor y de la variable Y, siendo la variable X la variable independiente y la variable Y la dependiente.

tarea 7

La función: tabla de valores, gráfica, expresión verbal y expresión algebraica

La gran mayoría de las situaciones que hemos estudiado hasta este momento son relaciones funcionales en las que hay dos variables, y una depende de la otra de manera única; esto es, son funciones. Además, hemos visto que las funciones se pueden representar de varias maneras; como una descripción verbal que describe una situación, como una tabla de valores que nos indica los valores correspondientes de la relación, como una gráfica que nos visualiza la situación y como una expresión algebraica (fórmula) que nos relaciona las dos magnitudes.

Ejemplos:

1. Si observamos el precio de la gasolina en un día concreto al llenar el depósito de un coche podemos estudiar la relación entre el número de litros de gasolina y lo que pagamos.

2. Cuando tenemos una función que relaciona dos magnitudes que desconocemos, que las llamamos X e Y, la podemos tener definida por una fórmula (expresión algebraica). Por ejemplo y = 4 – 2∙x

tarea 8

Una función importante

La función lineal o de proporcionalidad directa

Recuerda que: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir a la primera por un número, la segunda queda multiplicada o dividida por el mismo número. Al realizar el cociente de cualquiera de los valores de una variable y los correspondientes de la otra, obtenemos la razón de proporcionalidad directa k.

tarea 9

La representación gráfica en el plano cartesiano de dos magnitudes directamente proporcionales es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Una función lineal es la que tiene la fórmula y=m·x Una función lineal corresponde a una relación de proporcionalidad directa. Por tanto, la relación de proporcionalidad directa es una función lineal de la forma y=m·x