A2.3 Becerril Jiménez_Sara

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC ECUACIONES DIFERENCIALES 2DO PARCIAL

eD DE SEGUNDO ORDEN

Prof. Becerril Jiménez Saraí

Homogénea

Empezar

Teoría base

Ecuación de segundo grado

ax2+bx+c=0

se tiene, que para dar solución a esta ecuación de segundo grado se usa la formula general, la cual se muestra,

La cual indica que la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, en este caso x_1 y x_2, pero debido a la naturaleza de la raíz cuadrada se pueden presentar los siguientes casos: b2-4ac>0, indica que la raíz presentará dos soluciones diferentes y reales. b2-4ac=0, indica que la raíz presentará una solución real. b2-4ac<0, indica que habrá una raíz negativa, dando paso a una solución imaginaria.

ED de segundo orden con coeficientes constantes

Se empieza a consid erar un caso especial de la ecuación de segundo orden. y''+by^'+cy=0 siendo está la forma general. donde a, b y c son constantes. Si se intenta encontrar una solución de la forma y=emx, entonces después de sustituir y'=memx y y''=m2emx, la ecuación y''+by'+cy=0 se convierte en am2emx+bmemx+cemx=0 factorizando emx (am2+bm+c)=0 debido a que emx≠0 para toda x, es obvio que la única forma en que y=emx puede satisfacer la ecuación diferencial y''+by'+cy=0 es cuando se elige m como una raíz de la ecuación cuadrática am2+bm+c=0 Esta última ecuación se llama forma útil (ecuación auxiliar o ecuación característica) de la ecuación diferencial, de segundo orden con coeficientes constantes.

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ED de segundo orden con coeficientes constantes

Como las raíces de am2+bm+c=0 son:

habrá tres formas de solución general de y''+by'+cy=0 que corresponden a los tres casos: m1 y m2 reales y distintas (b2-4ac>0)m1 y m2 reales e iguales (b2-4ac=0) m1 y m2 números conjugados complejos (b2-4ac<0)

Sesiones de aprendizaje / 01

CASO

01

RAÍCES REALES Y DISTINTAS

Cuando se presenta b2-4ac>0 se encuentran dos soluciones, reales y distintas en m1 y m2 la ecuación diferencial tendrá dos soluciones, y1=em1 x y y2=em2 x Dichas soluciones son linealmente independientes en (-∞,∞) y, por lo tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general de y''+by'+cy=0 en este intervalo es (se suman las dos soluciones y se le agregan sus respectivas constantes) yH=C1 y1+C2 y2 sustituyendo los valores obtenidos de y1 y y2

Solución

Sesiones de aprendizaje / 01

CASO

02

RAÍCES REALES E IGUALES

Cuando se presenta b2-4ac=0 se encuentran una solución, real, m1 y m2 por lo cual se obtiene sólo una solución, y1=em1 x Por medio de la técnica de reducción de orden, se obtiene la segunda solución y2=xem2 x Dichas soluciones son linealmente independientes en (-∞,∞) y, por lo tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general de y''+by'+cy=0 en este intervalo es (se suman las dos soluciones y se le agregan sus respectivas constantes) yH=C1 y1+C2 y2

Solución

Sesiones de aprendizaje / 01

CASO

03

RAÍCES complejas

Cuando se presenta b2-4a<0 se encuentran que las soluciones son complejas, entonces se puede escribir, m1=a+Bi m2=a+Bi Dichas soluciones son linealmente independientes en (-∞,∞) y, por lo tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general de y''+by'+cy=0 en este intervalo es (se suman las dos soluciones y se le agregan sus respectivas constantes) yH=C1 y1+C2 y2

Solución

Para profundizar

Bibliografía

Ecuaciones Diferenciales con aplicacioines Zill, Denisse (1986), México. Grupo Editorial Iberoamericana

Ecuaciones Diferenciales Carmona Jover, Isabel (1988), México. Editorial: PEARSON

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