Series de Laurent y teoría del residuo

Métodos de las series de Laurent y la teoría del residuo y su importancia

Series de Laurent

Teorema

Sea f una función analítica en un dominio anular R1<|z-z0|<R2, y sea C cualquier contorno cerrado simple en torno a z0, orientado positivamente, contenido en ese dominio. Entonces, en todo punto z de ese dominio, f(z) admite la representación en serie (Churchill y Ward, 1992).

Representacion desarrollada de series de Laurent :

Donde:

Imagen 1: contorno considerado para el teorema de Laurent (Zill y Shanahan, 2011).

IMPORTANCIA DE LAS SERIES DE LAURENT

Las series de Laurent son una forma de descomposición que se puede llevar a cabo en cualquier función que incluso no sea analítica en un conjunto finito de puntos. Las series de Laurent son importantes en el analisis complejo, especialemente para estudiar el comportameito de funciones cerca de singularidades (CINVESTAV, 2012; Matematicas avanzada, 2021).

Teoría del residuo

Teorema

Sea D un dominio simplemente conexo y C un contorno simple y cerrado que se encuentra en el interior de D. Si una función f es analítica sobre y dentro de C, excepto en un número finito de singularidades aisladas z1, z2, …, zn dentro de C se tiene lo siguiente(Zill y Shanahan, 2011).

Representacion del teorema del residuo:

Imagen 2: puntos singulares Zk= (k=1,2,…, n) como centros de círculos Ck positivamente orientados, interiores a C y tan pequeños que cualesquiera de ellos son disjuntos (Churchill y Ward, 1992).

IMPORTANCIA DE la teoría del residuo

Con la serie de Laurent de una función se pueden conocer los coeficientes de la serie y con esto es posible conocer los polos y también los residuos, la importancia de la teoría del residuo es que proporciona técnicas de evaluación rápida y efectiva de integrales (CINVESTAV, 2012; Amo, 2008).