la paradoja de
Monty hall
Progresión 5 Sobre la evaluación de la categoría de procesos de intuición y razonamiento.
2023 © Todos los derechos reservados
Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora académica / Dr. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional
5:
Progresión
5. Observa cómo la probabilidad de un evento puede actualizarse cuando se obtiene más información al respecto y considera eventos excluyentes e independientes para emplearlos en la determinación de probabilidades condicionales. (C2M2, C2M4) C2M2: Desarrolla la percepción y la intuición para generar conjeturas ante situaciones que requieren explicación o interpretación. C2M4: Argumenta a favor o en contra de afirmaciones acerca de situaciones, fenómenos o problemas propios de la matemática, de las ciencias o de su contexto.
Anotaciones didácticas:
Es posible, si el grupo así lo permite, llegar incluso a tratar el teorema de Bayes. Se sugiere considerar las múltiples aplicaciones que dicho resultado tiene en la actualidad en campos como la inteligencia artificial, no con la finalidad de que la o el estudiante realicen los procedimientos y entiendan a profundidad dichas aplicaciones, sino como una forma de mostrar el poder de la matemática en diversos ámbitos del desarrollo humano.
Para introducir el estudio de probabilidad condicional se sugiere considerar la paradoja de Monty Hall y casos médicos de pruebas (de embarazo, para detectar cáncer, etc.) en los que se analice la posibilidad de tener falsos positivos y falsos negativos de tal forma que el tema pueda vincularse este estudio con recursos socioemocionales.
¡Qué comience el concurso!
La clase puede empezar con un concurso Tenemos que llegar con tres mamparas etiquetadas con una letra: A, B y C (pueden ser tres pequeñas cartulinas), respectivamente y necesitamos tres premios: dos premios malos que nadie quiera y un buen premio.
NOTA DIDÁCTICA: Estimada maestra, estimado maestro, es importante buscar actividades que enganchen a nuestras y nuestros estudiantes. Aquí bosquejaremos una que tu puedes aderezar cómo mejor prefieras, con ella estaremos introduciendoo al estudiantado a la comprensión de la probabilidad condicional y el teorema de Bayes y buscaremos que él y ella desarrollen la categoría de Procesos de intuición y razonamiento.
Vamos a suponer que los premios posibles son: tu celular y dos hojas de papel hechas bolitas. No te preocupes, no tienes porque entregar tu celular si alguno de tus estudiantes gana en el concurso. Tú jugarás el papel del presentador del show y alguno de tus estudiantes será el concursante. Detrás de cada una de las mamparas colocarás uno y solo uno de los posibles premios, tus estudiantes no deben saber qué hay detrás de cada mampara. El concursante elije una mampara. Y tú preguntas a la clase ¿Cuál es la probabilidad de que su compañero le atine al premio del teléfono celular?
NOTA DIDÁCTICA: Como parte de la evaluación formativa, con esta simple actividad tú estarás haciendo una evaluación diagnóstica sobre las progresiones 2, 3 y 4. Observa quiénes de tus estudiantes responden bien, es decir 1/3.
Supongamos que tu estudiante eligió la mampara A, tú que sabes que hay detrás de cada mampara haces a un lado la C y le muestras que detrás hay una hoja de papel hecha bolita. La pregunta para tu estudiante-participante ahora es: ¿Te quedas con tu elección de mampara original o cambias a la restante? ¿Qué te conviente más?
NOTA DIDÁCTICA: Estimada maestra, estimado maestro en ocasiones para dejar madurar, cognitivamente hablando, una idea en nuestros estudiantes podemos pausar el problema que hemos estado tratando y dar pie a otra actividad que apuntale la discusión original. En efecto, estamos pausando la historieta, algo similar hizo la Mtra. Sofía pausando en aquella ocasión, a la clase siguiente, su problemática sobre el ensayo clínico. Nuestras clases no tiene porque ser lineales.
Fundamentalmente hay tres posibilidades: 1) Que el concursante diga que es más conveniente cambiar de elección original. 2) Que el concursante diga que es mejor quedarse con la elección original. 3) Que el concursante diga que es indistinto quedarse o cambiar de elección original.
Lo que como docentes queremos haccer con esta actividad es evaluar qué tanto nuestros estudiantes adoptan al pensamiento probabilístico en su toma de decisiones, identificando conveniencia con probabilidad.
NOTA DIDÁCTICA: Con este tipo de pregunta queremos evaluar el desarrolo de la categoría de Procesos de intuición y razonamiento. Queremos evaluar qué tanto nuestro estudiante incorpora la nociones de probabilidad en su toma de decisiones y cómo él o ella puede argumeentar a favor o en contra de una opción. En efecto, no estamos acostumbrados a evaluar de esta forma, usualmente evaluamos solo lo procedural. Es importante recordar la distición entre evaluación y acreditación
Actividad
¿Tú que dices es mejor quedarse con la elección original, cambiar de elección o es indistinto?
Hemos hecho esta actividad con maestras y maestros de muchas partes del país. Algunas respuestas muy interesantes que hemos obtenido son, por ejemplo: 1) La probabilidad cambia, ya no es 1/3, sino que se vuelve 1/2 y 1/2 y entonces es indistinto. 2) La probabilidad es 1/2 y 1/2, pero no cambio de puerta porque el presentador hizo todo eso de mostrar lo que había detrás para distraerme y confundirme. 3) 1/3 quedarse, 2/3 cambiar. 4) Vi en una película este problema, conviene cambiar.
Observa cómo hay una variedad de respuestas en las respuestas. Independientemente de cuál sea la opción correcta, ¿cuál dirías tú que esta mejor argumentada? Es decir, ¿en qué opción consideras tú que hay una mejor argumentación por parte del hipotético estudiante que las emitiera?
Actividad
¿Cómo retroalimentarías cada una de las 4 posibles respuestas?
Observa como en la opción 1) se articula una buena argumentación. Que en la opción 2) el pensamiento probabilístico convive con una residuo de pensamiento mágico y que esto merece una retroalimentación al respecto. Que en la opción 3) se da una respuesta pero no se dice más sobre porque se llega a esa conclusión, es decir, la argumentación es nula. Mientras que en la opción 4) la justificación que se esgrime está basada en una experiencia que no tiene la suficiente autoridad para sostenerse como una prueba.
Pero, ¿cuál es la respueta correcta? Al final, claro que sólo hay una respuesta correcta, pero lo que nos interesa evaluar ahora es la capacidad de observar, conjeturar, intuir y argumentar. Por lo demás, este problema no fue fácil de determinar en un momento y por ello obtiene el título de paradoja de Monty Hall.
Te invitamos a leer el siguiente artículo del diario El País sobre esta paradoja.
Actividad
El problema se resuelve fácilmente si sabemos lo que dice el Teorema de Bayes sobre probabilidad condicional. Sin embargo, poniéndote en los zapatos de tu estudiante, ¿cómo harías para poner a prueba cada una de las 4 respuestas que te compartimos si no tenemos más herramienta matemática que la construida en las progresiones anteriores?
¡Una respuesta son el uso de simulaciones!
Este enfoque es análogo al que se usa en Ciencias Naturales, Experimentales y Tecnología (CNEyT). Recordamos con mucho gusto una actividad de esa UAC: Se tiene un vaso de agua con un hielo y se deja pasar un rato hasta que el hielo se derrite y se pregunta: ¿qué crees que pase con el peso del vaso después de que el hielo se derrite? Enunciamos algunas posibles respuestas: 1) El peso es menor cuando el hielo se derrite, pues se pierde la masa del hielo. 2) El peso es igual porque el hielo solo cambia de forma, se vuelve agua. 3) En un primer momento el peso será igual, pero conforme pase el tiempo, al evaporase cierta cantidad de agua, es posible que el vaso pese menos. En todas las respuestas anteriores se tiene una argumentación adecuada, aunque la primera es falsa, la segunda correcta y la tercera más precisa. Pero observa que es con un experimento que podremos validar o refutar cada una de estas opciones.
Las simulaciones son en pensamiento probabilístico y estadístico a los experimentos y prácticas en CNEyT.
Actividad
Diseña una simulación para poner resolver el misterio de Monty Hall.
A continuación te presentamos una applet de Rossman & Chance con la que podrás simular este fenómeno aleatorio.
Anotaciones didácticas: !. Recuerda que puedes sustituir el uso de tecnología empleando materiales convencionales e incluso apoyándote de si es el caso de que tienes un grupo numeroso. 2. Ten cuidado cuando realices la simulación, ayuda a tus estudiantes a recordar que tienen que ser consistentes con la elección que hagan para probar su conveniencia.
Contenido matemático: Recuerda que una simulación de un fenómeno aleatorio es un proceso artificial por el cual tratamos de replicar varias veces el fenómeno con la finalidad de enteder mejos su comportamiento a largo plazo y por lo tanto su probabilidad.
Un ejemplo
Observa cómo si la estrategia es cambiar y hacemos 1000 repeticiones el 68% de las veces ganaremos y el 32% perderemos. De esto podemos concluir que no es indiferente la elección, pues si fuera así aproxiamadamente el 50% de las veces ganaríamos y el 50% de las veces perderíamos si elegimos cambiar de puerta. Es interesante ver cómo la opción 3) y 4) que presentábamos al principio, dan la respuesta correcta, pero con una pobre argumentación, lo cual se verá reflejado en la evaluación y la retroalimentación.
Posteriormente...
Podemos introducir el teorema de Bayes y calcular exactamente las probabilidades de cambiar de puesta y quedarse con la puerta original. Si nuestro grupo lo permite, al igual que nuestra expertise, podemos incluso buscar hacer una deducción del teorema de Bayes a partir de consideraciones básicas sobre probabilidad condicional. El nivel de profundidad con el que lo podemos determinar desde nuestra autonomía didáctica. Podemos poner otro ejemplo, ahora uno sencillo: tiras tres monedas y preguntas cuál es la probabilidad de que caigan las tres en águila (progresión 2 o 3 y 4) y posteriormente preguntas: 1) ¿Cuál es la probabilidad de dicho evento si sé que la primera cae en águila? 2) ¿Cuál es la probabilidad de dicho evento si sé que la primera cayó en sol? En ambos casos, la probabilidad se actualiza, aunque no es necesario usar Bayes para resolver estas preguntas. Volvamos a nuestro problema original.
Continua con el siguiente recurso
PM1 - Progresión 5: La Paradoja de Monty Hall
Andrés Flores
Created on May 22, 2023
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la paradoja de
Monty hall
Progresión 5 Sobre la evaluación de la categoría de procesos de intuición y razonamiento.
2023 © Todos los derechos reservados
Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora académica / Dr. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional
5:
Progresión
5. Observa cómo la probabilidad de un evento puede actualizarse cuando se obtiene más información al respecto y considera eventos excluyentes e independientes para emplearlos en la determinación de probabilidades condicionales. (C2M2, C2M4) C2M2: Desarrolla la percepción y la intuición para generar conjeturas ante situaciones que requieren explicación o interpretación. C2M4: Argumenta a favor o en contra de afirmaciones acerca de situaciones, fenómenos o problemas propios de la matemática, de las ciencias o de su contexto.
Anotaciones didácticas:
Es posible, si el grupo así lo permite, llegar incluso a tratar el teorema de Bayes. Se sugiere considerar las múltiples aplicaciones que dicho resultado tiene en la actualidad en campos como la inteligencia artificial, no con la finalidad de que la o el estudiante realicen los procedimientos y entiendan a profundidad dichas aplicaciones, sino como una forma de mostrar el poder de la matemática en diversos ámbitos del desarrollo humano. Para introducir el estudio de probabilidad condicional se sugiere considerar la paradoja de Monty Hall y casos médicos de pruebas (de embarazo, para detectar cáncer, etc.) en los que se analice la posibilidad de tener falsos positivos y falsos negativos de tal forma que el tema pueda vincularse este estudio con recursos socioemocionales.
¡Qué comience el concurso!
La clase puede empezar con un concurso Tenemos que llegar con tres mamparas etiquetadas con una letra: A, B y C (pueden ser tres pequeñas cartulinas), respectivamente y necesitamos tres premios: dos premios malos que nadie quiera y un buen premio.
NOTA DIDÁCTICA: Estimada maestra, estimado maestro, es importante buscar actividades que enganchen a nuestras y nuestros estudiantes. Aquí bosquejaremos una que tu puedes aderezar cómo mejor prefieras, con ella estaremos introduciendoo al estudiantado a la comprensión de la probabilidad condicional y el teorema de Bayes y buscaremos que él y ella desarrollen la categoría de Procesos de intuición y razonamiento.
Vamos a suponer que los premios posibles son: tu celular y dos hojas de papel hechas bolitas. No te preocupes, no tienes porque entregar tu celular si alguno de tus estudiantes gana en el concurso. Tú jugarás el papel del presentador del show y alguno de tus estudiantes será el concursante. Detrás de cada una de las mamparas colocarás uno y solo uno de los posibles premios, tus estudiantes no deben saber qué hay detrás de cada mampara. El concursante elije una mampara. Y tú preguntas a la clase ¿Cuál es la probabilidad de que su compañero le atine al premio del teléfono celular?
NOTA DIDÁCTICA: Como parte de la evaluación formativa, con esta simple actividad tú estarás haciendo una evaluación diagnóstica sobre las progresiones 2, 3 y 4. Observa quiénes de tus estudiantes responden bien, es decir 1/3.
Supongamos que tu estudiante eligió la mampara A, tú que sabes que hay detrás de cada mampara haces a un lado la C y le muestras que detrás hay una hoja de papel hecha bolita. La pregunta para tu estudiante-participante ahora es: ¿Te quedas con tu elección de mampara original o cambias a la restante? ¿Qué te conviente más?
NOTA DIDÁCTICA: Estimada maestra, estimado maestro en ocasiones para dejar madurar, cognitivamente hablando, una idea en nuestros estudiantes podemos pausar el problema que hemos estado tratando y dar pie a otra actividad que apuntale la discusión original. En efecto, estamos pausando la historieta, algo similar hizo la Mtra. Sofía pausando en aquella ocasión, a la clase siguiente, su problemática sobre el ensayo clínico. Nuestras clases no tiene porque ser lineales.
Fundamentalmente hay tres posibilidades: 1) Que el concursante diga que es más conveniente cambiar de elección original. 2) Que el concursante diga que es mejor quedarse con la elección original. 3) Que el concursante diga que es indistinto quedarse o cambiar de elección original.
Lo que como docentes queremos haccer con esta actividad es evaluar qué tanto nuestros estudiantes adoptan al pensamiento probabilístico en su toma de decisiones, identificando conveniencia con probabilidad.
NOTA DIDÁCTICA: Con este tipo de pregunta queremos evaluar el desarrolo de la categoría de Procesos de intuición y razonamiento. Queremos evaluar qué tanto nuestro estudiante incorpora la nociones de probabilidad en su toma de decisiones y cómo él o ella puede argumeentar a favor o en contra de una opción. En efecto, no estamos acostumbrados a evaluar de esta forma, usualmente evaluamos solo lo procedural. Es importante recordar la distición entre evaluación y acreditación
Actividad
¿Tú que dices es mejor quedarse con la elección original, cambiar de elección o es indistinto?
Hemos hecho esta actividad con maestras y maestros de muchas partes del país. Algunas respuestas muy interesantes que hemos obtenido son, por ejemplo: 1) La probabilidad cambia, ya no es 1/3, sino que se vuelve 1/2 y 1/2 y entonces es indistinto. 2) La probabilidad es 1/2 y 1/2, pero no cambio de puerta porque el presentador hizo todo eso de mostrar lo que había detrás para distraerme y confundirme. 3) 1/3 quedarse, 2/3 cambiar. 4) Vi en una película este problema, conviene cambiar.
Observa cómo hay una variedad de respuestas en las respuestas. Independientemente de cuál sea la opción correcta, ¿cuál dirías tú que esta mejor argumentada? Es decir, ¿en qué opción consideras tú que hay una mejor argumentación por parte del hipotético estudiante que las emitiera?
Actividad
¿Cómo retroalimentarías cada una de las 4 posibles respuestas?
Observa como en la opción 1) se articula una buena argumentación. Que en la opción 2) el pensamiento probabilístico convive con una residuo de pensamiento mágico y que esto merece una retroalimentación al respecto. Que en la opción 3) se da una respuesta pero no se dice más sobre porque se llega a esa conclusión, es decir, la argumentación es nula. Mientras que en la opción 4) la justificación que se esgrime está basada en una experiencia que no tiene la suficiente autoridad para sostenerse como una prueba.
Pero, ¿cuál es la respueta correcta? Al final, claro que sólo hay una respuesta correcta, pero lo que nos interesa evaluar ahora es la capacidad de observar, conjeturar, intuir y argumentar. Por lo demás, este problema no fue fácil de determinar en un momento y por ello obtiene el título de paradoja de Monty Hall.
Te invitamos a leer el siguiente artículo del diario El País sobre esta paradoja.
Actividad
El problema se resuelve fácilmente si sabemos lo que dice el Teorema de Bayes sobre probabilidad condicional. Sin embargo, poniéndote en los zapatos de tu estudiante, ¿cómo harías para poner a prueba cada una de las 4 respuestas que te compartimos si no tenemos más herramienta matemática que la construida en las progresiones anteriores?
¡Una respuesta son el uso de simulaciones!
Este enfoque es análogo al que se usa en Ciencias Naturales, Experimentales y Tecnología (CNEyT). Recordamos con mucho gusto una actividad de esa UAC: Se tiene un vaso de agua con un hielo y se deja pasar un rato hasta que el hielo se derrite y se pregunta: ¿qué crees que pase con el peso del vaso después de que el hielo se derrite? Enunciamos algunas posibles respuestas: 1) El peso es menor cuando el hielo se derrite, pues se pierde la masa del hielo. 2) El peso es igual porque el hielo solo cambia de forma, se vuelve agua. 3) En un primer momento el peso será igual, pero conforme pase el tiempo, al evaporase cierta cantidad de agua, es posible que el vaso pese menos. En todas las respuestas anteriores se tiene una argumentación adecuada, aunque la primera es falsa, la segunda correcta y la tercera más precisa. Pero observa que es con un experimento que podremos validar o refutar cada una de estas opciones.
Las simulaciones son en pensamiento probabilístico y estadístico a los experimentos y prácticas en CNEyT.
Actividad
Diseña una simulación para poner resolver el misterio de Monty Hall.
A continuación te presentamos una applet de Rossman & Chance con la que podrás simular este fenómeno aleatorio.
Anotaciones didácticas: !. Recuerda que puedes sustituir el uso de tecnología empleando materiales convencionales e incluso apoyándote de si es el caso de que tienes un grupo numeroso. 2. Ten cuidado cuando realices la simulación, ayuda a tus estudiantes a recordar que tienen que ser consistentes con la elección que hagan para probar su conveniencia.
Contenido matemático: Recuerda que una simulación de un fenómeno aleatorio es un proceso artificial por el cual tratamos de replicar varias veces el fenómeno con la finalidad de enteder mejos su comportamiento a largo plazo y por lo tanto su probabilidad.
Un ejemplo
Observa cómo si la estrategia es cambiar y hacemos 1000 repeticiones el 68% de las veces ganaremos y el 32% perderemos. De esto podemos concluir que no es indiferente la elección, pues si fuera así aproxiamadamente el 50% de las veces ganaríamos y el 50% de las veces perderíamos si elegimos cambiar de puerta. Es interesante ver cómo la opción 3) y 4) que presentábamos al principio, dan la respuesta correcta, pero con una pobre argumentación, lo cual se verá reflejado en la evaluación y la retroalimentación.
Posteriormente...
Podemos introducir el teorema de Bayes y calcular exactamente las probabilidades de cambiar de puesta y quedarse con la puerta original. Si nuestro grupo lo permite, al igual que nuestra expertise, podemos incluso buscar hacer una deducción del teorema de Bayes a partir de consideraciones básicas sobre probabilidad condicional. El nivel de profundidad con el que lo podemos determinar desde nuestra autonomía didáctica. Podemos poner otro ejemplo, ahora uno sencillo: tiras tres monedas y preguntas cuál es la probabilidad de que caigan las tres en águila (progresión 2 o 3 y 4) y posteriormente preguntas: 1) ¿Cuál es la probabilidad de dicho evento si sé que la primera cae en águila? 2) ¿Cuál es la probabilidad de dicho evento si sé que la primera cayó en sol? En ambos casos, la probabilidad se actualiza, aunque no es necesario usar Bayes para resolver estas preguntas. Volvamos a nuestro problema original.
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