Estudo de uma função

ESTUDO DE UMA FUNÇÃO

Trabalho realizado por: Catarina Pataca (nº4), Joana Januário (nº14) e Lara Camões (nº 19)

FUNÇÃO EM ANÁLISE

No nosso trabalho iremos estudar esta função definida por ramos, ao promenor.

VAMOS ESTUDAR A FUNÇÃO!

Para realizarmos o estudo da nossa função é necessário:

Paridade

Domínio

Continuidade

Interseção com os eixos

Assíntotas não verticais

Assíntotas verticais

1ª derivada

Gráfico

2ª derivada

Contradomínio

Domínio da função

1.º - Para descobrirmos o domínio de uma função por ramos temos primeiro de descobrir o domínio de cada ramo separado:

2.º - Depois de ter descoberto o dominio de todos os ramos basta fazer a união deles para descobrir o domínio da função:

Paridade da função

Para descobrir se uma função com ramos é par ou ímpar temos de ver a paridade de cada um dos ramos separadamente.

+ info

Par

Ímpar

CONTINUIDADE

Para verificar se uma função é contínua temos de calcular o limite à esquerda e à direita e a sua imagem

+ info

SERÁ QUE A FUNÇÃO É CONTÍNUA??

VAMOS DESCOBRIR!

01

Calcular a imagem, ou seja f(0)

02

Calcular o limite à esquerda, ou seja lim x -> 0- f(X)

RELEMBRA

03

Calcular o limite à direita, ou seja lim x -> 0+ f(x)

Como o lim x-> 0- = lim x-> 0+ = f(0) podemos concluir que a função é contínua

COMO DESCOBRIR OS ZEROS DE UMA FUNÇÃO

1ºRAMO

PARA CALCULAR OS ZEROS DA FUNÇÃO TEMOS DE IGUALAR A FUNÇÃO A ZERO: F(X)=0 E CALCULAR F(0). NÃO ESQUECER QUE E^X=0 É UMA EQUAÇÃO IMPOSSÍVEL

PARA CALCULAR OS ZEROS DO 2ºRAMO DE TEMOS DE FAZER EXATAMENTE O MESMO QUE FIZEMOS PARA O 1ºRAMO, APENAS MUDA A EXPRESSÃO POIS O RAMO É OUTRO.

2º RAMO

clicar aqui

Assíntotas Verticais

As assíntotas verticais são vistas a partir de possíveis pontos de descontinuidade. Como sabemos quais são estes pontos?

ASSÍNTOTAS VERTICAIS

Vamos então proceder ao cálculo deste limite:

Calculamos apenas o limite para 1- porque só há função definida pela esquerda

Podemos concluir que x=1 é uma assíntota vertical

Assíntotas não verticais

Para x -> +∞ :

• Como o domínio de f é um conjunto majorado, não existem assíntas não verticais para +∞.

Podem exitir assíntotas não verticais para +∞ e para -∞. ( y=mx+b )

Para x -> -∞ :1.º - calcula-se o m:

• m = 0 -> assíntota horizontal
• m = -/+ ∞ -> não exite assíntota não vertical
• m = nº real (excepto o 0) -> assíntota oblíqua

2.º - calcula-se o b

• se b= +/- ∞ -> não existe assíntota não vertical.

1ªDERIVADA- MONOTONIA E EXTREMOS

1º- Derivar a função

Para fazermos o estudo da monotonia e extremos de uma função é necessário começar por fazer a sua primeira derivada, nesta caso, para cada um dos seus ramos.

Como?

2º- Igualar a função a 0

Ao igualar a função derivada a zero podemos descobrir as suas soluções que serão possíveis extremos, defenidos após a análise.

Como?

3º- Fazer o quadro de sinais

Este quadro permite saber quando a função original cresce e decresce, assim como os extramos da mesma

Como?

4º- Analisar os resultados

Esta análise permite que possamos fazer uma contrução gráfica mais rigorosa .

2ª DERIVADA

Vamos agora então calcular a 2ºderivada da nossa função.Como já temos a 1ªderivada calculada para chegarmos à 2ª temos de derivar de novo os dois ramos da função. VAMOS COMEÇAR COM O 1ºRAMO:

PARA DERIVAR ESTA EXPRESSÃO VAMOS UTILIZAR A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO

RELEMBRA:e^x'=e^x

AGORA QUE JÁ TEMOS A 2ªDERIVADA DO 1º RAMO FEITA, VAMOS IGUAL A FUNÇÃO ( DA 2ª DERIVADA) A ZERO, F''(X)=0 PARA CALCULAR OS SEUS ZEROS

PARA DERIVAR ESTA EXPRESSÃO VAMOS UTILIZAR A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO

iNFO

2ª DERIVADA

Como o já calculámos a 2ªderivada e os zeros do 1º ramo, vamos agora fazer o mesmo para o 2ºramo

PARA DERIVAR ESTA EXPRESSÃO, COMO DESTA VEZ TEMOS UMA DIVISÃO E NÃO UMA MULTIPLICAÇÃO VAMOS UTILIZAR A REGRA DO QUOCIENTE

A 2ª DERIVADA ESTÁ CALCULADA AGORA VAMOS IGUALAR A ZERO:f''(X)=0

CONCAVIDADE E PONTOS INFLEXÃO

AGORA QUE A DERIVADA DOS DOIS RAMOS ESTÁ FEITA E OS ZEROS ESTÃO CALCULADOS, PODEMOS CONSTRUIR UMA TABELA.

Esta tabela irá permitir-nos estudar as concavidades e os pontos de inflexão da nossa função

Pelos nossos cálculos anteriores chegámos à conclusão que os zeros da função são: -3\sqrt{3}, -3+\sqrt{3} , por isso temos de adicionar estes valores à nossa tabela.

Info

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA NOSSA FUNÇÃO

Por fim, para fazermos a representação gráfica da nossa função e saber o seu aspeto, recorremos à análise de todos os passos que fizemos até agora: monotonia e extremos, concavidades e pontos de inflexão e ainda os zeros da função.

Contradomínio

Depois de se fazer o gráfico da função vamos analisar o seu contradomínio.

Após a análise do grafico e do quadro da 1ª derivada vemos que a função tem um máximo relativo em x=1/e, o que leva a que se deduza que o contradomínio é:

D'= ]-∞, 1/e ]

Carregue aqui para ver o gráfico:

FIM!