GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRIA ANALITICA

INDICE

Piano e sua equazione

Vettori nello spazio

Coordinate nello spazio

Posizione reciproca retta e piano

Superfici notevoli

Retta e sua equazione

Esercizi

Thanks

COORDINATE NELLO SPAZIO

SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO

• assi coordinanti

• piani coordinanti

• ottanti

• P (XP;YP;ZP)

DISTANZA FRA DUE PUNTI

1. Teroema di Pitagora al trg. ABC
2. AC=A'C'
3. .
4. ............................................................................................................................................................................

PUNTO MEDIO

BARICENTRO

VETTORI NELLO SPAZIO

• i vettore di x
• j vettore di y
• k vettore di z
• componenti cartesiane

• SOMMA

• DIFFERENZA

• PRODOTTO PER UNO SCALARE K

• PRODOTTO SCALARE

• PRODOTTO VETTORIALE ( a VETTORE b)

VETTORI PARALLELI

VETTORI PERPENDICOLARI (α=90°) => 0

PIANO E LA SUA EQUAZIONE

EQUAZIONE GENERALE DEL PIANO

CON d :

• SE d=0 PASSA PER L'ORIGINE

NO

CASI PARALLELI AGLI ASSI (CON UNA VARIABILE A COEFFICIENTE 0 E 2 VARIABILI A COEFFICIENTE 0)

x=0, PIANO Oyz x=k, PIANO // Oyz

SE C=0

y=0, PIANO Oxz y=k, PIANO // Oxz

SE b=0

z=0, PIANO Oxy z=k, PIANO // Oxy

SE a=0

3 PUNTI NON ALLINEATI NELLO SPAZIO = 1 PIANO TRAMITE SISTEMA COORDINATE PUNTI E COEFFICIENTI EQ. GENERALE

POSIZIONI RECIPROCHE TRA 2 PIANI

• PARALLELI DISTINTI
• PARALLELI COINCIDENTI
• INCIDENTI LUNGO 1 RETTA
• PERPENDICOLARI

DISTANZA DA UN PUNTO A UN PIANO

RETTA E LA SUA EQUAZIONE

EQUAZIONI PARAMETRICHE

• P0 (X0;Y0;Z0), vettore direzionale v (l;m;n)

• per P0 // a v

EQUAZIONI CARTESIANE

l, m, n ≠ 0 → k si può eliminare

divido per i coefficienti direttivi

RETTA PASSANTE PER 2 PUNTI A e B

retta passante per A con vettore AB

• retta con direzione AB → determinare retta che passa per A, parallela al vettore AB

• vettore AB (X2-X1; Y2-Y1; Z2-Z1)

• se coefficienti direttivi ≠ 0 → forma cartesiana

• condizioni di allineamento

equazione cartesiana

DA RETTA A FORMA PARAMETRICA

RETTA COME INTERSEZIONE DI 2 PIANI

2 piani incidenti intersecati

• equazione parametrica → z = k/ y = k/ x = k

VS

z = k

coefficienti delle variabili ≠ tra loro

• VICEVERSA → da parametrica si elimina k

FASCIO DI PIANI AVENTE UNA RETTA IN COMUNE

h (ax + by + cz + d) + k (a'x + b'y + c'z + d') = 0

• h, k ∈ ℝ, non entrambi nulli
• h = 1 e k = 0 → α
• h = 0 e k = 1 → α'

POSIZIONE RECIPROCA DI 2 RETTE

RETTE INCIDENTI o SGHEMBE

RETTE PERPENDICOLARI

RETTE PARALLELE

• solo se i vettori sono //
• v = kw, con k ∈ ℝ
• l' , m' , n' ≠ 0
• coincidenti → 1 punto comune

• solo se vettori sono ⟂
• v ⋅ w = 0 → ll' + mm' + nn' = 0
• sia incidenti sia sghembe

• incidenti → solo 1 punto in comune
• sghembe → no // e no punti in comune

POSIZIONE RECIPROCA DI UNA RETTA E DI UN PIANO

Il piano e la retta sono:

1. Paralleli

2. Incidenti/ perpendicolari

DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

SUPERFICI NOTEVOLI

Una SUPERFICIE è un luogo geometrico definito da un'equazione nelle variabili x,y,z. Una CURVA è il luogo dei punti dello spazio le cui cordinate risolvono il sistema:

SUPERFICIE SFERICA

Equazione in forma razionale:

CE:

Centro e raggio:

POSIZIONE RECIPROCA DI UNA SFERA E UN PIANO

il raggio perpendicolare al piano tangente in P

VS

1. d(C,α) < r
2. d(C,α) = r
3. d(C,α) > r

PIANO TANGENTE A UNA SFERA

SUPERFICIE CILINDRICA

• Generatrici

• Direttrice

• Equazione della retta e CE:

SUPERFICIE CONICA CIRCOLARE RETTA

Equazione di una superficie conica:

SUPERFICI QUADRICHE NOTEVOLI

IPERBOLOIDE A 2 FALDE

IPERBOLOIDE A 1 FALDA

ELLISSOIDE

PARABOLOIDE IPERBOLICO

PARABOLOIDE ELLITTICO

ESERCIZI

PROBLEMA SVOLTO

x + z = 1 y = 2

A (1; 0; 0) e B (0; 1; 1) e r : giaciono sullo stesso piano α

L'equazione di un generico piano contenente una retta si può scrivere come due combinazioni lineari del sistema che rappresenta la retta r

α : k (x + z - 1) + h (y - 2) = 0, poi imponiamo passaggio del piano per A e B

k (1 - 1) + h (-2) = 0 k (1 - 1) + h (1 - 2) = 0

h = 0 h = 0

h = 0, k ∈ ℝ - { 0 }

sistema risolubile piano contiene A, B e r

POBLEMA SVOLTO

Equazione del piano passante per il punto P (-3 ; 2 ; -1), con vettore normale n (-1 ; -2 ; 1)

a (X - X0) + b (Y – Y0) + c (Z – Z0) = 0

-1 (X + 3) - 2 (Y - 2) + 1 (Z + 1) = 0 -x - 2y + z + 2 = 0

POBLEMA SVOLTO

Equazione superficie sferica di centro C (-1 ; 2 ; 1) e raggio 2; troviamo poi intersezione con piano Oxy

(X – X0)2 + (Y – Y0)2 + (Z – Z0)2 = r2

(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 4 x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + 2 = 0

per trovare intersezione con piano Oxy, sistema fra equazione del piano e della sfera

z = 0(x + 1)2 + (y – 2)2 = 3

z = 0 (X + 1)2 + (Y – 2)2 + (Z – 1)2 = 4

curva di intersezione circonferenza piano Oxy di centro C (-1 ; 2 ; 0) e raggio √3

THANKS!

Chilelli Chiara, Monicelli Margot, Semeghini Miryea