I fasci di parabole

I fasci di parabole

Go!

Mattia Prinetto, Giorgia Vigna, Alessandro Burlui

I fasci di Parabole

In questa presentazione andremo ad approfondire il mondo delle parabole introducendovi ai fasci di parabole, inoltre saranno presenti anche esercizi su ogni argomento per aiutare a capir meglio ciò che viene trattato.

Indice degli argomenti

Studio di un fascio di parabole di cui sono date le generatrici

Come risalire alle generatricie ai punti base

Definizione dei fasci di parabole ed equazione

Posizioni reciproche tra le due generatrici

Fasci di equazione Y=(a+ka')x2 +(b+kb')x+c+kc'

Casi particolari

Video sulla rappresentazione dei fasci di parabole su geogebra

Esercizi

Il metodo dei fasci di parabole

Definizione di fascio di parabole

Date due parabole P e P' di equazioni P:y=ax2+bx+c e P':y=a'x2+b'x+c' si dice fascio di parabole generato da P e P' l'insieme costituito dalla parabola P' e da tutte le parabole che si ottengono dall'equazione: y - ax2 - bx - c + k(y - a' x2-b'x-c') = 0 al variare di k in R

Come trovare le generatrici e i punti base

Per trovare le due generatrici è sufficiente sostituire alla k lo 0 così facendo si ottiene la parabola P, mentre per la parabola P' non si può trovare nessun valore che sostituito alla k la dia come risultato; si può però raccogliere la k e trovare la seconda parabola. Mentre sono detti punti base i punti di intersezione fra le due generatrici e si ottengono mettendo P e P' a sistema

Studio di un fascio di parabole di cui sono date le generatrici

Studiamo il fascio di parabole che ha come generatrici le parabole P: y = x2 e P': y = 2x2-2x. Il fascio generato da P e P' ha equazione: y-x2+k(y-2x2+2x) =0; oppure svolgendo i calcoli e raccogliendo si ottiene: y(k+1)=(2k+1)x2-2kx. Per trovare i punti base del fascio mettiamo a sistema le due generatrici e otteniamo come soluzioni (0,0) e (2,4). Il fascio generato P e P' ha dunque due punti di base, l’origine O e A(2,4), ed è costituito dalle parabole che passano per tali punti. Per k=-1 (valore per cui si annulla il coefficiente di y) l’equazione del fascio diventa x2-2x=0 e si ottiene così la parabola degenere che è rappresentata graficamente dalle due rette di equazioni x=0 e x=2. Per k=-1/2 (valore per cui si annulla il coefficiente di x2) l’equazione del fascio diventa y=2x e fornisce l’equazione della parabola degenere nella retta OA.

In questa figura sono state rappresentate le due parabole e i due punti base dell'esempio precedente

Casi particolari

Dall'equazione y-ax2-bx-c+k(y-a'x2-b'x-c') si può notare che se il coefficiente k assume valore -1 si annulla il coefficiente di y e quindi si riduce in un eq. di secondo grado in x, se l’eq. ha discriminante non negativo allora si ha una parabola degenere che nel piano cartesiano si può rappresentare come una o due rette verticali a seconda che il discriminante sia uguale o maggiore a 0. Se invece k=-a/a' si annulla il coefficiente di x2 quindi l’equazione si riduce ad un’equazione di primo grado in x e in y, anche qui si può parlare di parabola degenere ed è rappresentata da una retta.

Posizioni reciproche tra le due generatrici

La posizione reciproca delle due parabole determina la natura del fascio, se esse non sono congruenti o lo sono ma con concavità opposta si può verificare uno dei seguenti tre casi:

1. Le due parabole sono secanti in due punti distinti A e B: il fascio è costituito da tutte le parabole passanti per A e per B inoltre contiene due parabole degeneri, la retta passante per AB e le due rette verticali passanti per A e per B
2. Le due parabole generatrici sono tangenti in un punto A rispetto ad una retta t: il fascio ha come punti base due punti coincidenti in A, contiene due parabole degeneri, una è costituita dalla verticale passante per A e una è costituita dalla retta tangente alle due parabole passante sempre per A
3. Le due parabole generatrici non hanno punti in comune: Il fascio non ha alcun punto base e prese due parabole distinte del fascio esse non avranno alcun punto in comune, inoltre il fascio contiene una sola parabola degenere ed è una retta che non interseca alcuna parabola del fascio.

Inoltre se le due parabole generatrici sono congruenti e hanno la stessa concavità cioè se a=a' allora si avrà uno dei seguenti due casi:

1. Le generatrici hanno un solo punto in comune A il fascio ha un solo punto base ed è costituito da parabole congruenti e con la stessa concavità passanti per A ed inoltre contiene una parabola degenere: la retta verticale passante per A.
2. Le generatrici non hanno nessun punto in comune: il fascio non ha alcun punto base ed è formato da parabole con stessa concavità ed asse di simmetria, e inoltre non contiene alcuna parabola degenere

Fasci di equazione Y=(a+ka')x2 +(b+kb')x+c+kc'

Sostitiuendo ad una delle due parabole generatrici una qualunque parabola del fascio si ottiene lo stesso fascio, perciò sostituendo ad una delle due generatrici una parabola degenere si ottiene, in queso caso utilizzando come generatrice la parabola degenere di equazione a'x2+b'x+c'=0 si ottiene la seguente equazione: y=(a+ka')x2 +(b+kb')x+c+kc' , in questo caso occorre svolgere i calcoli e raccogliere k per individuare le generatrici per poi riuscire a determinare le coordinate dei punti base; l'eventuale parabola degenere si ottiene in corrispondenza del valore di k che annulla il coefficente di x2

Il metodo dei fasci di parabole

I fasci di parabole possono essere molto utili in problemi in cui viene richiesto di trovare una parabola che soddisfa determinate condizioni, questo metodo viene definito come metodo dei fasci di parabole e si basa sulle equazioni di due fasci particolari, facilmente ricavabili: il fascio di parabole passanti per due punti A e B, assegnati e il fascio di parabole tangenti in un dato punto P a una retta:

1. L’equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all’asse y, passanti per due punti A e B, rispettivamente di ascisse xA e xB con xA ≠ xB, si può scrivere assumendo che come generatrici abbia la retta AB che indicheremo come y=mx+q e la parabola degenere rappresentata dalle rette verticali passanti per A e per B e si ottiene: y=mx+q+k(x-xA)(x-xB)
2. L'equazione del fascio con asse parallelo all'asse y tangenti in P(x0,y0) alla retta di equazione y=mx+q che si può ottenere dall'equazione trattata nel punto precedente nel caso in cui A e B coincidono in P quindi xA=xB=x0: y=mx+q+k(x-x0) 2

Vi proponiamo ora un breve video che mostra come viene creato un fascio di parabole su geogebra con l'utilizzo di uno slider, utilizzeremo come generatrici le parabole di equazione y=x2 e y=2x2-2x, lo slider viene creato dal software appena viene inserito un parametro, notiamo inoltre che a due valori di k (-1 e -1/2) le parabole del fascio diventano parabole degeneri

Esercizi

Vi proponiamo di seguito degli esercizi su quanto appena visto

Eq fasci di parabole:

1. Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni y = x2 e y = 2x2 – 3x – 4 e descrivi le sue caratteristiche (coordinate punti/o base).
2. Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni y = x2 + 2x – 8 e

y = 2x2 – 2x – 4. Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio che passa per l’origine degli assi cartesiani.

Fascio di parabole di equazione y=(a+ka')x2 +(b+kb')x+c+kc' (studiare rette del fascio punti/o base e posizione delle generatrici, e indicare se non contiene rette ):

1. y = (k + 1)x2 – 2x + k – 2
2. y = x2 + x + k – 2

Il metodo dei fasci:

1. Scrivi l’equazione del fascio di parabole passanti per i punti A(–1, 0) e B(3, 0).
2. Scrivere utilizzando il metodo dei fasci l'equazione della parabola che passa per A(2, 0), B(4, 0) e C(1, 1).

Grazie per l'attenzione!