Triángulos construcción y relaciones metricas

triangulos,clasificacion y relaciones metricas

Ángulos, triángulos y relaciones métricas PORLAEDU.DIGITALEN26 FEBRERO, 2022 Ángulos

Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal

Notación de tres letras

Notación de la medida angular

Notación del vértice

Los ángulos son una herramienta necesaria en diversas situaciones. Estas van desde cálculos de corte científico, como por ejemplo saber la dirección que una nave espacial debe tomar para cruzar la atmósfera terrestre, hasta para la forma en la que deben colocarse las butacas y la pantalla en una sala de cine que permita la visibilidad de los asistentes de forma adecuada, o el ángulo que debe tomar una bola de billar para lograr un tiro efectivo.

Si cortas dos rectas paralelas por una transversal, como se muestra en la siguiente figura, se forman ocho ángulos, de los cuales hay cuatro ángulos agudos iguales entre sí y cuatro ángulos obtusos iguales entre sí, que se clasifican de la siguiente manera: ángulos opuestos por el vértice; ángulos internos alternos; ángulos alternos externos y ángulos correspondientes.

Si no hay ambigüedad acerca del ángulo que pertenece a un vértice, puede emplearse la notación simplificada en la que después del símbolo angular se escribe la letra correspondiente al vértice del ángulo. En la figura 1.5, el ángulo representado se denota como ∠A. Esta notación es particularmente útil cuando se trabaja con triángulos.

Para denotar la medida de un ángulo se antepone la letra “m” a la notación del ángulo. De este modo, para representar la medida del ángulo A se escribe la expresión m∠A , que se lee “medida del ángulo A”. Es importante señalar la diferencia entre el objeto geométrico y su medida. El ángulo es el objeto geométrico al que se hace referencia en la solución de un problema y su medida es el valor numérico de la abertura entre los lados del mismo, que se utiliza en los cálculos. Es frecuente que se utilice la medida de un ángulo como el ángulo mismo, pero es importante señalar que son conceptos diferentes. En la figura 1.7 se muestra un polígono cuyos vértices son los puntos A, B, C y D. En cada vértice hay un ángulo marcado en color rojo, por ejemplo, en el vértice A se localiza el ángulo ∠BAD y su medida está representada por la letra griega alfa, de modo que m∠BAD =α =128° . Para efectos de cálculo se acostumbra escribir “el ángulo α ” para referirse al ángulo BAD y también es común la expresión α =128° para decir que el ángulo con vértice en A mide 128°; sin embargo, estas expresiones hacen referencia a la medida y no al ángulo. La mayoría de los textos de geometría representan la medida de un ángulo empleando letras del alfabeto griego, que pueden utilizarse los símbolos θ (theta), α (alfa), β (betha), etcétera.

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Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices. Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico. POR LA MEDIDA DE SUS LADOS: Los nombres que reciben son: 1) triángulos equiláteros Las palabras equi - látero vienen del latín: igual – lado. Son los triángulos cuyos tres lados son iguales: 2) triángulos isósceles La palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas isoque significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas. La palabra isósceles referido a la geometría quiere decir que dos lados (piernas) son iguales. Por lo tanto, un triángulo con dos lados iguales llamamos isósceles. Como ves en la figura, tienes el triángulo isósceles con dos lados iguales. Si tiene 2 lados iguales tendrá también dos ángulos iguales. 3) triángulos escalenos La palabra escaleno procede de la palabra griega skaleno que significa cojear, cojo. Nos da la idea que si el triángulo “cojea” sus lados no son iguales. Efectivamente, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes por lo que sus ángulos también serán diferentes. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS Se dividen en: 1) Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto. Tienes a continuación tres ejemplos de triángulos rectángulos En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos. 2) Triángulos acutángulos, si tienen TRES ángulos agudos(menores de 90º). En el dibujo siguiente tienes dos triángulos acutángulos. 3) Triángulos obtusángulos, si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º). En la siguiente figura tienes dos triángulos obtusángulos RESUELVE: ¿Puede un triángulo rectángulo tener, además de su ángulo recto, dos ángulos de 56º y 45º? ¿Por qué? Respuesta: No, porque la suma de los tres ángulos debe valer 180º y en este caso, supera ese número. Dos triángulos isósceles tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. ¿Son necesariamente iguales? Respuesta: Sí. ¿La suma de los ángulos no rectos de los triángulos rectángulos han de sumar un ángulo recto? ¿Por qué?

Triángulos Un triángulo es una figura cerrada que tiene tres lados y tres ángulos. Algunos lo definen como polígono de tres ángulos (partiendo de su raíz etimológica). Generalmente empleamos el símbolo Δ y las letras de sus vértices para referirnos a un triángulo, por ejemplo: ΔABC hace referencia al triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C, respectivamente. Existen anécdotas sobre triángulos, algunas de ellas célebres, ¿conoces alguna? El “triángulo de las Bermudas”, enigmático y misterioso; el “triángulo de Pascal”, poderoso y útil; los triángulos en las caras de las pirámides de Egipto, monumentales y llenos de ciencia e historia; en fin, existen muchos ejemplos que pueden motivarte a desarrollar ideas que tienen que ver con el triángulo, su definición, clasificación, propiedades fundamentales y diversas aplicaciones en contextos diferentes. Área geográfica del Triángulo de las Bermudas / Pirámide de Guiza, Egipto. Clasificación de los triángulos Los triángulos pueden ser clasificados de acuerdo con los siguientes criterios: 1. Por la medida de sus lados: a) Equilátero. Es el que tiene sus tres lados iguales. Figura 1.37 b) Isósceles. Tiene dos lados iguales y el tercero diferente a ellos. c) Escaleno. Tiene sus tres lados de diferente medida. 2. Por la abertura de sus ángulos: a) Rectángulo. Tiene un ángulo interior recto y los otros dos agudos. Figura 1.40 b) Acutángulo. Tiene sus tres ángulos interiores agudos. Figura 1.41 c) Obtusángulo. Tiene un ángulo interior obtuso y los otros dos agudos. Figura 1.42 Lo importante es distinguir las partes principales del triángulo: lados, ángulos, vértices y, desde luego, la sección del plano que delimitan sus lados, es decir: su superficie. El triángulo es también cada punto que se encuentra dentro de él. Propiedades relativas de los triángulos El triángulo es el polígono más simple. El triángulo no tiene diagonales. Tres puntos no alineados (colineales) forman siempre un triángulo. Todo polígono puede ser dividido por medio de triángulos. Para un polígono de n lados se requieren como mínimo n − 2 triángulos. La suma de dos lados siempre es mayor que el tercero y la diferencia entre dos lados es siempre menor que el tercero (desigualdad triangular). La suma de todos los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180° (figura 1.43). Figura 1.43 7. La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es igual a 360° (figura 1.44). Figura 1.44 8. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa (figura 1.45). Figura 1.45 9. Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60° (figura 1.46) Figura 1.46 10. En todo triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto (90°) se llama hipotenusa y los lados adyacentes al ángulo recto se denominan catetos. La hipotenusa es mayor que los catetos; en consecuencia, el lado de mayor medida del triángulo. 11. En todo triángulo rectángulo los catetos son base y altura, respectivamente. 12. En un triángulo rectángulo isósceles cada uno de sus ángulos agudos mide 45°. 13. Los lados de cualquier triángulo rectángulo obedecen el enunciado del teorema de Pitágoras, que dice que “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. 14. En un triángulo isósceles, la altura que corresponde a la base (lado desigual) también es mediana, bisectriz y mediatriz del triángulo. Figura 1.47 15.En todo triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices. Figura 1.48 16. En todo triángulo rectángulo, la altura del ángulo recto lo divide en dos triángulos semejantes entre sí y, a su vez, semejantes con él. 17. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a éste. Todas estas propiedades pueden ser demostradas y empleadas en la solución de problemas. De hecho, en bloques siguientes se demuestran y se emplean algunas de ellas.

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