Cónicas

Cónicas

Karla Vanessa Godínez Moreno AIKO Sarahy Liu enriquez Luis Alejandro Montelongo

4C Prof. Raymundo Jimenez Matería: Geometría analítica

Introducción

Las cónicas son una fascinante rama de la geometría que estudia las curvas formadas por la intersección de un plano con un cono de doble hoja. Estas curvas, conocidas como cónicas debido a su relación con los conos, han cautivado a matemáticos y científicos durante siglos debido a su belleza y a su amplia gama de aplicaciones prácticas.

Las cónicas se dividen en cuatro tipos principales: la elipse, la parábola, la circunferencia y la hipérbola. Cada una de ellas posee características y propiedades únicas que las distinguen. Las cuales se explicarán detalladamente más adelante

El estudio de las cónicas se remonta a la antigua Grecia, donde el matemático y geómetra griego Apolonio de Perga fue pionero en este campo. Apolonio, quien vivió entre los siglos III y II a.C., escribió una obra conocida como "Las Cónicas", en la que describió exhaustivamente las propiedades de estas curvas y estableció las bases para su estudio matemático.

Esta línea de tiempo destaca los momentos clave en la aparición y el desarrollo de las cónicas a lo largo de la historia, mostrando cómo han evolucionado y su importancia perdurable hasta la actualidad.

Aparición de las cónicas

Siglo III a.C

Siglo IV a.C

Siglo II d.C

Siglo XVII

Pierre de Fermat y el matemático y René Descartes desarrollan la geometría analítica, una herramienta poderosa que permite describir las cónicas mediante ecuaciones algebraicas.

El matemático griego Menaquio realiza algunos estudios iniciales sobre las secciones cónicas.

Apolonio de Perga, establece las bases para el estudio sistemático de las curvas cónicas y sus propiedades.

Pappus de Alejandría realiza contribuciones al estudio de las cónicas, enfocándose principalmente en la elipse.

Aparición de las cónicas

Siglo XIX

Siglo XVIII

Siglo XX

Siglo XXI

El matemático suizo Leonhard Euler realiza investigaciones adicionales sobre las cónicas y establece importantes resultados en relación con las propiedades y ecuaciones de estas curvas.

Con los avances en tecnología y computación, el estudio y la aplicación de las cónicas se expanden a diversos campos, como la física, la ingeniería y la arquitectura, también se integra en la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles educativos.

Las cónicas continúan siendo objeto de estudio y aplicación en una amplia variedad de campos científicos y tecnológicos, como la óptica, la mecánica orbital, la informática gráfica y el diseño industrial.

Karl Friedrich Gauss realiza contribuciones fundamentales al estudio de las cónicas y su relación con las ecuaciones diferenciales.

Una circunferencia se puede entender como un caso especial de elipse, donde los dos focos se encuentran en el mismo punto. En el caso particular de la circunferencia, la suma de las distancias de cualquier punto de la curva al único foco (que coincide con el centro de la circunferencia) siempre es igual al radio de la circunferencia. Dado que esta propiedad cumple con la definición básica de una elipse, podemos considerar que una circunferencia es una elipse especial con los dos focos coincidentes.Por lo tanto, debido a esta relación y a las propiedades geométricas y algebraicas compartidas, la circunferencia se clasifica dentro del conjunto de las cónicas.

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a C es r.Ecuación circunferenciaDeterminación de una circunferenciaPodemos hallar la ecuación una circunferencia cuando conocemos: - Tres puntos de la misma. - El centro y el radio. - Un punto y el centro - El centro y una recta tangente.

La circunferencia, como una forma especial de cónica, tiene numerosas aplicaciones en la vida cotidiana. Algunos ejemplos de su uso son los siguientes:1. Diseño y construcción de ruedas y neumáticos: Las ruedas de los vehículos, ya sean automóviles, bicicletas o camiones, están basadas en la forma de una circunferencia. El diseño de los neumáticos también se basa en esta forma geométrica, lo que permite un mejor agarre y desplazamiento eficiente.2. Relojes: Los relojes, tanto analógicos como digitales, utilizan la circunferencia para representar la medición del tiempo. La esfera del reloj se basa en la forma de una circunferencia, con las horas y los minutos distribuidos alrededor de ella.

Euclides fue un matemático y geómetra griego nacido alrededor del año 325 a.C. en Alejandría, Egipto. Es conocido como uno de los padres de la geometría y su obra más famosa es "Elementos", un tratado en trece libros que sentó las bases de la geometría euclidiana. Aportación: Euclides estableció los principios y axiomas fundamentales de la geometría, incluyendo las propiedades de los puntos, líneas y planos, y desarrolló teoremas y demostraciones basados en ellos. En relación con la circunferencia, Euclides demostró diversas propiedades y teoremas sobre esta figura geométrica, como el teorema que establece que todos los ángulos inscritos en una circunferencia y que abarcan el mismo arco son iguales.

PERSONAJES IMPORTANTES

Arquímedes fue un matemático, físico e ingeniero griego nacido alrededor del año 287 a.C. en Siracusa, Sicilia. Es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad y sus contribuciones abarcan una amplia gama de campos, incluyendo matemáticas, física, astronomía e ingeniería. Aportación: Arquímedes realizó diversas contribuciones a la geometría y la física que también se relacionan con la circunferencia. Una de sus aportaciones más destacadas fue el cálculo del valor aproximado de pi (π), la constante matemática que representa la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.

PERSONAJES IMPORTANTES

Arquímedes aproximó el valor de pi mediante métodos geométricos, inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares dentro y fuera de una circunferencia. Además, desarrolló el principio de la palanca y realizó numerosos descubrimientos en hidrostática, lo que muestra su habilidad para aplicar conceptos geométricos en problemas prácticos y científicos..

PERSONAJES IMPORTANTES

Arquímedes aproximó el valor de pi mediante métodos geométricos, inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares dentro y fuera de una circunferencia. Además, desarrolló el principio de la palanca y realizó numerosos descubrimientos en hidrostática, lo que muestra su habilidad para aplicar conceptos geométricos en problemas prácticos y científicos..

PERSONAJES IMPORTANTES

USOS

Ruedas y neumáticos: Las ruedas de los vehículos, ya sean automóviles, bicicletas o camiones, se basan en el concepto de la circunferencia. La forma circular de la rueda permite un movimiento suave y eficiente, y la medida de la circunferencia se utiliza para calcular distancias y velocidades.

USOS

Relojes: Los relojes analógicos tienen una esfera circular con una o dos agujas que marcan la hora y los minutos. La división de la esfera en 12 horas y los marcadores para los minutos se basan en la circunferencia.

USOS

Plato o taza: La forma circular de los platos y tazas se basa en la circunferencia. Esta forma es práctica para distribuir uniformemente los alimentos o líquidos y permite un agarre cómodo.

USOS

Diseño de joyas: Los anillos, pulseras y collares a menudo tienen diseños circulares o cuentan con gemas o piedras preciosas incrustadas en patrones circulares. La circunferencia se utiliza en el diseño de joyas para crear piezas estéticamente agradables y simétricas.

USOS

Arquitectura y construcción: La circunferencia se utiliza en la arquitectura y la construcción para diseñar y construir estructuras redondas o semicirculares, como domos, cúpulas, rotondas y arcos. Estas formas son tanto estéticas como funcionales, proporcionando resistencia y equilibrio estructural.

USOS

Arte y diseño: La circunferencia se utiliza en el arte y el diseño para crear composiciones equilibradas y armoniosas. La forma circular se encuentra en la creación de obras de arte como pinturas, esculturas y fotografías, así como en el diseño de logotipos, emblemas y elementos gráficos.

Parabola

es un tipo de función cuadrática porque siempre debe de tener com mínimo 1 término elevado al cuadrado.

¿QUE ES?

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en geometría la parábola es una de las secciones cónicas junto a la circunferencia, la elipse y la hipérbola. Es decir, una parábola se puede obtener a partir de un cono. En particular, la parábola es el resultado de cortar un cono con un plano con un ángulo de inclinación respecto al eje de revolución equivalente al ángulo de la generatriz del cono. En consecuencia, el plano que contiene la parábola es paralelo a la generatriz del cono.

plano

Elementos de una Parabola

Foco (F): es un punto fijo del interior de la parábola. La distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz de la parábola. Directriz (D): es una recta fija externa a la parábola. Un punto de la parábola tiene la misma distancia a la directriz que al foco de la parábola. Parámetro (p): es la distancia desde el foco hasta la directriz.

Elementos de una Parabola

Radio vector (R): es el segmento que une un punto de la parábola con el foco. Su valor coincide con la distancia del punto hasta la directriz. Eje (E): es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y es el eje de simetría de la parábola, en la gráfica de abajo corresponde al eje de las ordenadas (eje Y). También se dice eje focal. Vértice (V): es el punto de intersección entre la parábola y su eje.

Elementos de una Parabola

Distancia focal: es la distancia entre el foco y el vértice, o entre la directriz y el vértice. Su valor siempre es igual a p/2.

Apolonio de Perga (hacia 220 a.C), en la proposición 11 del libro I de Las Cónicas, llama parábolas a las curvas que desde entonces se conocen con ese nombre. En esa proposición deduce el symptoma (o propiedad característica) de la parábola, equivalente a lo que para nosotros, desde el siglo XVII, es la ecuación de la curva.

Es quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales.también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.

El matemático griego menaechmus se le atribuye el descubrimiento de que la parábola es una sección cónica. también se le atribuye el uso de parábolas para resolver el problema de encontrar una construcción geométrica para la raíz en cubos de dos. El menaechmus no pudo resolver este problema con una construcción, pero demostró que puedes encontrar la solución al intersectar dos curvas parabólicas.

UTILIDAD EN LA VIDA COTIDIANA

al lanzar una pelota esta realiza un movimiento parabólico, especialmente en baloncesto. Pues la ecuación de la parábola es muy útil para estudiar analíticamente la trayectoria parabólica que sigue la pelota.

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Otra aplicación de la parábola es para las antenas. Ya que todo rayo que incide sobre un objeto de forma parabólica paralelamente al eje de simetría se refleja directamente hacia el foco, es decir, todos los rayos que van a la antena parabólica quedan concentrados en el foco y esto se puede aprovechar de varias maneras. Por eso mismo es tan importante el foco de una parábola.

Importancia de la Parabola

Simetría: La parábola tiene una simetría particularmente interesante. Si trazamos una línea vertical llamada eje de simetría en el punto medio de la parábola, todas las líneas trazadas desde el eje hasta la parábola tendrán la misma longitud y la misma dirección, pero en direcciones opuestas. Esta simetría es útil en muchos cálculos y aplicaciones geométricas.

Importancia de la Parabola

Propiedad reflexiva: La propiedad reflexiva de la parábola establece que cualquier rayo de luz que se refleje en la parábola se dirige hacia su foco. Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos parabólicos, como los utilizados en los telescopios y en los faros de los automóviles, para dirigir la luz de manera eficiente hacia un punto focal.

Importancia de la Parabola

Aplicaciones físicas: La parábola aparece frecuentemente en problemas relacionados con el movimiento de objetos en el espacio. Por ejemplo, en la mecánica clásica, la trayectoria de un objeto en un campo gravitatorio uniforme cerca de la Tierra sigue una parábola si se desprecian los efectos del aire. Esta propiedad se utiliza para modelar el movimiento de proyectiles en física y en ingeniería.

Importancia de la Parabola

Enfoque de señales: La propiedad de enfoque de la parábola es utilizada en aplicaciones de comunicación y en el diseño de antenas parabólicas. Las ondas electromagnéticas que inciden en una antena parabólica se reflejan hacia su foco, lo que permite capturar y transmitir señales de manera eficiente.

Importancia de la Parabola

Óptica geométrica: En la óptica geométrica, la parábola es una de las formas utilizadas para describir la propagación de los rayos de luz. La reflexión y refracción de la luz en superficies curvas se pueden analizar utilizando las propiedades de la parábola..

Importancia de la Parabola

Lo que diferencia la ecuación reducida o canónica de las otras ecuaciones parabólicas, es que el vértice de la parábola es el origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0). La forma de la ecuación reducida de la parábola depende de si esta es horizontal o vertical. Fíjate en la siguiente representación gráfica donde se muestran las 4 posibles variantes:

Ecuación reducida o canónica de la parábola

Donde p es el parámetro característico de la parábola. Como se puede observar en la imagen anterior, cuando la variable x está elevada al cuadrado la parábola es vertical, en cambio, cuando la variable y está elevada al cuadrado la parábola es horizontal Por otra parte, el sentido de las ramas de la parábola depende del signo de la ecuación.

Ecuación reducida o canónica de la parábola

Donde p es el parámetro característico de la parábola. Como se puede observar en la imagen anterior, cuando la variable x está elevada al cuadrado la parábola es vertical, en cambio, cuando la variable y está elevada al cuadrado la parábola es horizontal Por otra parte, el sentido de las ramas de la parábola depende del signo de la ecuación.

Ecuación ordinaria de la parábola

Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación ordinaria de la parábola, cuya expresión es:

Ecuación ordinaria de la parábola

para definir una parábola orientada de manera horizontal (su eje focal es paralelo al eje X), debemos usar la siguiente variante de la ecuación ordinaria de la parábola:

Ecuación general de la parábola

una parábola también puede ser oblicua o inclinada. Pues para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación general de la parábola.

Elipse

En geometría, una elipse es una figura plana cerrada que se forma al cortar un cono con un plano de forma oblicua con respecto al eje del cono.

Propiedades distintivas

Puntos focales: Una elipse tiene dos puntos focales (F1 y F2) ubicados en su interior, y la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a estos dos focos es constante. Eje mayor y eje menor: La elipse tiene dos ejes que se cruzan en su centro. El eje mayor (2a) es la línea recta más larga que se puede trazar dentro de la elipse, y el eje menor (2b) es la línea recta más corta que se puede trazar dentro de la elipse y que es perpendicular al eje mayor. La distancia entre los focos (F1 y F2) es igual a 2a.

Propiedades distintivas

Excentricidad: La excentricidad (e) de una elipse es un valor que indica qué tan "aplastada" está la elipse. Se calcula como la distancia entre uno de los focos y el centro dividida por la longitud del semieje mayor (e = c/a). La excentricidad de una elipse siempre es menor a 1 y determina su forma y características. Simetría: Al igual que la parábola, la elipse tiene un eje de simetría que pasa por su centro y es perpendicular a sus ejes mayor y menor. Esta simetría se puede observar en la forma de la elipse y en la distribución de puntos a lo largo de ella.

APLICACIONES

Órbitas planetarias: La elipse es utilizada para describir las órbitas de los planetas alrededor del Sol en el sistema solar. Según las leyes de Kepler, las órbitas planetarias son elípticas, y esta propiedad es fundamental para entender y predecir el movimiento de los cuerpos celestes.

APLICACIONES

Óptica: En óptica, especialmente en la construcción de lentes y espejos, se utilizan superficies elípticas para enfocar y redirigir la luz de manera precisa. Las lentes elípticas y los espejos elípticos se emplean en telescopios, cámaras fotográficas, microscopios y otros dispositivos ópticos.

APLICACIONES

Arquitectura y diseño: La forma de la elipse se utiliza en la arquitectura y el diseño para crear elementos estéticos y estructurales. Por ejemplo, los arcos elípticos se encuentran en edificios históricos y puentes, y proporcionan resistencia estructural y una apariencia atractiva.

APLICACIONES

Ingeniería mecánica: La elipse se utiliza en la ingeniería mecánica para diseñar engranajes elípticos, que transmiten movimiento de un eje a otro en una relación de velocidad específica.

APLICACIONES

Antenas y satélites: En telecomunicaciones, las antenas elípticas se utilizan para transmitir y recibir señales de manera eficiente. También se utilizan trayectorias elípticas en la colocación de satélites artificiales en órbita alrededor de la Tierra.

APLICACIONES

Geodesia: La elipse se emplea en la geodesia, la ciencia que se ocupa del estudio y medición de la forma y la gravedad de la Tierra. El elipsoide de referencia utilizado en sistemas de coordenadas geográficas es una aproximación de la forma de la Tierra basada en una elipse.

PERSONAJES IMPORTANTES

Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo y matemático alemán que realizó importantes contribuciones al estudio de las órbitas planetarias y la geometría elíptica. Kepler es conocido por formular las tres leyes del movimiento planetario, también conocidas como las leyes de Kepler.

PERSONAJES IMPORTANTES

Aportaciones: Kepler descubrió que las órbitas planetarias no eran círculos perfectos, como se creía anteriormente, sino elipses con el Sol ubicado en uno de los focos. Además, estableció matemáticamente la relación entre las distancias y los períodos de revolución de los planetas, lo que condujo a la formulación de sus tres leyes del movimiento planetario. Estas leyes proporcionaron una base sólida para la comprensión del movimiento de los planetas y sentaron las bases de la mecánica celeste moderna.

PERSONAJES IMPORTANTES

René Descartes (1596-1650) fue un filósofo, matemático y científico francés. Aunque es más conocido por su trabajo en filosofía y epistemología, Descartes hizo contribuciones importantes en matemáticas, incluyendo el estudio de la geometría analítica y la elipse.

PERSONAJES IMPORTANTES

Aportaciones: Descartes estableció la relación entre las coordenadas cartesianas (ejes x e y) y las ecuaciones algebraicas, permitiendo así la representación gráfica de curvas. Esto fue fundamental para el desarrollo de la geometría analítica. Descartes también formuló la ecuación general de la elipse en términos de sus semiejes y mostró cómo las propiedades geométricas de la elipse pueden ser analizadas mediante cálculos algebraicos.

Importancia...

Aplicaciones prácticas: La elipse tiene numerosas aplicaciones en campos como la física, la óptica, la arquitectura, la ingeniería y la astronomía. Su forma geométrica y sus propiedades matemáticas permiten su uso en la construcción de lentes y espejos para la focalización de la luz, en el diseño de estructuras arquitectónicas y en el modelado de órbitas planetarias y satelitales.

Importancia...

Precisión en la descripción de órbitas planetarias: La elipse se utiliza para describir las órbitas de los planetas alrededor del Sol y de otros cuerpos celestes en el espacio. La comprensión de las órbitas elípticas, desarrollada por Kepler, ha sido fundamental para el estudio de la mecánica celeste y la predicción del movimiento planetario.

Importancia...

Fundamentos de la geometría: La elipse es una de las formas cónicas básicas, junto con el círculo, la parábola y la hipérbola. Estas formas desempeñan un papel central en la geometría, proporcionando fundamentos teóricos y herramientas matemáticas para el análisis y la resolución de problemas geométricos..

Importancia...

Representación estética y visual: La elipse se considera una forma estéticamente agradable y se utiliza en el diseño de elementos visuales en campos como el arte, la arquitectura y el diseño gráfico. Su simetría y suavidad de curvatura la convierten en una opción popular para crear formas y composiciones visualmente atractivas.

Importancia...

Desarrollo de la geometría analítica: La introducción de coordenadas cartesianas por René Descartes y la formulación de ecuaciones elípticas proporcionaron una base para el desarrollo de la geometría analítica. Esto permitió representar y estudiar las propiedades de las curvas, incluyendo la elipse, mediante ecuaciones algebraicas y cálculos matemáticos.

Ecuaciones, Formulas...

para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:

Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente.

Ecuaciones, Formulas...

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:

Donde: x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse a : Semieje de abcisas b : Semieje de ordenadas. En este caso debe cumplirse que b ⩽ a.

Ecuaciones, Formulas...

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada por:

Donde: x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse a : Semieje de abcisas b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b > a.

Ecuaciones, Formulas...

La excentricidad nos permite conocer lo alejados que están los focos del centro de la elipse.

Observa que 0 < e < 1. Cuando e ≈ 0 los focos se superponen y la elipse es una circunferencia.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.

Elementos del elipse

Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c. Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a. Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple :

Elementos del elipse

Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x

Elementos del elipse

HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.

Elementos

Elementos de la hipérbola: 1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. 6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. 7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c. 8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a. 9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.

Origen

Fueron descubiertas gracias a Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,​ mediante el cual demostró la existencia de una solución usando el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por los también geómetras Proclo y Eratóstenes. El primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada la obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a las secciones cónicas.

MENECMO

A Menecmo se le atribuye el descubrimiento de las cóniucas, además de la hipérbola, como un subproducto de la búsqueda de la solución para el problema de Delos. Menecmo sabía que en una parábola y = lx, donde l es una constante llamada al lado recto, aunque no era consciente del hecho de que cualquier ecuación con dos incógnitas determina una curva. Usando esta información ahora era posible encontrar una solución al problema de la duplicación del cubo mediante la resolución de los puntos en los que dos parábolas se cruzan, una solución equivalente a resolver una ecuación cúbica.

APOLONIO

Apolonio no sólo demostró que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono, lo cual era un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los tres tipos de curvas, sino que demostró que el cono no necesita ser recto y consideró, asimismo, el cono con dos hojas, con lo que identifica las dos ramas de la hipérbola. Apolonio también nombró a las cónicas, los nombres no sólo no son arbitrarios sino que responden a la semántica de los términos y han quedado firme y unánimemente asociados al diccionario geométrico de las cónicas para siempre.

Importancia

Usos

La hipérbola tiene unas cuantas propiedades que le permiten jugar un papel importante en el mundo real. Muchos campos usan la hipérbolas en sus diseños y predicciones de fenómenos. Un ejemplo de esto sería en los satélites, cuando los científicos lanzan un satélite al espacio, primero tienen que calcular su trayectoria. Usando las hipérbolas, los astrónomos pueden predecir el camino del satélite para hacer ajustes de forma que el satélite llegue a su camino. También se usa ene el radio, lentes y monitores, etc.

Los usos de la hiperbola en la vida cotidiana, van desde prender una linterna y colocarla paralela a una pared, la borde de luz que se ve contra la pared es una perfecta hipérbola. Hasta su uso fundamental para las profesiones como arquitectura e ingeniería, porque trabajan mucho con las formas. Un ejemplo de su uso aquí es si tienes un edificio de sección cuadrada o rectangular con un remate o cúpula cónica, la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas.

Características

• Tienen dos puntos focales, llamados Focos.
• La excentricidad de las hipérbolas es mayor que 1.
• La diferencia de cada distancia desde unm punto en la hipérbola a los dos focos es constante.
• La intersección de los ejes de simetría es el centro de la hipérbola.
• Tienen dos líneas asíntotas, hacia las cuales se acercan, pero nunca tocan.
• Las asíntotas también intersecan en el centro de la hipérbola.

Fórmulas

Vertical: -(x-h)2/b2 + (y-k)2/a2=1

Horizontal: (x-h)2/a2 - (y-k)2/b2=1

General Ax2 + Cy2+ Dx + Ey + F = 0

Ordinaria

Conclusiones

Como conclusión, queda que las cónicas las podemos utilizar de forma cotidiana, incluso en la más mínima cosa, y que gracias a ellas existen respuestas a problemas que antes se creían imposibles, así como también, ayudaron a grandes inventos, como lo fue el telescopio, además, mediante sus ecuaciones es posible calcular las trayectorias de diferentes cosas, las cónicas son importantes.

¡Gracias!