Permutazioni e simmetrie del triangolo equilatero e del quadrato
Domenica Verrico 62864
INDICE
Permutazioni
Isometrie nei poligoni
Permutazioni e figure piane
Consolidamento e valutazione
Prerequisiti
Classe 2 scuola primaria
Le conoscenze necessarie per affrontare gli argomenti in oggetto:
- Tabelline
- Enti primitivi Euclidei
- Poligoni regolari
- Insiemi
Calcolo combinatorio: le permutazioni semplici
1 step: iniziamo
L'idea centrale della lezione sulle permutazioni, parte dal concetto ingenuo di sistemare tre oggetti presenti sulla scrivania della classe, diversi tra loro, in tre scatoline differenti. Di questo raggruppamento di oggetti, ne ipotizziamo una diversa combinazione, chiedendo aiuto ai bambini che, attraverso lo scambio delle loro posizioni all'interno della scatole, saranno guidati alla formalizzazione sul quaderno.
Prendiamo tre oggetti e sistemiamoli all'interno di 3 scatolini!
NOTA BENE
Mostriamo che il posizionamento degli elementi presi in esame per le permutazioni, nella forma:
Questo facilita una visione immediata della posizione dell'elemento nelle combinazioni e una successione ordinata. RICORDA: LA COMBINAZIONE VA SCRITTA UNA SOLA VOLTA!!
2 step
Partiamo con la trascrizione delle combinazioni degli oggetti nella forma corretta, cominciando prorio dall'IDENTITA' ovvero dalla prima posizione occupata. A seguire con le altre.Cosa notiamo?
Abbiamo creato 6 combinazioni con 3 elementi!
3 step: formalizziamo
Queste combinazioni prendono il nome di:
PERMUTAZIONI
In un linguaggio più formale
Le permutazioni sono delle CORRISPONDENZE BIIETTIVE o BIIUNIVOCHE dell'insieme degli elementi su se stesso.
APPROFONDIMENTO
CORRISPONDENZA BIIUNIVOCA
Non è altro che una relazione tra gli elementi del tipo TANTI QUANTI ovvero abbiamo tanti elementi all'inizio tanti alla fine.
4 step: un passo indietro
Riprendiamo la nostra scatola.
E' possibile calcolare a priori quante combinazioni possiamo fare con 3 elementi ? Svuotiamo la scatola. Per posizionare il 1° elemento quante possibilità abbiamo? Per il 2° elemento quante possibilità abbiamo? Per l 'ultimo abbiamo solo un posto
5 step: calcoliamo
Generalizziamo e scopriamo la formula per il calcolo del numero di permutazioni(cardinalità del gruppo di permutazioni): Pn = n!
Qualsiasi numero intero seguito dal simbolo "!" andrà così calcolato.
E SE?
Vediamo ora la parola: (C A N E ) Quante permutazioni delle lettere della parola "cane" è possibile fare? RICORDA CHE LE LETTERE PERDONO LA LORO FUNZIONE COMUNICATIVA MA SONO SEMPLICEMMENTE DEGLI ELEMENTI ALL'INTERNO DELLA PERMUTAZIONE.
Dobbiamo fare 24 combinazioni in totale..
riepiloghiamo
c dui .
Nei 2 esempi, abbiamo verificato:
- come questi elementi siano connessi tra loro
- Il numero delle permutazioni possibili di n oggetti si calcola già a priori:
1°caso: 3x2x1 e: 2° caso: 4x3x2x1
LA PERMUTAZIONE è UNA CORRISPONDENZA BIIETTIVA DELL INSIEME SU SE STESSO LA FORMULA PER IL CALCOLO DEL NUMERO DI PERMUTAZIONI DI N OGGETTI è Pn = n!
Verifichiamo la comprensione
Problema
Nella famiglia di Luigi ci sono 5 componenti, 2 genitori e 3 figli. Ogni giorno i 5 componenti della famiglia si siedono al loro tavolo dotato di 5 sedie in modo diverso. In quanti modi si possono sedere? Considerando il pranzo e la cena per quanti giorni potranno sedersi in modo diverso?
le isometrie: simmetria, rotazione
Cosa possiamo fare con i poligoni regolari?
Attività
La necessità di introdurre la manipolazione delle figure restituisce una visione meno astratta e più concreta della geometria piana. Il discente deve vedere concretamente, dopo aver imparato a riconoscere i poligoni, che le figure sono modellabili e nello specifico per il nostro caso in oggetto, le isometrie, ruotabili e divisibili.
La lezione sulle isometrie:
Sulla lavagna della classe partiamo dal disegno di una retta.
le isometrie
Osserviamo gli effetti delle trasformazioni nelle figure e quindi notiamo le proprietà dei poligoni che NON VARIANO verificando quali proprietà siano state conservate
Partiamo dalla definizione di Geometria di Felix Klein. "Studio delle proprietà delle figure che sono invarianti rispetto a certe trasformazioni"
Le isometrie sono le trasformazioni del piano che conservano le distanze (Geometria Euclidea).
Quindi le figure NON vengono deformate. Cosa succede??
Le isometrie sono un applicazione biunivoca del piano in se.
Inoltre:
La simmetria
Partiamo da una retta che divide il nostro piano , la lavagna in 2:
- disegnamo un punto P sull'emistero dx del nostro piano che non appartiene alla retta disegnata A,
- tracciamo la perpendicolare dal punto alla retta disegnata A,
- calcoliamo la distanza punto retta A
- disegnamo alla stessa distanza dalla retta A ma nell emisfero sx un punto P' che si dirà simmetrico rispetto a P
- Continuiamo nel tracciare altri punti
Alla fine otteniamo una figura simmetrica in cui proprio la nostra retta A prenderà il nome di ASSE DI SIMMETRIA.
asse di simmetria
Cosa notiamo?
La linea al centro taglia la figura a metà Una figura si dice simmetrica se è formata da 2 parti ideniche che se ribaltate o sovrapposte combaciano perfettamente.
divide le figure o il piano a metà in modo che la figura o i punti, diventino perfettamente sovrapponibili e quindi Simmetrici.
Quante assi disegnamo in un triangolo equilatero?
la rotazione
è il movimento che fa girare una figura intorno ad un punto fisso.
In ogni rotazione devo considerare 3 elementi:
- il CENTRO di rotazione ovvero il punto attorno al quale avviene la rotazione
- il VERSO (orario o antiorario)
- l'AMPIEZZA ovvero di quanto ruota la figura
Partiamo dall'esempio dell'orologio ed osserviamo le sue lancette.
alcuni esempi
Prendiamo in esame ad esempio le nostre figura di riferimento: il triangolo equilatero e il quadrato.
Presentiamo il FOGLIO DI LAVORO E i poligoni
Permutazioni e figure piane regolari
Come combiniamo le permutazioni con i poligoni?
Il cartoncino con i poligoni viene utilizzato nell'attività di sintesi dei due argomenti.
Il Gruppo delle Permutazioni definisce tutte le possibili simmetrie e rotazioni della figura.
L'accento sarà posto sulle lettere incise all'interno e all'esterno delle figure che fungono da guida nelle trascrizione delle permutazioni.
Partiamo dal triangolo equilatero:
3 Step
Completiamo con la trascrizione delle permutazioni ribaltando la figura rispetto alle simmetrie
2 Step
1Step
Trascriviamo le permutazioni dei 3 vertici ruotando la figura rispetto al centro di rotazione delle 3 altezze
Osserviamo la figura aiutandoci con il lapbook per eseguire le rotazioni attorno al centro e i ribaltamenti
permutazioni del triangolo equilatero
Abbiamo ottenuto queste permutazioni di seguito:
Il gruppo di permutazione del triangolo equilatero coincide con il numero di permutazioni di 3 elementi.
permutazioni e quadrato
Il passaggio ad un quadrato pone l'accento sul cambio del numero di permutazioni,dovuti all'aumento degli assi di simmetria e delle rotazioni possibili. Solleva anche la questione tra numero di permutazioni di 4 elementi e cardinalità del gruppo di permutazioni della figura. Presentiamo prima del concetto di gruppo DIEDRALE, il gruppo di permutazioni del quadrato, aiutandoci sempre con la nostra tavola.
PERMUTAZIONI DEL QUADRATO
Nel nostro quadrato evidenziamo: - i ribaltamenti rispetto agli assi di simmetria
- le rotazioni rispetto al centro
Prendiamo nota del Gruppo di permutazioni del nostro quadrato.
GRUPPO DIEDRALE
Il Gruppo DIEDRALE è un sottogruppo del Gruppo delle permutazioni.
FORMALIZZIAMO
Il gruppo DIEDRALE (Dn) è l'insieme delle isometrie che mandano un poligono regolare di n lati in se stesso.Dn = n + n = 2n
D4 = 4 + 4=8 S4= 4!=4x3x2x1=24
CONSOLIDAMENTO E TEST VALUTATIVI
VS
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problemi con le permutazioni
PROBLEMA 1 La mamma di Martina le chiede di scrivere una lista con l'ordine di importanza dei regali che vorrebbe per il suo compleanno. Martina è indecisa tra 3 regali, ma completamente indecisa su come stillare la sua lista. Tra quante permutazioni di regali è indecisa Martina? PROBLEMA 2 Francesco
Grazie per l'attenzione.
Permutazioni e figure piane
Domenica Verrico
Created on May 18, 2023
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Permutazioni e simmetrie del triangolo equilatero e del quadrato
Domenica Verrico 62864
INDICE
Permutazioni
Isometrie nei poligoni
Permutazioni e figure piane
Consolidamento e valutazione
Prerequisiti
Classe 2 scuola primaria
Le conoscenze necessarie per affrontare gli argomenti in oggetto:
Calcolo combinatorio: le permutazioni semplici
1 step: iniziamo
L'idea centrale della lezione sulle permutazioni, parte dal concetto ingenuo di sistemare tre oggetti presenti sulla scrivania della classe, diversi tra loro, in tre scatoline differenti. Di questo raggruppamento di oggetti, ne ipotizziamo una diversa combinazione, chiedendo aiuto ai bambini che, attraverso lo scambio delle loro posizioni all'interno della scatole, saranno guidati alla formalizzazione sul quaderno.
Prendiamo tre oggetti e sistemiamoli all'interno di 3 scatolini!
NOTA BENE
Mostriamo che il posizionamento degli elementi presi in esame per le permutazioni, nella forma:
Questo facilita una visione immediata della posizione dell'elemento nelle combinazioni e una successione ordinata. RICORDA: LA COMBINAZIONE VA SCRITTA UNA SOLA VOLTA!!
2 step
Partiamo con la trascrizione delle combinazioni degli oggetti nella forma corretta, cominciando prorio dall'IDENTITA' ovvero dalla prima posizione occupata. A seguire con le altre.Cosa notiamo?
Abbiamo creato 6 combinazioni con 3 elementi!
3 step: formalizziamo
Queste combinazioni prendono il nome di:
PERMUTAZIONI
In un linguaggio più formale
Le permutazioni sono delle CORRISPONDENZE BIIETTIVE o BIIUNIVOCHE dell'insieme degli elementi su se stesso.
APPROFONDIMENTO
CORRISPONDENZA BIIUNIVOCA
Non è altro che una relazione tra gli elementi del tipo TANTI QUANTI ovvero abbiamo tanti elementi all'inizio tanti alla fine.
4 step: un passo indietro
Riprendiamo la nostra scatola.
E' possibile calcolare a priori quante combinazioni possiamo fare con 3 elementi ? Svuotiamo la scatola. Per posizionare il 1° elemento quante possibilità abbiamo? Per il 2° elemento quante possibilità abbiamo? Per l 'ultimo abbiamo solo un posto
5 step: calcoliamo
Generalizziamo e scopriamo la formula per il calcolo del numero di permutazioni(cardinalità del gruppo di permutazioni): Pn = n!
Qualsiasi numero intero seguito dal simbolo "!" andrà così calcolato.
E SE?
Vediamo ora la parola: (C A N E ) Quante permutazioni delle lettere della parola "cane" è possibile fare? RICORDA CHE LE LETTERE PERDONO LA LORO FUNZIONE COMUNICATIVA MA SONO SEMPLICEMMENTE DEGLI ELEMENTI ALL'INTERNO DELLA PERMUTAZIONE.
Dobbiamo fare 24 combinazioni in totale..
riepiloghiamo
c dui .
Nei 2 esempi, abbiamo verificato:
- come questi elementi siano connessi tra loro
- Il numero delle permutazioni possibili di n oggetti si calcola già a priori:
1°caso: 3x2x1 e: 2° caso: 4x3x2x1LA PERMUTAZIONE è UNA CORRISPONDENZA BIIETTIVA DELL INSIEME SU SE STESSO LA FORMULA PER IL CALCOLO DEL NUMERO DI PERMUTAZIONI DI N OGGETTI è Pn = n!
Verifichiamo la comprensione
Problema
Nella famiglia di Luigi ci sono 5 componenti, 2 genitori e 3 figli. Ogni giorno i 5 componenti della famiglia si siedono al loro tavolo dotato di 5 sedie in modo diverso. In quanti modi si possono sedere? Considerando il pranzo e la cena per quanti giorni potranno sedersi in modo diverso?
le isometrie: simmetria, rotazione
Cosa possiamo fare con i poligoni regolari?
Attività
La necessità di introdurre la manipolazione delle figure restituisce una visione meno astratta e più concreta della geometria piana. Il discente deve vedere concretamente, dopo aver imparato a riconoscere i poligoni, che le figure sono modellabili e nello specifico per il nostro caso in oggetto, le isometrie, ruotabili e divisibili.
La lezione sulle isometrie:
- simmetria
- rotazione
Sulla lavagna della classe partiamo dal disegno di una retta.le isometrie
Osserviamo gli effetti delle trasformazioni nelle figure e quindi notiamo le proprietà dei poligoni che NON VARIANO verificando quali proprietà siano state conservate
Partiamo dalla definizione di Geometria di Felix Klein. "Studio delle proprietà delle figure che sono invarianti rispetto a certe trasformazioni"
Le isometrie sono le trasformazioni del piano che conservano le distanze (Geometria Euclidea).
Quindi le figure NON vengono deformate. Cosa succede??
Le isometrie sono un applicazione biunivoca del piano in se.
Inoltre:
La simmetria
Partiamo da una retta che divide il nostro piano , la lavagna in 2:
- disegnamo un punto P sull'emistero dx del nostro piano che non appartiene alla retta disegnata A,
- tracciamo la perpendicolare dal punto alla retta disegnata A,
- calcoliamo la distanza punto retta A
- disegnamo alla stessa distanza dalla retta A ma nell emisfero sx un punto P' che si dirà simmetrico rispetto a P
- Continuiamo nel tracciare altri punti
Alla fine otteniamo una figura simmetrica in cui proprio la nostra retta A prenderà il nome di ASSE DI SIMMETRIA.asse di simmetria
Cosa notiamo?
La linea al centro taglia la figura a metà Una figura si dice simmetrica se è formata da 2 parti ideniche che se ribaltate o sovrapposte combaciano perfettamente.
divide le figure o il piano a metà in modo che la figura o i punti, diventino perfettamente sovrapponibili e quindi Simmetrici.
Quante assi disegnamo in un triangolo equilatero?
la rotazione
è il movimento che fa girare una figura intorno ad un punto fisso.
In ogni rotazione devo considerare 3 elementi:
- il CENTRO di rotazione ovvero il punto attorno al quale avviene la rotazione
- il VERSO (orario o antiorario)
- l'AMPIEZZA ovvero di quanto ruota la figura
Partiamo dall'esempio dell'orologio ed osserviamo le sue lancette.alcuni esempi
Prendiamo in esame ad esempio le nostre figura di riferimento: il triangolo equilatero e il quadrato.
Presentiamo il FOGLIO DI LAVORO E i poligoni
Permutazioni e figure piane regolari
Come combiniamo le permutazioni con i poligoni?
Il cartoncino con i poligoni viene utilizzato nell'attività di sintesi dei due argomenti.
Il Gruppo delle Permutazioni definisce tutte le possibili simmetrie e rotazioni della figura.
L'accento sarà posto sulle lettere incise all'interno e all'esterno delle figure che fungono da guida nelle trascrizione delle permutazioni.
Partiamo dal triangolo equilatero:
3 Step
Completiamo con la trascrizione delle permutazioni ribaltando la figura rispetto alle simmetrie
2 Step
1Step
Trascriviamo le permutazioni dei 3 vertici ruotando la figura rispetto al centro di rotazione delle 3 altezze
Osserviamo la figura aiutandoci con il lapbook per eseguire le rotazioni attorno al centro e i ribaltamenti
permutazioni del triangolo equilatero
Abbiamo ottenuto queste permutazioni di seguito:
Il gruppo di permutazione del triangolo equilatero coincide con il numero di permutazioni di 3 elementi.
permutazioni e quadrato
Il passaggio ad un quadrato pone l'accento sul cambio del numero di permutazioni,dovuti all'aumento degli assi di simmetria e delle rotazioni possibili. Solleva anche la questione tra numero di permutazioni di 4 elementi e cardinalità del gruppo di permutazioni della figura. Presentiamo prima del concetto di gruppo DIEDRALE, il gruppo di permutazioni del quadrato, aiutandoci sempre con la nostra tavola.
PERMUTAZIONI DEL QUADRATO
Nel nostro quadrato evidenziamo:- i ribaltamenti rispetto agli assi di simmetria
- le rotazioni rispetto al centro
Prendiamo nota del Gruppo di permutazioni del nostro quadrato.
GRUPPO DIEDRALE
Il Gruppo DIEDRALE è un sottogruppo del Gruppo delle permutazioni.
FORMALIZZIAMO
Il gruppo DIEDRALE (Dn) è l'insieme delle isometrie che mandano un poligono regolare di n lati in se stesso.Dn = n + n = 2n
D4 = 4 + 4=8 S4= 4!=4x3x2x1=24
CONSOLIDAMENTO E TEST VALUTATIVI
VS
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Wordwall traslazione
Wordwall isometria
Wordwall mix
problemi con le permutazioni
PROBLEMA 1 La mamma di Martina le chiede di scrivere una lista con l'ordine di importanza dei regali che vorrebbe per il suo compleanno. Martina è indecisa tra 3 regali, ma completamente indecisa su come stillare la sua lista. Tra quante permutazioni di regali è indecisa Martina? PROBLEMA 2 Francesco
Grazie per l'attenzione.