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Estructuras Cristalinas

Sistemas cristalinos y redes de Bravais

Sistemas cristalinos y redes de Bravais

Antes de definir un sistema cristalino, se introduce un concepto importante para la descripción de la estructura de un cristal. Este concepto es conocido como red de Bravais. Para introducirlo considere la estructura de la Fig. 1.

Figura 1. Distintas celdas unitarias y vectores base en una estructura reticular bidimensional.

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Centre su atención en el paralelogramo mostrado en la Fig. 1. Resulta que este paralelogramo se puede considerar como una unidad estructural fundamental llamada celda unitaria de la estructura reticular o red, y queda determinada por los vectores base El hecho de tener una celda unitaria en el sistema permite que cualquier traslación del paralelogramo se dé mediante múltiplos enteros de los vectores a y b, arrojando como resultado la translación de la celda a una región del cristal exactamente igual a la original. De este modo, todo cristal se puede reproducir si se reproduce la celda unitaria que se traslada sobre las direcciones de los vectores mediante todas las combinaciones posibles de múltiplos enteros de estos vectores. Todo lo anterior puede resumirse en que cada punto de la red del cristal puede describir por medio de un vector dado por:

ABCD

a y b.

ABCD

a y b,

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i y j

donde son números enteros. Con un razonamiento análogo es posible extender el concepto de celda unitaria y vectores base en redes cristalinas tridimensionales a partir de un vector r dado por:

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siendo números enteros. Es importante mencionar que la elección de la celda unitaria podría no ser única. Para ejemplificar lo anterior observe el video 2.

i , j y k

Video 2

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Si bien, es cierto que la celda unitaria podría no ser única, a menudo se trata de considerar una celda unitaria que contenga la menor área o volumen para sistemas bidimensionales o tridimensionales, respectivamente. En el caso de que la celda cumpla esta propiedad se dirá que es una celda unitaria primitiva. Análogamente un conjunto de vectores base primitivos son aquellos que son linealmente independientes y además describen una celda unitaria primitiva. En la Fig. 1 es posible considerar como celdas unitarias primitivas a los paralelogramos ABCD, A´B´C´D y A´´B´´C´´D´´ ¿Cómo puede verificar que las áreas de las tres celdas propuestas son iguales? ¿Puede proponer otra celda unitaria primitiva para la red cristalina dada? Recuerda el video 2.

Teniendo en mente lo anterior y considerando redes en el espacio, resulta que existen sólo catorce formas distintas de acomodar los puntos en las redes cristalinas, de modo que todos los puntos de dicha red tengan exactamente el mismo medio circundante. Al conjunto de estas estructuras se les conoce como redes de Bravais y se observan en la Fig. 2. Si usted pudiera situarse en un punto de la red como un observador, vería exactamente la misma disposición de los puntos circundantes a usted debido a le periodicidad de la estructura. Es importante considerar parámetros en estas redes que permitan describirlas con facilidad. Para ello se considera la notación de la Fig. 3 para las dimensiones de las celdas y sus ángulos.

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Figura 3. Diagrama para la notación de los ángulos y las dimensiones dentro de una celda unitaria.

Figura 2. Redes de Bravais.

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Al considerar las características asociadas en la Fig. 3 es posible agrupar las catorce redes en siete sistemas cristalinos dependiendo de las simetrías de las estructuras. Esta clasificación puede observarse en la tabla 1.

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Ejercicios típicos relacionados con las redes de Bravais están relacionados con las longitudes de los lados de la celda unitaria. Considere los siguientes ejercicios:

• En una estructura cúbica simple, encuentre la distancia entre dos puntos extremos si la longitud en unidades adimensionales del lado del cubo es 1. Para observar la resolución del problema vea el video 3.

• En una estructura cúbica simple, encuentre la distancia entre dos puntos extremos si la longitud en unidades adimensionales del lado del cubo es 2. Para observar la resolución del problema vea el video 3.

• En una estructura ortorrómbica simple, encuentre la distancia entre dos puntos extremos si las longitudes en unidades adimensionales son: Para observar la resolución del problema vea el video 4.

a = 1, b= 2 y c = 3 .

• En una estructura ortorrómbica simple, encuentre la distancia entre dos puntos extremos si las longitudes en unidades adimensionales son: Para observar la resolución del problema vea el video 4.

a=1, b= 2 y c=4.

Video 4

Video 3

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Hasta este momento se han definido varios conceptos relacionados a las estructuras cristalinas, pero en el presente trabajo estos conceptos nos interesan desde el punto de vista de los materiales semiconductores. La definición formal de estos materiales será considerada en lecciones posteriores. Por ahora sólo se dirá que un material semiconductor es aquel que puede comportarse como un conductor o como un aislante dependiendo de ciertos factores como pueden ser la temperatura. El material semiconductor más común es el silicio que tiene una estructura cristalina. Este material puede presentarse con varias distribuciones atómicas, una de ellas se muestra en la Fig. 4. Si hipotéticamente la longitud adimensional del lado del cubo en la Fig. 4 fuera ¿cuál sería la distancia entre uno de los vértices y el punto en el centro del cubo? Recuerde el video 3.

a,

Figura 4. Descripción gráfica de una posible estructura del silicio.