Talete

TEOREMA DI TALETE

Di Giovanni Matteo 2° F Marrone Alexandra Tina Daniele A.S. 2022/2023

Teorema di Talete

Introduzione

Per comprendere il teorema di Talete bisogna comprendere il significato dei Termini "rapporto tra due segmenti" e "proporzione".Il rapporto tra due segmenti è il rapporto tra le due misure (AB/CD). Quattro segmenti sono proporzionali quando il rapporto tra AB e CD è uguale al rapporto di EF e GH (AB/CD=EF/GH). Le proporzioni posso essere scritte anche così: A:B=C:D. Dove C e B sono detti "medi" e A e D sono detti "estremi".

Teorema di Talete

Introduzione alle proprietà delle proporzioni

La proprietà fondamentale delle proporzioni dice che il rapporto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi A*D=B*C. Ma di proprietà ne abbiamo altre non indifferenti: 1) Invertire (B:A=C:D); 2) Permutare (A:C=B:D) oppure (B:D=A:C); 3) Comporre ((A+B):A=(C+D):C) oppure ((A+B):B=(C+D):D); 4) Scomporre ((A-B):A=(C-D):C) oppure ((A-B):B=(C-D):D).

Esiste una proprietà secondaria detta "della catena dei rapporti" , essa dice che:A/B=C/D=E/F=... allora (A+C+E+...)/(B+D+F+...)=k.

Teorema di Talete

1° Teorema di Talete:

"Dato un fascio di rette parallele (fascio di rette improprio) tagliato da due trasversali, il rapporto tra 2 segmenti AB e CD, posti su una trasversale, è uguale al rapporto tra i loro corrispondenti A' B' e C' D' posti sull'altra trasversale".

Teorema di Talete

2° Teorema di Talete:

"Se una retta parallela a un lato di un triangolo interseca gli altri due lati, allora li divide in segmenti proporzionali". L'inverso dice che: "Se una retta interseca due lati di un triangolo in modo che i segmenti definiti su due lati siano proporzionali, allora tale retta è parallela al terzo".

LE SIMILITUDINI

CHE COSA SONO?

Una similitudine è una traduzione dell'idea intuitiva di due figure che, apparentemente, hanno la stessa forma, ossia, due figure che sono l'una l'ingrandimento o la riduzione in scala dell'altra.

In verità di similitudini ne abbiamo diverse, ad esempio, quella tra triangoli, poligoni o cerchi. Andiamo a scoprirli assieme!

La similitudine nei Triangoli

DEFINIZIONE

Due Triangoli si dicono simili se i loro angoli sono rispettivamente congruenti e i lati opposti agli angoli congruenti sono proporzionali

Per determinare se due o più triangoli siano simili tra di loro utilizziamo dei criteri che mostrerò nelle seguenti pagine.

1° criterio di similitudine dei triangoli

Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili.

2° Criterio di similitudine dei triangoli

Se due triangoli hanno due lati proporzionali e l'angolo compreso congruente, allora sono simili.

3° criterio di similitudine dei Triangoli

Se due triangoli hanno i lati proporzionali allora sono simili.

Relazione fra coppie di triangoli simili

In due triangoli simili, di rapporto di similitudine s:

• Il rapporto tra le due altezze corrispondenti è pari a s;
• Il rapporto tra i perimetri è uguale a s;
• Il rapporto tra le aree è pari a s2

Teoremi di Euclide

Teorema 1:

In un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa.

Teorema 2:

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Similitudine e Poligoni

DEFINIZIONE

Due poligoni aventi lo stesso numero di lati si dicono simili se:

• hanno gli angoli rispettivamente congruenti;
• i lati opposti agli angoli congruenti sono proporzionali.

I lati opposti ad angoli congruenti si dicono corrispondenti e il rapporto costante tra due di essi si chiama rapporto di similitudine.

Perimetri e Aree di poligoni simili.

Se due poligoni sono simili e il loro rapporto di similitudine è s, allora:

• Il rapporto dei perimetri è pari a s;
• Il rapporto delle aree è pari a s2.

2P=s a1=s2

Diagonali di poligoni simili

In due poligoni simili, il rapporto tra due diagonali che congiungono vertici corrispondenti è uguale al rapporto di similitudine.

Rapporto tra perimetri di due poligoni regolari

Il rapporto tra i perimetri di due poligoni regolare aventi lo stesso numero di lati è uguale sia al rapporto tra i raggi delle circonferenze inscritte nei poligoni sia al rapporto tra i raggi delle circonferenza circoscritte ai poligoni.

Similitudine e Circonferenza

Teorema delle corde:

Se due corde AB e CD di una circonferenza intersecano in P, il prodotto delle misure i cui AB resta divisa da P è uguale al prodotto delle misure dei due segmenti in cui CD resta divisa in P.

Teorema delle Secanti

Se da un punto esterno a una circonferenza si conducono due semirette secanti e si considerano i quattro segmenti che hanno un estremo nel punto esterno e l'altro nei punti d'intersezione delle secanti con la circonferenza, il prodotto delle misure dei due segmenti a una secante è uguale al prodotto delle misure dei due segmenti appartenenti all'altra secante.

Teorema delle secanti e delle tangenti

Se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una semiretta secante e una tangente, il prodotto fra la misura dei due segmenti che hanno un estremo nel punto esterno e l'altro nei punti d'intersezione della secante con la circonferenza è uguale al quadrato della misura del segmento di tangenza.

Potenza di un punto rispetto a una circonferenza

DEFINIZIONE:

Dato un punto P e una circonferenza, siano A e B i punti d'intersezione con la circonferenza di una retta passante per P e secante la circonferenza. Si chiama potenza di P rispetto alla circonferenza:

• il numero PA * PB se P è esterno alla circonferenza;
• il numero -PA *PB se P è interno alla circonferenza;
• il numero 0 se P appartiene alla circonferenza.

SEZIONE AUREA

AB:AC=AC:CB

DEFINIZIONE:

Si dice sezione aurea di un segmento la parte del segmento media proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente.

DIMOSTRAZIONE

A B C

AB=lC ∈ AB, AB:AC=AC:CB AC=?

AC=x (0<x<l)CB=l-x

AB:AC=AC:CB == x2 + lx - l2=0 l= (√5-1)l/2

APPLICAZIONI DELLA SEZIONE AUREA

IL RETTANGOLO AUREO

Quello che abbiamo appena visionato era la riproduzione della costruzione di un rettangolo aureo. Si chiama rettangolo aureo il rettangolo avente un lato congruente alla sezione aurea dell'altro.

CURIOSITA'!

Lo sapevate che un triangolo aureo è presente anche nell'uomo Vitruviano? L'uomo vitruviano presenta anche alcune dimensioni che suggeriscono una relazione con il Numero d'Oro. Tra la sommità della fronte e la pianta dei piedi, i seguenti organi sono collocati nei punti del Numero d'Oro: - l'ombelico; - i capezzoli; - le clavicole.

La sezione aurea si nasconde ovunque intorno a noi. Quando le parti di un insieme hanno un rapporto armonioso tra loro e con il tutto, possiamo parlare di bellezza, di armonia. La natura ha inventato tali proporzioni nella sua creazione e l'uomo, per intuizione, le ha riconosciute. Si dà il caso che questo rapporto, così spesso presente, sia il numero d'oro chiamato Proporzione Divina.

Complementi: circonferenza, poligoni inscritti e cricoscritti

Continuo de "Il teorema di Talete".

Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

Lunghezza della circonferenza

Immaginiamo di avere un filo perfettamente adattato ad una circonferenza e tagliamo l'eccedenza. Noteremo che, allungandolo e raddrizzandolo, avremo un filo lungo AB. Ecco, la lunghezza AB è la lunghezza di una circonferenza, anche se in questo odo definiamo un concetto primitivo.L'idea fondamentale che abbiamo per determinare la lunghezza di una circonferenza risale ad Archimede e dice: "Bigogna cercare di approssimare la lunghezza di una circonferenza tramite il perimetro di poligoni regolari inscritti e circoscritti".

Il numero pi greco

Il numero π (Pi greco) è il rapporto costante tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro. Questo numero è detto irrazionale, ovvero, un numero la cui rappresentazione decimale è illimitata e non periodica. Solitamente lo si rappresenta solo con le prime 2 cifre decimali, ovvero, 3.14. Il pi greco è fondamentale per trovare la lunghezza della circonferenza, infatti, si trova facendo 2πr.

Area di un cerchio

Per ricavare intuitivamente la formula dell'area di un cerchio ricordiamo che l'area di un poligono di n lati è ricavata dalla formula: p*a.Dove p è la misura del perimetro e a è la misura dell'apotema. Al crescere di n bisogna considerare il semiperimetro che sarà πr mentre l'apotema sarà uguale al raggio r quindi l'area del cerchio sarà: πr*r=πr^2.

Archi e settori circolari

Consideriamo un arco di una circonferenza di raggio r corrispondente ad un angolo al centro di 60°. Siccome 60° è un sesto di 360°, la lunghezza dell'arco sarà un sesto della lunghezza della circonferenza. Quindi: 1/6*2πr=1/3πr. Da qui ne ricaviamo il seguente Teorema: La lunghezza di un arco di circonferenza il cui raggio misura r, corrispondnte a un angolo al centro di ampiezza α°, è: (α/180)πr.

Raggio delle circonferenze inscritta e circosritta in un triangolo

Il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo si trova usando la formula: r= abc/4S.

In un triangolo rettangolo, il diametro coincide con l'ipotenusa rendendo il raggio la metà di esso.

In un triangolo equilatero il centro O della circonferenza circoscritta corrisponde al baricentro del triangolo, quindi, il raggio è 2/3 dell'altezza.

In un triangolo isoscele, invece, vale la formula più semplice: r=l^2/2h.

Raggio di circonferenze inscritte in un triangolo

Consideriamo un triangolo di lati abc e di area S. Sappiamo che l'area di di un poligono circoscritto ad una circonferenza si trova moltiplicando il perimetro per il raggio e da qui ne ricaviamo la formula inversa: S=p*r ==> r=S/p

Con un triangolo equilatero il centro O della circonferenza coripsonde al baricentro, da cui si deduce che il raggio della circonferenza è 1/3 dell'altezza h.

Casi particolari:

In caso in cui il triangolo sia rettangolo possiamo utilizzare una formula diversa. Indicando con x e y i segmenti divisi dal raggio della circonferenza inscritta e con c la misura dell'ipotenusa intera, indichiamo con 2p il perimetro e ne ricaviamo la seguente relazione: 2x+2y+2r=2p; r=p-(x+y); r=p-c.

Complementi su poligoni inscritti e circoscritti

Trapezi circoscritti a una circonferenza:

le semirette DO e AO sono bisettrici di ABC e DAB, ne segue che gli angoli HAO e HDO. Dunque ABC e BCD sono angoli adiacenti al lato obliquo di un trapezio, quindi, supplementari:2α+2β=180° quindi α+β=90°. L'ampiezza dell'angolo AOC è 180-(α+β)=90°. Il raggio OT è perpendicolare a DA quindi risulta essere l'altezza relativa all'ipotenusa. Per il secondo teorema di Euclide vale allora la proporzione AT:OT=OT:DT

Proprietà di un teorema circoscritto a una circonferenza

a. il triangolo che ha come vertici il centro della circonferenza e gli estremi di uno dei due lati obliqui è rettangolo;b. il raggio della circonferenza è medio proporzionale tra i due segmenti in cui ciascun lato obliquo resta diviso dal punto di tangenza con la circonferenza stessa

Corollario 1

In un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza il diametro è medio proporzionale tra le basi.

Trapezi circoscritti a una circnferenza

Teorema:In un trapezio circoscritto a una semicirconferenza: a. ciascuno dei due segmenti in cui la base maggiore resta divisa dal centro della semicirconferenza è congruente al lato obliquo che ha un stremo in comune con esso; b. la base maggiore è congruente alla somma dei lati obliqui

Lati di poligoni regolari notevoli

Omotetie e similitudini

Continuo de "Il teorema di Talete" e "Complementi: circonferenza, poligoni inscritti e circoscritti".

Omotetie

Le omotetie sono delle trasformazioni che corrispondono, in senso astratto, a ingrandimenti e riduzioni delle figure a partire da un <<centro di proiezione>>. Si definisce omotetia di centro O e rapporto di k, essendo k un numero reale diverso da zero, la trasformazione che lascia fisso O e trasforma ogni punto P del piano diverso da O nel punto PI tale che: se k>0, PI appartiene alla semiretta OP; se k<0, PI appartiene alla semiretta opposta a OP; OPI ≅ |k|OP.

Proprietà delle omotetie

Una omotetia trasforma: a. una retta in una retta parallela alla prima; b. un angolo in un angolo ad esso congruente; c. un segmento in un segmento parallelo al primo e tale che il rapporto è uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia. Possiamo definire i due poligoni che si corrispondono in una omotetia simili.

Omotetie nel piano cartesiano

Le equazioni che consentono di andare da dei punti di partenza ai loro omonimi omotetici vengono chiamate equazioni dell'omotetia.

Da omotetie a similitudini

Definizione prodotto di trasformazioni:

Si chiama trasformazione composta o prodotto di una prima trasformazione f e di una seconda trasformazione g, che fa corrispondere a ogni punto P del piano il punto PII ottenuto determinando dapprima l'immagine di PI di P nella f e poi l'immagine PII di PI nella g. Una trasformazione che è il prodotto di una omotetia e di un' isometria viene detta similitudine.

Figure simili

Poichè le isomettie e le omotetie conservano le ampiezze degli angoli, lo stesso faranno le similitudini. Poichè una similitudine è il prodotto di un'isometria e di un' omotetia, l'effetto delle similitudini sulle lunghezze è quello di una variazione secondo un fattore costante, detto rapporto di similitudine. Quindi le similitudini conservano i rapporti tra segmenti. Due poligoni sono simili se e solo se si corrispondono in una simlitudine.

Due figure si dicono simili se e solo se esiste una similitudine che trasforma una nell'altra.

Ringraziamo tutti per l'attenzione.I 3 dell'Ave Maria <3

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