I NUMERI NATURALI E IL PRINCIPIO DI INDUZIONE

I NUMERI NATURALI E IL PRINCIPIO DI INDUZIONE

LUCIA MARANO MATRICOLA 62473

CLASSE IV

PREREQUISITI

LEGGERE E SCRIVERE I NUMERI SIA IN CIFRA CHE IN LETTERE

CONOSCERE IL CONCETTO DI INSIEME

CONFRONTARE COPPIE DI NUMERI USANDO I SIMBOLI > ,< e =

CONOSCERE IL CONCETTO DI APPLICAZIONE

Ciao, sono Giuseppe Peano sono il padrone di casa al Dipartimento di Matematica dell'Università di Torino

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Sono sempre io, Giuseppe Peano: sono diventato un matematico stimato in tutto il mondo! Ho preso parte in modo significativo allo sviluppo della matematica moderna. In questi tag puoi scoprire di più sui miei contributi scientifici!

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COS'E' UN ASSIOMA?

GLI ASSIOMI DI PEANO

1. Esiste un numero naturale 0 che appartiene ad N2. Ogni numero naturale n avrà un successore che appartiene ancora ad N 3. Due numeri naturali diversi avranno due successori diversi 4. 0 non è il successore di alcun numero naturale 5. Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (Principio di Induzione)

LE PROPRIETA' DELL' INSIEME N

1.L’insieme ℕ è un INFINITO NUMERABILE. Preso un numero naturale qualsiasi se ne può sempre trovare uno maggiore. I numeri naturali sono infiniti. 2.L’insieme ℕ è TOTALMENTE ORDINATO. Possiamo sempre confrontare due numeri fra di loro, dicendo se uno è più grande (maggiore) dell’altro. 3.L’insieme ℕ è BEN ORDINATO L’insieme ℕ possiede un numero minimo che è minore di tutti gli altri (lo 0).

NEL LINGUAGGIO FORMALE

1 Esiste un insieme i cui elementi si dicono Numeri NATURALI2 Esiste un elemento zero, appartenente ai numeri naturali 3 E'definita un applicazione F : chiamata SUCCESSOREa F è INIETTIVA b l'elemento 0 non è il successore di alcun numeroc vale il Principio di Induzione

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IL PRINCIPIO DI INDUZIONE

Il principio di induzione permette di dimostrare che una certa proprietà P(N) è VERA per ogni n senza doverlo dimostrare per ogni singolo elemento.

∈ ℕ

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Come funziona ?

Per dimostrare che una certa proprietà P(n) vale per tutti i numeri naturali n, procediamo per step.

BASE DI INDUZIONE

IPOTESI INDUTTIVA

PASSO INDUTTIVO

BASE DI INDUZIONE

STEP

Tesi: una certa PROPRIETA' P(n) è vera per ogni n N Vogliamo dimostrare che una certa proprietà P(n) è vera per un certo numero naturale dell' insieme N. Ad es. possiamo partire da 0. Dimostriamo che P(n) è vera per n=0, cioè P(0) è vera.

IPOTESI INDUTTIVA

STEP

Possiamo ora formulare l' ipotesi induttiva. Supponiamo, dopo aver dimostrato la base di induzione, che la proprietà P(n) vale per un certo numero naturale (K). P(K) è vera

PASSO INDUTTIVO

STEP

La mia tesi è che una certa PROPRIETA' P(n) sia vera per ogni n N La dimostro per il primo numero naturale dell' insieme N P(n) è vera per n=0, cioè P(0) è vera.

Dopo aver supposto che P(K) è vera, la dimostriamo per (K+1). Se siamo in grado di dimostrarla per (K+1) allora la proprietà è vera per ogni n .

La somma dei primi n numeri naturali è uguale a n (n+1)/ 2

P(n): S(n)= n(n+1)/2 Ɐn≥1.

1 STEP : Troviamo una base di induzione. Ad es : vediamo se è vera per n= 1

Sostituiamo al posto di n il valore 1. Otterremo 1= 1(1+1) /2 =1 quindi 1=1.

BASE DI INDUZIONE

2. STEP : Supponiamo che

P(K)= 1+2+3+…+K = K(K+1)/2 sia vera

per K>1.

Ipotesi Induttiva

3. STEP :

Dobbiamo dimostrare che P(K+1) sia vera

Passo Induttivo

K(K+1)/2+(K+1).

1+2+3+…+K +(K+1) =

1+2+3+…+K = K(K+1)/2

(K+1) (K+2) /2

K 2+K+2K+1/ 2 =

K(K+1)/2+(K+1) =

K2+ 3K+1 /2 =

P(n) è vera Ɐn N

Se è vera anche per P(K+1) allora

TEST

TESI: DIMOSTRO CHE TUTTI I BAMBINI HANNO GLI OCCHI DELLO STESSO COLORE. PER n= 1 TESI è VERA LA SUPPONIAMO VERA PER K-1 IPOTESI DI INDUZIONE LA DIMOSTRIAMO VERA PER TUTTI.

L’ IPOTESI DI INDUZIONE CI DICE CHE LA TESI è VERA PER K-1.

CONSIDERO QUESTI K-1 BAMBINI.

K-1

K-1

IL PRIMO BAMBINO HA GLI OCCHI DELLO STESSO COLORE DEL SECONDO BAMBINO IL SECONDO BAMBINO HA GLI OCCHI DELLO STESSO COLORE DEL TERZO BAMBINO QUINDI ANCHE IL PRIMO E IL TERZO PER LA PROPRIETA' TRANSITIVA AVRANNO GLI OCCHI DELLO STESSO COLORE .

QUESTI K-1 BAMBINI QUINDI HANNO TUTTI GLI OCCHI DELLO STESSO COLORE.DOV’E’ L’ERRORE?

LA RICORSIONE

La funzione ricorsiva si avvale del procedimento induttivo Si programma dapprima la funzione sul caso base (lo 0 dell'induzione). Quindi, assumendo che la funzione faccia il suo lavoro su un input pari a $n$, si programma la funzione per l'input $n+1$.

La ricorsione è una nozione fondamentale sia in matematica e sia in informatica.

Come la Matematica sa diventare Arte.

Nella figura del video osserveremo schemi che si ripetono sempre, ma su scale diverse. L'occhio sarà alla continua ricerca del confine della figura, ma non riuscira a trovarlo, perchè esso non esiste. Man mano che si ingrandirà l'immagine scopriremo sempre nuove insenature, ma sempre uguali a quella iniziale.

E' questa indefinitezza e autosomiglianza che definisce concettualmente quello che è un frattale.

La ricorsione è un fenomeno che si ritrova spesso in natura: sotto forma di frattali.

La grande onda di Kanagawa di Hokusai

La grande onda di Kanagawa di Hokusai

Sottotitolo

END OF THE LESSON

THANKS YOU!