Propiedades de Fourier

Propiedades de la

Transformada de Fourier

Introducción

Al Tema:

La transformada de Fourier es una operación matemática indispensable para un gran número de disciplinas. Se usa en campos como la medicina, las telecomunicaciones, la ingeniería acústica, los circuitos eléctricos, el diseño de puentes frente a resonancias y la compresión de pistas de audio, entre otros.

¿Qué es la transformada de Fourier?

El concepto de ‘transformada de Fourier’ se refiere a varios conceptos de forma simultánea:

La transformada de Fourier es una transformación matemática usada para transformar señales entre el dominio del tiempo o espacio al dominio de la frecuencia, y viceversa.

Operación de transformación de una función.

Función resultado de la operación.

Espectro de frecuencias de una función.

¿Qué es la transformada de Fourier?

La función original suele recibir el nombre de x(t), siendo muy común que ‘t’ sea el tiempo, mientras que la función transformada suele recibir el nombre de X(f), en mayúscula, siendo ‘f’ la frecuencia.

Es importante destacar que aunque el tiempo, el espacio y la frecuencia son valores reales, tanto x(t) y x(s) como sus respectivas transformadas X(f) no tienen por qué tomar valores reales.

Propiedades

de la transformada de Fourier:

Propiedades

Desplazamiento en el tiempo

Desplazamiento en frecuencia

Linealidad

La propiedad de linealidad de la transformada de Fourier tiene gran utilidad en la soluci´on de problemas de la ciencia y la ingeniería, ya que permite simplificar operaciones largas y complejas en otras más cortas y por lo general menos complejas.

Es igual a la transformada de Fourier de x(t) centrada en la frecuencia de oscilación del exponencial complejo.

La propiedad de desplazamiento en el tiempo hace referencia a que: Sí una señal arbitraria x(t) es desplazada un instante de tiempo t0; ese mismo valor se ve reflejado en el dominio de la frecuencia como un desfase cuyo valor se interpreta en la escala adecuada.

Propiedades

Inversión en el tiempo

Escala de coordenadas

Dualidad

Las diferencias se dan en el cambio de signo de la exponencial compleja y en el factor 1/2π de una de ellas.

La transformada de Fourier de la señal escalada en el tiempo por un número real positivo a, x(at), tiene la misma transformada de Fourier de la señal original, solo que, con un factor de escalamiento en amplitud igual a 1/|a| y un factor de escalamiento en la frecuencia igual a 1/a.

Dada una señal x(t) con transformada de Fourier X(ω), entonces, la transformada de su señal reflejada x(−t) es también su densidad espectral reflejada X(−ω).

Propiedades

Conjugación

Diferenciación

Integración

La transformada de su señal conjugada x∗(t) es el complejo conjugado de la densidad espectral reflejada X∗(−ω)

De manera similar a la propiedad de diferenciación, la integración suprime los componentes de alta frecuencia de la señal.

Dada una señal x(t) con transformada de Fourier X(ω), la derivada de cada una de ellas refleja un comportamiento de incremento según su dominio.

En conclusión:

En resumen, la Transformada de Fourier es una herramienta esencial para el análisis de señales y ha tenido un impacto significativo en muchos campos. De igual manera, es una herramienta matemática muy poderosa que permite analizar señales en el dominio de la frecuencia.

Ver

Ejercicio: