GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO

GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO

Non c'è una via "regale" alla geometria. -Euclide

INDICE

6. Perpendicolarità e parallelismo

1. I solidi

10. Distanze nello spazio

2. Postulati dello spazio

11. Angoli nello spazio

7. Perpendicolarità tra due rette

3. Posizione di due rette nello spazio

12. Trasformazioni geometriche

8. Parallelismo tra retta e piano

4. Posizione reciproca di due piani nello spazio

13. Team

9. Teorema di Talete nello spazio

14. Thanks

5. Posizione di una retta e di un piano

I SOLIDI

I solidi sono figure formate da un insieme di punti che non appartengono tutti a uno stesso piano.

Postulati dello spazio

Quinto postulato di Euclide

Prima proprietà

Secondo postulato di appartenenza

Postulato di partizione dello spazio

Seconda proprietà

Il piano si dice origine dei semispazi.

POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO

Due rette nello spazio per definizione si dicono complanari quando appartengono allo stesso piano. Queste ultime possono essere:

• Incidenti
• Parallele distinte
• Parallele coincidenti
• Sghembe

POSIZIONE RECIPROCA DI DUE PIANI NELLO SPAZIO

TEOREMA Due piani distinti, che si intersecano in un punto, hanno in comune una retta che passa per quel punto. Distinguiamo:

• Piani incidenti
• Piani paralleli
• Piani coincidenti

POSIZIONE DI UNA RETTA E DI UN PIANO

Se una retta ha due punti in comune con un piano allora giace su quel piano. Distinguiamo 3 casi:

• Giacente
• Incidente
• Parallela

Perpendicolarita' e parallelismo

TEOREMASe per un punto P di una retta s si mandano due rette a e b perpendicolari a s, allora s è perpendicolare a ogni altra retta r passante per P e giacente sul piano delle rette a e b.

TEOREMA Le perpendicolari a una retta s condotte per un suo punto P giacciono tutte nello stesso piano

I TEOREMI PRECEDENTI GIUSTIFICANO LA SEGUENTE DEFINIZIONE...

Una retta è perpendicolare a un piano se è incidente al piano e perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per il punto di incidenza. Il punto di incidenza si chiama piede della perpendicolare. Una retta incidente ma non perpendicolare a un piano si chiama obliqua.

Si può dimostrare che:

PERPENDICOLARITA' TRA DUE RETTE

Nello spazio, per le rette incidenti, possiamo distinguere due casi:

• Se P non appartiene alla retta r, la perpendicolare a r passante per P ed incidente a r sarà una.
• Se P appartiene a r saranno infinite e saranno tutte le rette del fascio di centro P.

TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI

Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest'ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.

PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO

Per verificare se una retta r è parallela ad un piano α ci basterà verificare che la retta r sia parallela ad una retta s giacente sul piano.

TEOREMADati una retta r e un piano α, se r è parallela a una retta s giacente su α, allora r è parallela ad α.

Da questo teorema si possono inoltre dimostrare le seguenti proprietà:

TEOREMA DI TALETE NELLO SPAZIO

TEOREMAUn fascio di piani paralleli intersecati da due trasversali intercetta su di esse segmenti corrispondenti proporzionali.

DISTANZE NELLO SPAZIO

Distanza di un punto da un piano;

Distanza tra retta e piano paralleli;

Distanza tra due rette sghembe;

Distanza tra due piani paralleli.

DIEDRI E PIANI PERPENDICOLARI

Definizione diedro;

TEOREMA

Sezione di un diedro;

Ampiezza di un diedro;

Piani perpendicolari.

Enunciamo infine il seguente teorema senza dimostrarlo.

Dati un piano α e una retta r non perpendicolare ad α, esiste ed è unico il piano passante per r e perpendicolare ad α.

TEOREMA.

ANGOLI NELLO SPAZIO

‘Data una retta r incidente e non perpendicolare a un piano α, l'angolo della retta con il piano è l'angolo acuto formato da r e dalla sua proiezione r' su α.

ANGOLO TRA DUE RETTE SGHEMBE:

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio e i punti dello spazio stesso.

Conosciamo vari tipi di trasformazioni:

• ISOMETRIE;
• TRASLAZIONE;
• ROTAZIONE;
• SIMMETRIA CENTRALE;
• SIMMETRIA ASSIALE;
• SIMMETRIA RISPETTO A UN PIANO.

A CURA DEL TEAM

ANTONIO ROMANO

CLAUDIA DI GIOVANNI

CHIARA MIGLIORE

GRAZIE DELL'ATTENZIONE!