Productos notables.

Material Didactico acerca de: Productos notables

Por: Daniel Giles Cuanenemi Julio Leonel González Huerta

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CUESTIONARIO

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CUESTIONARIO

Índice

Polinomio al cuadrado

Introducción

Binomio al cubo

Binomio al cuadrado

Producto de binomios conjugados

Cubo de un trinomio

Producto de dos binomios con término común

Evaluación general

01

iNTRODUCCIÓN

Introducción

¿Qué son los productos notables?

Los productos notables son operaciones algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los resultados de las mismas.

Introducción

Los polinomios son multiplicados entres si, por lo tanto, es posible que tengan una gran cantidad de términos y variables. Para hacer más corto el proceso, se usan las reglas de los productos notables, que permiten hacer las multiplicaciones sin tener que ir término por término.

Productos notables y ejemplos

Cada producto notable es una fórmula que resulta de una factorización, compuesta por polinomios de varios términos como por ejemplo binomios o trinomios, llamados factores. Los factores son la base de una potencia y tienen un exponente. Cuando se multiplican los factores, los exponentes deben ser sumados. Existen varias fórmulas de producto notable, unas son más usadas que otras, dependiendo de los polinomios, y son las siguientes:

02

Binomio al cuadrado

02

Binomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los términos son sumados o restados: a) Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente manera: (a + b)² = (a + b) * (a + b). Toca el icono en forma de ojo para visualizar cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada. El resultado es llamado de trinomio de un cuadrado perfecto.

EJEMPLOS DEL Binomio de suma al cuadrado

Ejemplo 1 (x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5² (x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25 (x + 5)² = x² + 10x+ 25.

Ejemplo 2 (4a + 2b)² = (4a)² + 2 (4a * 2b) + (2b)² (4a + 2b)² = 8a² + 2 (8ab) + 4b² (4a + 2b)² = 8a² + 16 ab + 4b²

Binomio de LA RESTA al cuadrado

El desarrollo del binomio de una resta al cuadrado es simpilar al caso de la suma

b) Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente: (a – b)² = [(a) + (- b)]²

EJEMPLOS DEL Binomio de LA RESTA al cuadrado

Ejemplo 1 (x - 5)² = x² - 2 (x * 5) + 5² (x - 5)² = x² - 2 (5x) + 25 (x - 5)² = x² - 10x + 25.

Ejemplo 2 (2x – 6)² = (2x)² – 2 (2x * 6) + 6² (2x – 6)² = 4x² – 2 (12x) + 36 (2x – 6)² = 4x² – 24x + 36.

¿aún con dudas?

03

Producto de binomios conjugados

Producto de binomios conjugados

Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente: (a + b) * (a – b) = a² - b² Toca el icono en forma de ojo para visualizar cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada.

¿aún con dudas?

04

Producto de dos binomios con un término común

Producto de dos binomios con un término común

Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:

• El cuadrado del término común.
• Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.
• Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

Producto de dos binomios con un término común

Nota: Toca el icono en forma de ojo para visualizar en cada caso, cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada. Se representa en la fórmula: (x + a) * (x + b) y es desarrollada como se muestra en la imagen. El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto. Existe la posibilidad de que el segundo término (el término diferente) sea negativo y su fórmula es la siguiente: (x + a) * (x – b). También puede ser el caso de que ambos términos diferentes sean negativos. Su fórmula será: (x – a) * (x – b).

EJEMPLOS DEL Producto de dos binomios con un término común

Ejemplo 1 (x + 6) * (x + 9) = x² + (6 + 9) * x + (6 * 9) (x + 6) * (x + 9) = x² + 15x + 54.

Ejemplo 3 (3b – 6) * (3b – 5) = (3b * 3b) + (-6 – 5)* (3b) + (-6 * -5) (3b – 6) * (3b – 5) = 9b² + (-11) * (3b) + (30) (3b – 6) * (3b – 5) = 9b² – 33b + 30.

Ejemplo 2 (7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 *-2) (7x + 4) * (7x – 2) = 49x² + (2)* 7x – 8 (7x + 4) * (7x – 2) = 49x² + 14x – 8.

¿aún con dudas?

05

Polinomio al cuadrado

Polinomio al cuadrado

En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro; su fórmula es: (a + b + c)²= a² + b² + c² + 2 (ab + ac + bc) El dessarrollo de este producto es como se muestra en la imagen de acontinuación

EJEMPLOS DEL Polinomio al cuadrado

Ejemplo 1 (3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2y)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz) (3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y² + 16z² + 12xy +24xz + 16yz. Ejemplo 2 (x + 2y + z)² = (x)² + (2y)² + (z)² + 2 (2xy + xz + 2yz) (3x + 2y + 4z)² = x² + 4y² + z² + 4xy +2xz + 4yz.

¿aún con dudas?

06

Binomio al cubo

binomio al cubo de una suma

Nota: Toca el icono en forma de ojo para visualizar en cada caso, cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada. a) Para el binomio al cubo de una suma:

• El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
• Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
• Más el cubo del segundo término.

binomio al cubo de una resta

Nota: Toca el icono en forma de ojo para visualizar en cada caso, cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada. b) Para el binomio al cubo de una resta:

• El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
• Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
• Menos el cubo del segundo término.

binomio al cubo

En resumen, para el binomio al cubo la formula a aplicar según sea el caso es: a) Para el binomio al cubo de una suma: b) Para el binomio al cubo de una resta:

EJEMPLOS DEL Binomio de suma al cuadrado

Ejemplo 1

Ejemplo 2

¿aún con dudas?

07

Cubo de un trinomio

Cubo de un trinomio

Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable muy extenso porque se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto de los tres términos. Visto de una mejor forma:

EJEMPLOS DEL Cubo de un trinomio

Ejemplo 1 (x + y + 2z)³ = x³ + y³ + 8z³ + 3x²y + 3xy² + 3x²(2z) + 3y(2z)² + 3y²(2z) + 3y(2z)² + 6xy(2z) (x + y + 2z)³ = x³ + y³ + 8z³ + 3x²y + 3xy² + 6x²z + 12yz² + 6y²z + 12yz² + 12xyz Ejemplo 2 (2x + y + 2m)³ = (2x)³ + y³ + (2m)³ + 3(2x)²y + 3(2x)y² + 3(2x)²(2m) + 3(2x)(2m)² + 3y²(2m) + 3y(2m)² + 6(2x)y(2m) (2x + y + 2m)³ = 8x³ + y³ + 8m³ + 12x²y + 6xy² + 24x²m + 24xm² + 6y²m + 12ym² + 24xym

¿aún con dudas?

08

EVALUACIÓN GENERAL

Llegó el momento de la verdad

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EVALUACIÓN

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A nombre de Daniel Giles Cuanenemi y Julio Leonel González Huerta