GEOMETRIA

gEOMETRIA

"La geometria è l'arte di misurare lo spazio e di dare forma ai nostri pensieri, permettendoci di dare ordine e armonia al mondo intorno a noi."

Indice

Teoremi di Euclide

Teorema di Pitagora

Proporzionalità e

Criteri di similitudine

Sezione Aurea

Teoremi di Euclide

Primo teoremaDI EUCLIDE

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti alla proiezione del cateto sull’ipotenusa e all’ipotenusa stessa.

Dimostrazione

Prolunghiamo 𝐿𝐴 e 𝑀𝐻 fino ad incontrare il prolungamento di 𝐷𝐸 rispettivamente in 𝐹 e 𝐺. Se consideriamo i triangoli 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐷𝐹:

• 𝛼≅𝛾 perché complementari dello stesso angolo 𝛽 (ambedue misurano 90−𝛽);
• 𝐴𝐵≅𝐴𝐷 per ipotesi;
• 𝐵≅𝐷 perché retti.

Quindi, i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio e di conseguenza 𝐴𝐶≅𝐴𝐹. Ora se consideriamo il quadrato 𝐴𝐵𝐸𝐷 ed il parallelogramma 𝐴𝐵𝐺𝐹 (per costruzione ha i lati opposti paralleli), notiamo che hanno la stessa base 𝐴𝐵 e la stessa altezza 𝐴𝐷, quindi sono equivalenti: 𝐴𝐵𝐸𝐷≅𝐴𝐵𝐺𝐹. Ma il parallelogramma 𝐴𝐵𝐺𝐹 ha anche la stessa altezza 𝐴𝐻 del rettangolo 𝐴𝐻𝑀𝐿 ed anche la base congruente a quest’ultimo, 𝐴𝐹≅𝐴𝐶≅𝐴𝐿. Di conseguenza 𝐴𝐵𝐺𝐹≅𝐴𝐻𝑀𝐿 e per transitività 𝐴𝐵𝐸𝐷≅𝐴𝐻𝑀𝐿.

Se esprimiamo il primo teorema di Euclide nel modo seguente, possiamo mettere in relazione i cateti con le loro proiezioni: 𝑎2=𝑠𝑐 𝑏2=𝑡𝑐.

tEOREMA DI PITAGORA

Info

Dimostrazione

teorema di pitagora

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla sommadei quadrati costruiti sui cateti.

Tracciamo l’altezza relativa all’ipotenusae prolunghiamola in modo da dividere 𝑄 nei rettangoli 𝑅1 e 𝑅2. Notiamo che le proiezioni, 𝐴𝐻 e 𝐶𝐻, dei cateti sono le basi dei due rettangoli 𝑅1 e 𝑅2. Per il primo teorema di Euclide, possiamo dire che 𝑄1=𝐴𝐻∙𝐴𝐶=𝑅1 e 𝑄2=𝐶𝐻∙𝐴𝐶=𝑅2. Quindi, 𝑄1+𝑄2=𝑅1+𝑅2=𝑄.

Dimostriamo ora l’inverso del teorema di Pitagora.Se in un triangolo il quadrato costruito su un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, allora il triangolo è rettangolo.

Costruiamo un triangolo rettangolo 𝐴′𝐵′𝐶′, rettangolo in 𝐵', tale che 𝐴′𝐵′≅𝐴𝐵 e 𝐵′𝐶′≅𝐵𝐶. Per il teorema di Pitagora 𝐴′𝐶′2=𝐴′𝐵′2+𝐵′𝐶′2. Per costruzione, quindi, 𝐴′𝐶′2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2. Per ipotesi 𝐴′𝐶′2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐶2 e quindi 𝐴′𝐶′≅𝐴𝐶. I due triangoli, allora, sono congruenti per il terzo criterio e di conseguenza

Una terna pitagorica è una terna di numeri interi (𝑎;𝑏;𝑐), con 𝑐 > 𝑎,𝑏, che rappresentano le misure dei lati di un triangolo rettangolo, quindi 𝑐2=𝑎2+𝑏2. Se il MCD, 𝑘, tra i tre numeri è diverso da 1, allora anche (𝑎/𝑘;𝑏/𝑘;𝑐/𝑘) è una terna pitagorica ed è detta primitiva.

Un triangolo rettangolo con gli altri due angoli di 45° può essere visto come la metà di un quadrato di lato 𝑙 e quindi la sua ipotenusa equivale alla diagonale del quadrato, 𝑙√2.

Un triangolo rettangolo con un angolo di 30° e l’altro di 60° può essere visto come la metà di un triangolo equilatero di lato 𝑙, che rappresenta l’ipotenusa. Un cateto sarà quindi 𝑙/2 mentre l’altro è dato da Pitagora come , che oltretutto rappresenta l’altezza del triangolo equilatero.

Dimostrazione

sECONDO TEOREMADI EUCLIDE

Consideriamo il triangolo 𝐵𝐻𝐶, per il teorema di Pitagora 𝐵𝐶2=𝐵𝐻2+𝐻𝐶2. Nel triangolo 𝐴𝐵𝐶, invece, per il primo teorema di Euclide, 𝐵𝐶2=𝐴𝐶∙𝐻𝐶. Dal momento che 𝐴𝐶=𝐴𝐻+𝐻𝐶, e per la proprietà transitiva, abbiamo che 𝐵𝐻2+𝐻𝐶2=(𝐴𝐻+𝐻𝐶)∙𝐻𝐶=𝐴𝐻∙𝐻𝐶+𝐻𝐶2 e quindi 𝐵𝐻2=𝐴𝐻∙𝐻𝐶.

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Hp: 𝐴𝐵𝐶 rettangolo in 𝐵Th: 𝐵𝐻2=𝐴𝐻∙𝐻𝐶

Attraverso il secondo teorema di Euclide è possibile notare che l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla radice quadrata del prodotto delle proiezioni dei cateti:

Proporzionalità ecriteri di similitudine

PROPORZIONALITà

Un insieme di enti geometrici si chiama classe di grandezze geometriche omogenee se è possibile:

• confrontare due qualsiasi enti della classe;
• definire un’operazione di addizione che a due qualsiasi enti della classe associa, come loro somma, un ente della classe.

Ad esempio, dati due segmenti 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 è sempre possibile:

• confrontarli (ad esempio, 𝐴𝐵<𝐶𝐷);
• sommarli ottenendo un segmento (ad esempio, 𝐴𝐵+𝐶𝐷≅𝐸𝐹).

Due grandezze omogenee sono commensurabili se esiste una grandezza sottomultipla di entrambe. Se 𝐴 e 𝐵 sono due grandezze commensurabili, allora , dove è un numero razionale positivo. Infatti, se 𝐴 e 𝐵 sono commensurabili vuol dire che esiste una grandezza 𝐶 sottomultipla di entrambe, quindi e . Di conseguenza .In tal caso si dice che 𝐵 è la misura di 𝐴 e di denota con 𝐴. Due grandezze sono incommensurabili, invece, se non esiste alcuna grandezza che sia sottomultipla di entrambe. Il concetto di misura, però, può essere esteso anche a grandezze incommensurabili, ossia se 𝐴=𝑎∙𝐵 allora il numero 𝑎 è la misura di 𝐴 rispetto a 𝐵.

PROPORZIONALITà

Il rapporto di due grandezze omogenee 𝐴 e 𝐵 è uguale al rapporto fra le misure di 𝐴 e 𝐵: Quattro grandezze 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 sono in proporzione se 𝐴 e 𝐵 sono omogenee tra loro, 𝐶 e 𝐷 sono omogenee tra loro e il rapporto tra le prime due è uguale al rapporto fra le ultime due.

* Nel caso 𝐴 : 𝐵 = 𝐵 : 𝐶, 𝐵 viene detta media proporzionale.

Teorema della quarta proporzionale.Date tre grandezze 𝐴, 𝐵, 𝐶 omogenee tra loro e 𝐵 non nulla, esiste sempre ed è unica una quarta grandezza 𝐷, omogenea a 𝐶, tale che 𝐴 : 𝐵 = 𝐶 : 𝐷.

Teorema di talete

Ricordando tale teorema definito in geometria per i segmenti congruenti (a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra) possiamo definire il teorema di Talete nella sua forma generale:in un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, i segmenti su una trasversale sono proporzionali ai segmenti corrispondenti sull’altra.

Supponiamo che sulla trasversale 𝑟, 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 siano commensurabili: .Possiamo allora dividere 𝐴𝐵 in 𝑚 segmenti e 𝐶𝐷 in 𝑛 segmenti, tutti congruenti fra loro. Se ora conduciamo le parallele del fascio per questi punti di suddivisione, per il teorema di Talete dei segmenti congruenti, i punti di intersezione corrispondente che otteniamo sulla seconda trasversale 𝑟′ dividono 𝐴′𝐵′ in 𝑚 segmenti e 𝐶′𝐷′ in 𝑛 segmenti tutti congruenti fra loro. Quindi . Di conseguenza fra 𝐴′𝐵′ e 𝐶′𝐷′ c’è lo stesso rapporto che c’è fra 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷, quindi: 𝐴𝐵 : 𝐶𝐷 = 𝐴′𝐵′ : 𝐶′𝐷′.

Vale anche l’inverso del teorema di Talete: dati due rette e un insieme di punti sulla prima retta in corrispondenza biunivoca con un insieme di punti sulla seconda, se i segmenti che hanno come estremi due punti su una retta sono proporzionali ai segmenti che hanno come estremi i punti corrispondenti sull’altra retta, allora le rette passanti per coppie di punti sono tutte parallele tra loro.

teoremi conseguenti a talete

Se una retta parallela a un lato di un triangolo interseca gli altri due lati, essi vengono divisi in segmenti in proporzione fra loro.

Se una retta interseca due lati di un triangolo dividendoli in segmenti in proporzione fra loro, allora è parallela al terzo lato.

Teorema della bisettrice

In un triangolo, la bisettrice di un angolo divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati.

L’inverso del teorema della bisettrice.Se un lato di un triangolo è diviso da un punto in due parti proporzionali agli altri due lati, allora il segmento che congiunge quel punto con il vertice dell’angolo opposto al lato è la bisettrice dell’angolo.

SIMILITUDINE

Similitudine di triangoli

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti ed i lati proporzionali tra loro.

La similitudine si indica con il simbolo ∼ e gli angoli congruenti, i loro vertici ed i lati che sono in proporzione sono i corrispondenti (o anche omologhi) nella similitudine. Invece, il rapporto (costante) fra i lati corrispondenti è detto rapporto di similitudine.

Ad esempio, nella figura accanto, PQR∼P'Q'R', QPR è corrispondente di Q'P'R', PQ è corrispondente di P'Q', mentre il rapporto di similitudine è 3/2. Possiamo considerare la congruenza come un caso particolare di similitudine, dove il rapporto di similitudine è uguale a 1.

La relazione di similitudine fra triangoli gode delle seguenti proprietà.

• Riflessiva: ogni triangolo è simile a sé stesso.
• Simmetrica: se il triangolo 𝑇1 è simile al triangolo 𝑇2, allora è anche vero che 𝑇2 è simile a 𝑇1.
• Transitiva: se 𝑇1∼𝑇2 e 𝑇2∼𝑇3, allora 𝑇1∼𝑇3.

Quindi, ∼ è una relazione di equivalenza e ciò ci consente di poter dividere l’insieme dei triangoli in classi di equivalenza, ognuna contenente tutti i triangoli simili fra loro. Ognuna di queste classi indica una proprietà comune ai triangoli che le appartengono: la forma. Quindi diciamo che due triangoli simili hanno la stessa forma. Ci sono tre condizioni sufficienti affinché due triangoli siano simili, e sono chiamate criteri di similitudine.

PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti.

Supponiamo, per comodità, che il primo triangolo sia più grande del secondo, quindi 𝐴𝐵 > 𝐴′𝐵′ (se 𝐴𝐵≅𝐴′𝐵′ allora i due triangoli sarebbero congruenti per il secondo criterio di congruenza e di conseguenza anche simili).

Prendiamo un punto 𝑃 sul lato 𝐴𝐵 tale che 𝑃𝐵≅𝐴′𝐵′ e tracciamo per 𝑃 la parallela ad 𝐴𝐶, che interseca 𝐵𝐶 in 𝑄. Per il teorema di Talete 𝐴𝐵 : 𝑃𝐵 = 𝐵𝐶 : 𝐵𝑄. Inoltre perché angoli corrispondenti tra le rette parallele 𝑃𝑄 e 𝐴𝐶 tagliate da 𝐴𝐵, e per ipotesi. Di conseguenza, per transitività, . I triangoli 𝑃𝐵𝑄 e 𝐴′𝐵′𝐶′ sono congruenti per il secondo criterio di congruenza, quindi riprendendo la proporzione di Talete: .

Ora consideriamo un punto 𝑅 su 𝐴𝐵 tale che 𝐴𝑅≅𝐴′𝐵′ e tracciamo 𝑅𝑆 parallela a 𝐵𝐶. Per Talete 𝐴𝐵 : 𝐴𝑅 = 𝐴𝐶 : 𝐴𝑆. Analogamente al caso precedente possiamo dimostrare che 𝐴𝑅𝑆≅𝐴′𝐵′𝐶′ e 𝐴𝐵 : 𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐶 : 𝐴′𝐶′. Poiché 𝐴𝐵 : 𝐴′𝐵′ = 𝐵𝐶 : 𝐵′𝐶′ e 𝐴𝐵 : 𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐶 : 𝐴′𝐶′, allora abbiamo che 𝐴𝐵 : 𝐴′𝐵′ = 𝐵𝐶 : 𝐵′𝐶′ = 𝐴𝐶 : 𝐴′𝐶′ (i lati sono in proporzione). Inoltre perché supplementari degli angoli , congruenti per ipotesi. In conclusione, quindi, i triangoli 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴′𝐵′𝐶′ sono simili poiché hanno gli angoli congruenti ed i lati in proporzione.

SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno due lati ordinatamente in proporzione e l’angolo compreso congruente.

Innanzitutto, notiamo che se 𝐴𝐵≅𝐴′𝐵′, il loro rapporto sarebbe 1 e quindi per ipotesi anche 𝐵𝐶:𝐵′𝐶′=1, da cui 𝐵𝐶≅𝐵′𝐶′. Allora i due triangoli sarebbero congruenti per il primo criterio e di conseguenza anche simili.

Supponiamo, allora, che il primo triangolo sia più grande del secondo, quindi 𝐴𝐵 > 𝐴′𝐵′ e prendiamo un punto 𝑃 su 𝐴𝐵 e 𝑄 su 𝐵𝐶 tali che 𝑃𝐵≅𝐴′𝐵′ e 𝑄𝐵≅𝐵′𝐶′, e congiungiamo 𝑃 con 𝑄. I triangoli 𝑃𝐵𝑄 e 𝐴′𝐵′𝐶′ sono congruenti per il primo criterio e quindi 𝐴𝐵 : 𝐴′𝐵′=𝐵𝐶 : 𝐵′𝐶′ → 𝐴𝐵 : 𝑃𝐵 = 𝐵𝐶 : 𝐵𝑄.

Di conseguenza, 𝑃𝑄 è parallela ad 𝐴𝐶 dal momento che determina segmenti proporzionali su 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶.Inoltre, perché corrispondenti tra le parallele 𝑃𝑄 e 𝐴𝐶 tagliate da 𝐴𝐵, di conseguenza . In conclusione, 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴′𝐵′C′ sono simili per il primo criterio di similitudine dal momento che .

TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente in proporzione.

Innanzitutto, notiamo che se 𝐴𝐵≅𝐵′𝐶′, il loro rapporto sarebbe 1 e di conseguenza anche i rapporti 𝐵𝐶 : 𝐵′𝐶′ e 𝐴𝐶 : 𝐴′𝐶′ sarebbero 1, da cui 𝐵𝐶≅𝐵′𝐶′ e 𝐴𝐶≅𝐴′𝐶′.Allora i due triangoli sarebbero congruenti per il terzo criterio e quindi anche simili.

Supponiamo, per comodità, che il primo triangolo sia più grande del secondo, quindi 𝐴𝐵 > 𝐴′𝐵′ e prendiamo un punto 𝑃 su 𝐴𝐵 tale che 𝑃𝐵≅𝐴′𝐵′ e tracciamo la parallela per 𝑃 ad 𝐴𝐶 che interseca 𝐵𝐶 nel punto 𝑄. I triangoli 𝐴𝐵𝐶 e 𝑃𝐵𝑄 sono simili per il primo criterio di similitudine poiché 𝐵 in comune e 𝐵𝑃𝑄≅𝐵𝐴𝐶 perché corrispondenti tra le rette 𝑃𝑄 e 𝐴𝐶 tagliate da 𝐴𝐵.Quindi 𝐴𝐵 : 𝑃𝐵 = 𝐵𝐶 : 𝐵𝑄 = 𝐴𝐶 : 𝑃𝑄 e siccome 𝑃𝐵≅𝐴′𝐵′ allora 𝐴𝐵 : 𝐴′𝐵′ = 𝐵𝐶 : 𝐵𝑄.

Dal momento che la proporzione ha i primi tre termini uguali a quella dell’ipotesi, per il teorema della quarta proporzionale anche il quarto deve essere lo stesso, quindi 𝐵𝑄≅𝐵′𝐶′. Analogamente, possiamo notare che 𝑃𝑄≅𝐴′𝐶′. Allora, 𝑃𝐵𝑄 e 𝐴′𝐵′𝐶′ sono congruenti per il terzo criterio e da 𝐴𝐵𝐶∼𝑃𝐵𝑄 abbiamo che 𝐴𝐵𝐶∼𝐴′𝐵′𝐶′.

CRITERI DI SIMILITUDINE

Grazie ai criteri di similitudine dei triangoli possiamo effettuare delle misurazioni altrimenti difficili. Ad esempio, se volessimo misurare l’altezza di un albero potremmo misurare, ad un certo momento della giornata (di sole), l’ombra del nostro corpo e quella dell’albero. I due triangoli che si formano sono simili per il primo criterio, quindi 𝐴𝐵:𝐴′𝐵′=𝐴𝐶:𝐴′𝐶′, e conoscendo la nostra altezza (𝐴𝐵) e misurando le distanze dall’ombra (𝐴𝐶 e 𝐴′𝐶′) possiamo calcolare l’altezza dell’albero 𝐴′𝐵′=𝐴𝐵∙𝐴′𝐶′/𝐴𝐶.

Inoltre, applicando i criteri di similitudine è possibile dimostrare i seguenti teoremi.

In triangoli simili, le basi sono proporzionali alle rispettive altezze.

In triangoli simili, i perimetri sono proporzionale a due lati omologhi.

In due triangoli simili con rapporto di similitudine 𝑘 il rapporto fra le aree è 𝑘2.

I criteri di similitudine si possono anche utilizzare per dimostrare in modo diverso i teoremi di Euclide.

PRIMO CRITERIO DI EUCLIDE

In un triangolo rettangolo, un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.

𝐴𝐵𝐶∼𝐴𝐵𝐻 per il primo criterio di similitudine perché (retti) e in comune, quindi 𝐴𝐶 : 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 : 𝐴𝐻. 𝐴𝐵𝐶∼𝐵𝐻𝐶 per il primo criterio di similitudine perché (retti) e in comune, quindi 𝐴𝐶 : 𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 : 𝐻𝐶. Dalle proporzioni possiamo ottenere le uguaglianze del primo teorema di Euclide: 𝐴𝐶 : 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 : 𝐴𝐻 → 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶∙𝐴𝐻.

secondo CRITERIO DI EUCLIDE

In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

𝐴𝐵𝐻∼𝐵𝐻𝐶 sono simili per il primo criterio di similitudine perché (retti) e (complementari di ), quindi 𝐴𝐻 : 𝐵𝐻 = 𝐵𝐻 : 𝐻𝐶. Da ciò otteniamo l’uguaglianza del secondo teorema di Euclide 𝐵𝐻2 = 𝐴𝐻∙𝐻𝐶.

SEZIONE AUREA

sezione aurea

La sezione aurea di un se gmento è la parte di segmento media proporzionale fra tutto il segmento e la parte rimanente.

Se, per semplicità, chiamiamo 𝐴𝐵=𝑎, 𝐴𝐶=𝑥 e di conseguenza 𝐶𝐵=𝑎−𝑥 possiamo riscrivere la proporzione e risolvere l’equazione (figura accanto).

Quindi il rapporto fra la sezione aurea ed il segmento è costante, così come lo è il suo reciproco.

Il rapporto fra il segmento e la sezione aurea, , è detto numero aureo ed è indicato con Φ; vale circa 1,618 ed è considerato come simbolo di armonia, spesso ricorrente in architettura, nell’arte ed in natura.

Il rettangolo aureo è un rettangolo che ha un lato che è la sezione aurea dell’altro. Un aspetto molto interessante è che se costruiamo un quadrato sul lato maggiore otteniamo un altro rettangolo aureo.

sezione aurea

Se ripetiamo il procedimento precedente e all’interno di ogni quadrato tracciamo un arco di circonferenza, come nella figura accanto, otteniamo una spirale, chiamata spirale aurea.

Questo rapporto aureo è molto frequente in natura: nelle pigne, nel cavolfiore, nei petali di molti fiori.

Il rapporto aureo si presenta anche negli animali: la conchiglia del Nautilus, la crescita delle corna di alcuni mammiferi, delle zanne, degli artigli e delle code. Il falco in picchiata traccia una spirale aurea per massimizzare la velocità.

sezione aurea

Anche nel corpo umano notiamo che il rapporto tra le falangi del dito medio e anulare sono aurei, così come il rapporto tra braccio e avambraccio e lo stesso con la gamba.

Sul nostro visto ci sono diversi rapporti aurei: altezza e larghezza viso; posizione della linea degli occhi rispetto al mento ed alla fronte, posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi, altezza e larghezza del naso, lunghezza ed altezza del profilo della bocca, larghezza degli occhi e la loro distanza, distanza degli occhi e la loro distanza.

La retta passante per l’ombelico divide la nostra verticale esattamente in rapporto aureo, come mostra la seguente rappresentazione di Leonardo dell’uomo di Vitruvio.