Le coniche PRESENTATION

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Le coniche

STORIA DELLE CONICHE

INDEX

Duplicazione del cubo

Teoria e applicazioni

Storia delle coniche

Coniche di Apollonio

Definizione e classificazione

Coniche nella realtà

Storia delle coniche

Siamo intorno al 430 a.C. ad Atene e scoppia una terribile epidemia di peste, che uccide Pericle ed un quarto della popolazione ateniese. La profonda impressione suscitata da questa catastrofe è forse all’origine di un problema narrato in antichi testi. Una delegazione visita l'oracolo di Delo per chiedere la fine dell'epidemia. L'oracolo risponde che, per placare l'ira degli dei, si deve raddoppiare il volume dell'altare a essi dedicato, a forma di cubo. I delegati fanno immediatamente costruire un altare, sempre a forma di cubo, e con il lato doppio del primo... ma la peste continua. Che cosa avevano sbagliato?

DUPLICAZIONE DEL CUBO

Duplicazione del cubo

Oggi, con il linguaggio dell'algebra, scriviamo la risposta così:Cubo iniziale: spigolo a, volume V = a^3 Cubo di lato doppio: spigolo 2a, volume V' = (2a)^3 = 8a^3 = 8V E, con il linguaggio dell'algebra, descriviamo anche il problema rimasto insoluto: raddoppiare il volume del cubo. Per semplicità, scegliamo il cubo iniziale con spigolo 1 e scriviamo: Cubo iniziale: spigolo 1, volume V = 1^3= 1 Cubo richiesto: spigolo x, volume V" = 2 Così, per avere la lunghezza x dello spigolo, risolviamo l'equazione:

Duplicazione del cubo

Ma i matematici dell'antica Grecia non conoscevano il linguaggio dell'algebra e, per risolvere problemi geometrici, usavano due soli strumenti: il compasso per disegnare cerchi e la riga per disegnare rette.Nasce così il problema della duplicazione del cubo: costruire con riga e compasso un segmento che è lo spigolo di un cubo con volume doppio di un cubo dato.Da V secolo a.C. negli antichi testi cominciano a comparire tentativi di soluzione del problema.E i tentativi continuano fino al 1837, quando il matematico francese Pierre Wantzel pubblica una definitiva dimostrazione: è impossibile risolvere con riga e compasso il problema della duplicazione del cubo.Una delle più antiche e famose 'duplicazioni del cubo' è dovuta a Menecmo e segna l'origine delle coniche. .

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TRA RICERCA TEORICA E APPLICAZIONI

.Galileo (1564 - 1642 ) Galileo scopre e sperimenta la traiettoria parabolica dei proiettili lanciati sulla Terra.

Archimede (287-212 a.C) e Diocle (240 - 180 a.C) In questi due matematici e scienziati troviamo le radici degli studi applicativi sulle coniche, in particolare sulla riflessione della luce in specchi sferici e parabolici.

Cartesio (1596 - 1650) Lo studio matematico delle coniche iniziato storicamente per via geometrica è stato poi sviluppato e approfondito da Cartesio nella sua opera "La Geometria" (1637), che introduce la Geometria Analitica. Cartesio espone la scoperta che le equazioni in due variabili descrivono luoghi geometrici, cioè insiemi di punti del piano che verificano determinate proprietà. Le curve cartesiane che verificano un'equazione algebrica di secondo grado sono proprio le coniche di Apollonio, e questo è il motivo per cui le coniche vengono anche dette curve del secondo ordine.

Keplero (1571 - 1630 ) e Newton (1642 - 1727) Keplero e Newton trovano tutte le coniche come traiettorie di un corpo (pianeta, cometa, ...) che si muove nel sistema solare. La traiettoria dipende dalle condizioni iniziali. Nel caso di orbite ellittiche si parla di traiettoria chiusa (ad esempio la Terra intorno al Sole). Nel caso di orbite iperboliche e paraboliche si parla di orbite aperte (ad esempio una cometa intorno al Sole). Animazione 'Coniche e moto dei corpi celesti'

Definizione

Le coniche, dette anche sezioni coniche, sono particolari curve piane così chiamate perché si ottengono dall'intersezione tra un piano ed un cono a due falde. Una prima classificazione distingue tra coniche non degeneri (circonferenza, ellisse, parabola, iperbole) e coniche degeneri. Vedremo dapprima come si ottengono le coniche da un punto di vista geometrico, ossia come intersezione tra un piano ed un cono a due falde, per poi vedere come di definiscono le coniche come luogo geometrico; infine vedremo come si riconosce una conica a partire dalla sua equazione. Occorre avere ben chiaro cos'è un cono a due falde: consideriamo una retta verticale r, detta asse del cono, e su tale retta fissiamo un punto V, il quale si dirà vertice del cono. Consideriamo poi un piano perpendicolare alla retta r e tracciamo una circonferenza avente il centro su r. Il cono a due falde è la superficie formata da tutte le rette (dette generatrici del cono) che passano per V e per un punto qualsiasi della circonferenza. Infine, indichiamo con alfa l'angolo formato tra l'asse del cono ed una qualsiasi delle due generatrici.

Classificazione

Coniche non degeneri Consideriamo un cono a due falde ed un piano non passante per il vertice V del cono. A seconda dell'inclinazione del piano rispetto all'asse del cono si ottengono i quattro tipi di coniche non degeneri. - La circonferenza si ottiene dall'intersezione tra il cono a due falde ed un piano perpendicolare al suo asse. - L'ellisse è data dall' intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo maggiore di alfa ma minore di 90°, dove alfa è l'angolo formato tra l'asse del cono ed una delle sue generatrici. - La parabola si ricava dall'intersezione tra una falda del cono ed un piano parallelo ad una delle generatrici, ossia con un piano che forma con l'asse del cono un angolo uguale ad a. - L'iperbole è data dall'intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo minore di x. Poiché tale piano interseca entrambe le falde del cono, l'iperbole è l'unica conica formata da due rami distinti.

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Coniche degeneri A differenza delle coniche non degeneri, le coniche degeneri si ottengono quando il piano secante il cono passa per il suo vertice V. - Un punto quando il piano forma con l'asse del cono un angolo maggiore di a, dove con alfa indichiamo sempre l'angolo formato tra l'asse del cono ed una delle sue rette generatrici. - Una retta se il piano forma con l'asse del cono un angolo uguale ad alfa; in tal caso la retta ottenuta coincide con una delle generatrici del cono. - Una coppia di rette quando il piano forma con l'asse un angolo minore di alfa; queste due rette sono rette incidenti ed il loro punto di intersezione coincide col vertice V del cono

Oltre che come intersezione tra piano e cono e due falde, le coniche non degeneri sono definite come luoghi geometrici dei punti del piano. - La circonferenza è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è fissa la distanza da un dato punto O, detto centro della circonferenza. - La parabola è il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco della parabola e da una retta r detta direttrice. - L'ellisse è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è fissa la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi dell'ellisse. - L'iperbole è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi Fi ed F2 detti fuochi dell'iperbole

Le coniche di Apollonio: un pianto di vista innovativo

Apollonio nacque in Panfilia, attorno al 262 a.C. e studiò ad Alessandria, centro degli studi matematici del mondo occidentale dell’epoca. Colui scrisse la sua grande opera, per la quale è considerato uno dei più brillanti matematici del periodo ellenistico, tanto da essere chiamato ‘Grande Geometra’. Apollonio racconta di aver scritto una prima versione delle Coniche, subito dopo aver ricevuto, ad Alessandria, la visita dello studioso Neucrate, che lo aveva convinto della necessità di pubblicare i suoi risultati. L’argomento sulle coniche, già all’epoca di Apollonio, non era affatto nuovo. Le sezioni di un cono si studiavano già da circa un secolo e mezzo. I matematici erano a conoscenza del fato che i tre tipi fondamentali di coniche (parabola, ellisse e iperbole) potevano essere ottenuti tagliando un cono con un piano. Però, prima di Apollonio, per ottenere ciascuna conica si considerava un diverso tipo di cono. Apollonio dimostrò per la prima volta che da un unico cono era possibile ottenere tutti i tipi di coniche, variando l’inclinazione del piano di intersezione. Eliminò inoltre la restrizione a considerare solo coni retti, dimostrando che le sezioni coniche si possono ottenere da un generico cono circolare, anche obliquo.

Se. L'equazione individua una conica non degenere, a seconda della relazione che intercorre tra i vari coeffficienti avremo:

Le coniche nella realtà

Cattedrale di Brasilia

Logo olimpiadi

stonehenge

L'ellisse

Il grande impiego di questa forma è tipico del periodo Barocco (dall'inizio del XVII Sec.). La si trova ovunque, negli ambiti più disparati delle arti, dall'urbanistica alla produzione del mobilio, dalla ceramica all'orologeria. Si tratta di un vero simbolo di un'epoca ed ha evidenti legami con le teorie di Keplero che descrivono come ellittiche le orbite dei pianeti.

Elisse

Teatro comunale di Ferrara

Arena di Verona

La forma ellittica ha anche proprietà di carattere acustico, che sono stata utilizzate nella realizzazione di alcuni edifici, principalmente TEATRI. Un fenomeno acustico, che si puo’ sperimentare, ad esempio, in antiche sale con il soffitto a forma ellittica

La parabola

Fontana

Giocando a pallavolo si crea una parabola

Logo del MC

La circonferenza

Obwarzanek, il bagel di Cracovia

Pizza

TARQUINIA. MUSEO ARCHEOLOGICO. NECROPOLI DEI MONTE ROZZI. PIATTO DI TRIPODE IN BRONZO

Un pò di Archittetura

IL PANTHEON

Sulla cella interna, a pianta rotonda, si trova la cupola in calcestruzzo più grande del mondo. Infatti, misura infatti 43,30 metri di diametro e la meta' in altezza, essendo perfettamente emisferica: idealmente si potrebbe inscrivere nel tempio una sfera, visto che la parete circolare sulla quale si erge misura in altezza quanto il raggio della cella. All’interno della cupola sono presenti cinque anelli concentrici di 28 cassettoni quadrangolari. Un oculo circolare, del diametro di quasi 9 metri, e’ l’unica fonte di luce per il grande vano circolare.

Circonferenze nella realtà

Nell’architettura sacra ritroviamo, allora, spesso la forma circolare in diversi elementi, con funzione sia decorativa che strutturale, come gli archi a tutto sesto. Nel periodo gotico prevarrà l’uso dell’arco a sesto acuto, la cui forma, per quanto non sia circolare, deriva comunque dall’intersezione di due archi di circonferenza..

IPERBOLE

Tòrre del porto di Kobe

Parlamento federale in Australia visto dall'alto

THANKS!

Fatto con amore da Martina Corfù e Eleonora Gambino