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"UN MONDO DI RELAZIONI"

RELAZIONID' ORDINE E DI EQUIVALENZA

Destinatari: Classe V

INDICE ARGOMENTI

1.Definizione ingenua di relazione vs definizione matematica

8. Relazione: enunciato vs natura numerica

2. Il prodotto cartesiano

9. Relazione: caso 1 A≠B

10. Relazione: caso 2 A=B

3. Concetto di sottoinsieme

11. Grafo di uan relazione definita in un insieme

4. Modalità di rappresentazione di AxB

12. Proprietà delle relazioni

5. Cartesian Battle

13. Relazioni di equivalenza

6. Definizione di relazione

14. Relazioni d'ordine

7. Relazione inversa

INTRODUZIONE

Tutta la nostra vita è intessuta di relazioni: parentela, amicizia, appartenenza ad un gruppo. Nel linuaggio comune la parola RELAZIONE (dal lat. "RELATIO" a sua volta da "RELATUS", part.passatpo di "REFERRE", riportare, stabilire un legame, un collegamento"), indica un NESSO, un LEGAME di qualsiasi natura tra gli elementi di due insiemi distinti (A≠B) o dello stesso insieme(A=B), che a loro volta possono essere di qualsiasi tipo.

QUALCHE ESEMPIO NEL LINGUAGGIO COMUNE

DEFINIZIONE GENERICA DI RELAZIONE

COSA CAMBIA NEL LINGUAGGIO MATEMATICO?

NEL LINGUAGGIO MATEMATICO IL SIGNIFICATO DI RELAZIONE è ANALOGO A QUELLO DEL LINGUAGIO COMUNE, MA LA SUA DEFINIZIONE è CHIARA ED UNIVOCA e si RIFà ALLA TEORIA INSIEMISTICA.

PREREQUISITI

IL PRODOTTO CARTESIANO

TEORIA DEGLI INSIEMI

IL CONCETTO DI SOTTOINSIEME

LE OPERAZIONI TRA GLI INSIEMI

PRODOTTO CARTESIANO

Dati due insiemi A e B (non vuoti), si chiama PRODOTTO CARTESIANO e lo si indica con AxB, l'insieme C formato da tutte le coppie ordinate (a,b), con a∈A e b∈B AXB{(a,b) : a∈A ∧ b∈B}

-CARDINALITà di un INSIEME A, |A|: numero degli elementi dell'insieme A -cardinalità del prodotto cartesiano tra due insiemi distinti a E b, |AxB|=|A|X|B|:prodotto della cardinalità degli insiemi considerati

COPPIE ORDINATE

IL CONCETTO DI SOTTOINSIEME

Dato un insieme A, un insieme B è SOTTOINSIEME di A e si scrive B⊆A se e solo se tutti gli elementi di B sono elementi di A B⊆A ↔∀b∈B → b∈A

LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA O SAGITTALE (O DIAGRAMMA A FRECCE)

tramite frecce POSSIAMO VISUALIZZARE la relazione tra gli elementi DEI DUE INSIEMI, A e B. IL PUNTO DI ORIGINE E D'ARRIVO DELLE FRECCE INDICANO L'ORDINE CON CUI VERRANNO CONSIDERATI GLI ELEMENTI ALL'INTERNO DELLA COPPIA ORDINATA, in cui la prima coORDINATA sarà UN elemento di A e la seconda coordinata UN ELEMENTOdi B e così via...nELL'IMMAGINE ABBIAMO RAPPRESENTATO DUE INSIEMI: NELL'INSIEME A ABBIAMO FILIPPO E GIULIA, NEL SECONDO I PIATTI PESENTI NEL MENù, PIZZA, PATATINE, PANINO.cIASCUN ELEMENTO DEL PRIMO INSIEME è STATO COLLEGATO CON CIAUN ELEMENTO DEL SEONDO TRAMITE DELLE FRECCE CHE PARTONO DAL PRIMO E ARRIVANO AL SECONDO INSIEME. lE FRECCE CI PERMETTONO DI CREARE TUTTE LE POSSIBILI COPPIE ORDINATE, CHE SONO GLI ELEMENTI DEL PRODOTTO CARTESIANO TRA IDUE INSIEMI.

LE COPPIE ORDINATE

PRODOTTO CARTESIANO, AxB

ELENCAZIONE

NELLA RAPPRESENTAZIONE PeR ELENCAZIONE DI AxB vengono elencate LE COPPIE ORDINATE: ciscuna coordinata della coppia ordinata è separata da una virgola; le coppie ordinate sono definite all'interno delle parentesi tonde che, a loro volta, sono racchiuse nelle parentesi graffe, che le abbraccia tutte.

{(Filippo,pizza) (Filippo,patatine) (Filippo,panino) (Giulia,pizza) (GiuliaI,patatine) (Giulia,panino)}

AxB=

.PIZZA

.FILIPPO

.PATATINE

.GIULIA

.PANINO

TABELLA A DOPPIA ENTRATA

Esercitiamoci

A/B

Play

Consideriamo gli insiemi A={Filippo,Giulia} e B={pizza,patatine,panino}. Per scrivere una tabella a doppia entrata, bisogna: 1-lasciare vuota la prima cella 2-riportare nella prima colonna, a partire dalla seconda cella, gli elementi del primo insieme; 3-riportare nella prima riga, a partire dalla seconda cellA, gli elementi del secondo insieme. 4-riempire la tabella inserendo le coppie ordinate in corrispondenza DELLE CELLE(gli incroci tra righe e colonne) : il primo elemento della coppia non è altro che il primo elemento della COLONNAcorrispondente, il secondo è il primo elemento della RIGA corrispondente.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA CARTESIANA

IN UN DIAGRAMMA CARTESIANO GLI ELEMENTI DELl'INSIEME A SONO DISPOSTI SULL'ASSE ORIZZONTALE (ASSE DELLE ASCISSE) MENTRE QUELLI DELL'INSIEME B SULL'ASSE VERTICALE (ASSE DELLE ORDINATE). LE COPPIE ORDINATE SONO DATE DALL'INTERSEZIONE TRA GLI ELEMENTI E VENGONO RAPPRESENTATE CON UN PUNTO.

"CARTESIAN BATTLE"

ESERCITIAMOCI CON LE COORDINATE NEL PIANO CARTESIANO

COSTRUZIONE DEL GIOCO

REGOLE DEL GIOCO

PORTAEREI

INCROCIATORI

TORPEDINIERE

SOMMERGIBILI

2. LE 4 MODALITà DI RAPPRESENTAZIONE Del prodotto cartesiano AxB

1. DEFINIZIONE Del prodotto cartesiano AxB

3. CONCETTO DI SOTTOINSIEME

RELAZIONI BINARIE

In matematica una relazione R tra due insiemi A e B (Ø, A≠B o A=B) è una LEGGE, una PROPRIETA', UN CRITERIO, che associa elementi di A con elementi di B. Assegnata in generale una relazione R tra gli elementi dei due insiemi A e B, per indicare che a∈A è in relazione R con b∈B si scrive: aRb

aRb a∈A e b∈B

Detto in altri termini, il risultato della RELAZIONE (intesa come operazione di associazione tra gli elementi degli insiemi A e B) sarà un nuovo insieme G (insieme relazione), che sarà un qualunque SOTTOINSIEME DEL PRODOTTO CARTESIANO AxB, formato dalle sole coppie odinate che soddisfano la relazione.

G⊆(AxB)

.FRAGOLA

.ARANCIONE

.VIOLA

.BANANA

.ROSSO

.MIRTILLO

.GIALLO

.ARANCIA

aRb↔a "è di colore "b

relazioni espresse in forma di enunciati aperti

ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO

aRb↔a "vive in"b

Play

A={ 1,2,5}

B={ 1,2,3}

Relazione di natura numerica

aRb↔a+b=PARI

AxB= {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(5,1)(5,2)(5,3)}

G= {(1,1)(1,3)(2,2)(5,1)(5,3)}

aRb↔a=2b

.1

.1

D={(2,1)}

.3

.2

.2

.5

Esercizi di consolidamento, n. 3 e 4

LA RELAZIONE INVERSA

Play

.RETE

.RETE

.FALEGNAME

.FALEGNAME

.MARTELLO

.MEDICO

.MARTELLO

.MEDICO

.SIRINGA

.SIRINGA

.PESCATORE

.PESCATORE

bR

-1

aRb↔"a usa b"

"b è usato da a"

CASO 2 A=B CASO IN CUI L'INSIEME A DI PARTENZA E QUELLO B DI ARRIVO COINCIDONO. QUANDO A=B SI PARLA DI RELAZIONI (DEFINITE) in un insieme. in tal caso diremo pr semplicità che la relazione è definita in a

CASO 1 A≠B: CASO IN CUI I DUE INSIEMI, L'INSIEME A DI PARTENZA E QUELLO B DI ARRIVO, SONO DIVERSI

RAPPRESENTAZIONE DI UNA RELAZIONE DEFINITA IN UN INSIEME

Le relazioni in un insieme sono definibili in maniera più chiara attraverso un GRAFO: -ogni elemento dell'insieme A è detto NODO, senza alcuna linea chiusa che lo racchiuda; -gli elementi dell'insieme A sono collegati tra loro mediante una freccia detta ARCO; -gli elementi in relazione con se stessi formano un arco particolare detto CAPPIO.

-Considero un'insieme A={2,3,4,5 } -Definisco una relazione: aRb↔a "è multiplo"di b -Faccio il prodotto cartesiano: AxA= { (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)(3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)} -Definisco il sottoinsieme G che soddisfa la relazione : G= {(2,2) (2,4) (3,3) (4,4)(5,5)}

GRAFO DI UNA RELAZIONE DEFINITA IN A

3)SIMMETRICA

lE PROPRIETà DELLE RELAZIONI DEFINITE IN UN INSIEME

Start

Esercizi n. 8 e 9

4)ANTISIMMETRICA

Play

5)TRANSITIVA

1)RIFLESSIVA

6)NON TRANSITIVA

2)ANTIRIFLESSIVA

Le proprietà servono per costruire famiglie di relazioni

RELAZIONI DI ORDINE

RELAZIONI DI EQUIVALENZA

Una prima grande famiglia, molto importante e nota, è quella delle RELAZIONI DI EQUIVALENZA

EQUIVALENTE "di egual valore" riferito ad oggetti/valori diversi

FRAZIONI EQUIVALENTi frazioni che pur presentandosi con numeratori e denominatori differenti, rappresentano la medesima quantità

FIGURE EQUIVALENTI figure con la stessa area

Una moneta da 1 euro è EQUIVALENTE a 2 monete da 50 centesimi, se ci riferiamo al valore venale

Una R definita su un insieme A è una relazione di equivalenza (R/~) ⇔ gode delle proprietà: RIFLESSIVA, SIMMETRICA, TRANSITIVA

esercitiamoci

Play

Essa permette di CLASSIFICARE (raccogliere elementi diversi in uno stesso insieme tenendo conto di caratteristiche comuni) gli elementi dell' insieme A in CLASSI DI EQUIVALENZA [a] , sottoinsiemi di A nei quali sono presenti elementi in relazione con A e fra loro equivalenti rispetto alla relazione considerata. [a] ={b∈a : aRb} Le classi di equivalenza possono essere tante, poche, infinite. Ciascuna classe di equivalenza ha un elemento che la rappresenta; se scrivo [a] , allora dico che l'elemento a è RAPPRESENTANTE della sua classe di equivalenza. Partendo dall' elemento rappresentatante della classe, possiamo individuare tutti gi altri elementi della classe, ciascuno dei quali, a sua volta, potrà essere rappresentante in quanto equivalente all'elemento scelto: Se b∈[a] allora [a] =[b]

L'insieme delle classi di equivalenza di un insieme A rispetto alla relazione di equivalenza si chiama INSIEME QUOZIENTE e si scrive A/R o A/~ (insieme quoziente rispetto/su R/~ , relazione di equivalenza).Notazione formale: A/R={[a] | a∈A}

• A={Alunni della clase V a}
• aRb↔a inzia con la stessa lettera di b
• Verifichiamo che sia una relazione di equivalenza e rappresentiamo le classi di equivalenza e l'insieme quoziente

LA PARTIZIONE DI UN INSIEME

Dato un insieme A e una famiglia di suoi n sottoinsiemi A1,A2,...An, si dice che questi sottoinsiemi formano una PARTIZIONE di A se hanno queste proprietà: 1-non sono vuoti 2-sono a due a due disgiunti 3-la loro unione coincide con A

Esercizi n. 1 e 2, 3

Start

Immaginiamo di suddividere gli studenti di una scuola introducendo diverse relazioni di equivalenza

aRb↔a"è uno studente della stessa età di"b

aRb↔a "è uno studente della stessa sezione di" b

6 ANNI

sez.B

8 anni

sez.A

1)Esempio: relazioni di equivalenza come enunciato a due termini

2)Esempio: relazione di equivalenza con elementi numerici

-1

A={ -1,-2,2,5} aRb↔ a è concorde con b Axa={(-1,-1) (-1,-2) (-1,2) (-1,5) (-2,-1) (-2,-2) (-2,2) (-2,5) (2,-1) (2,-2) (2,2) (2,5) (5,-1) (5,-2) (5,2) (5,5)} G={(-1,-1) (-1,-2) (-2,-1) (-2,-2) (2,2) (5,2) (5,5)} E' una relazione di equivalenza? Verifichiamo le tre proprietà osservando il grafo.

-2

A/R

A1

A1 (n-negativi)

A2

A2(numeri positivi)

Play

ESERCIZI

Play

La relazione d'ordine ci permette di effettuare un ordinamento tra gli elementi dell'insieme di partenza (insieme A) in base alla relazione assegnata. In una relazione d'ordine gli elementi di un insieme possono essere messi in relazione con predicati del tipo: "è maggiore/minore di", "precede/segue", "viene prima/dopo", "contiene/è contenuto", "sta sopra/sotto

Una RELAZIONE su un insieme A si dice D'ORDINE se soddisfa contemporaneamente le proprietà:-RIFLESSIVA -ANTISIMMETRICA -TRANSITIVA

Distinguiamo tra: -ORDINE LARGO E STRETTO -ORDINE TOTALE E PARZIALE

RIFLESSIVA: ogni numero è ≤ a sé stesso

A={2,3,5} aRb↔a≤b Axa={(2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,5) (5,2) (5,3) (5,5)} G={(2,2) (2,3) (2,5) (3,3) (3,5) (5,5)}

ANTISIMMETRICA: se 2≤3 non può essere che 2≥3

TRANSITIVA: se 2≤3 e 3≤5 →2≤5

RELAZIONE DI ORDINE TOTALE: ∀(a,b)∈AxA aRb o bRa

A={2,3,5} aRb↔a è divisore di b AxA={(2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,5) (5,2) (5,3) (5,5)} D={(2,2) (3,3) (5,5)}

RELAZIONE D'ORDINE PARZIALE: mette in relazione solo una parte degli elementi dell'insieme, ma non tutti. In questi casi non è possibile confrontare tutti gli elementi fra loro.

QUIZ DI VERIFICA

GRAZIE PER L'ATTENZIONE!