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Distribución exponencial
Andy Monsiváis
Created on May 8, 2023
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Transcript
Distribución eXponencial
Asignatura: Probabilidad
Distribución exponencial a partir de la Poisson
Primero para relacionar la distribución Poisson con la exponencial vamos a ver dicha relación en una situación en concreto.Si en promedio pasa por un paradero un camión de la ruta Metropolitano Va y ven cada 12 minutos.
Considerando que si no pasa ningún autobus en x tiempo quiere decir que pasa despues de x tiempo entonces se cumple que:
La probabilidad de que no pase ningún camión de la ruta Metropolitano Va y ven por el paradero en x tiempo
La probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta que el primer camión de la ruta Metropolitano Va y ven pase por un paradero sea mayor a x
A pesar de que las probabiliades son iguales considera que las variables aleatorias inmersas en estas NO lo son
Aquí la variable aleatoria representa el número de resultados que suceden durante un intervalo de tiempo dado
Aquí la variable aleatoria mide el paso del tiempo
Esto se puede generalizar para cualquier evento con distribución Poisson como el del ejemplo:
Probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta que el primer evento con distribución Poisson suceda sea mayor a x
Probabilidad de que no ocurra algun evento con distribución Poisson en x tiempo
Ahora, haciendo uso de la distribución de Poisson, se determina la probabilidad de que no ocurra algún evento hasta el tiempo t
λt = cantidad de eventos de Poisson que ocurren en un tiempo t
Recordemos que:
Aquí la variable aleatoria X representa el número de resultados que suceden durante un intervalo de tiempo dado
Aquí la variable aleatoria X mide el paso del tiempo
Por lo tanto:
Considerando que:
Es la probabilidad de que un evento ocurra en un lapso de tiempo de 0 a x
A partir de lo anterior se obtiene la funcion de distribución acumulada de la distribución exponencial
Ahora, para determinar la función de densidad de la distribución exponencial se considera que:
Función de distribución acumulada
Función de densidad
Por lo tanto, para determinar la función de densidad de la distribución exponencial se deriva la función de distribución acumulada:
Es la función de densidad de la distribución exponencial
Entonces:
Distribución exponencial
Describe el tiempo hasta la primera ocurrencia de un evento.
En esta distribucion se toma como variable aleatoria al tiempo, en comparación con la de Poisson en la cual la variable aleatoria es el número de eventos en un tiempo determinado.Con la funcion de distribución acumulada se puede determinar la probabilidad de que ocurra un evento en x tiempo.