PM1 Progresión 3: Mensajería aleatoria II

Mensajería

aleatoria II

Progresión 3

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Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora académica / Dr. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional

3:

Progresión

Anotaciones didácticas:

Identifica la equiprobabilidad como una hipótesis que, en caso de que se pueda asumir, facilita el estudio de la probabilidad y observa que cuando se incrementa el número de repeticiones de una simulación, la frecuencia del evento estudiado tiende a su probabilidad teórica (C1M1, C3M1, C4M1). C1M1: Ejecuta cálculos y algoritmos para resolver problemas matemáticos y de otras áreas del conocimiento. C3M1: Selecciona un modelo matemático por la pertinencia de sus variables y relaciones para explicar el fenómeno estudiado en la solución de un problema. C4M1: Esquematiza situaciones para su solución mediante el uso de datos numéricos, representación simbólica y conceptos matemáticos para dar un significado acorde con el contexto.

Se sugiere continuar con el uso de tecnología cuando esto sea factible, además de acompañar la discusión de este tema desde una perspectiva histórica y humanista sobre los orígenes de la probabilidad. Si el grupo lo requiere, es posible aprovechar este elemento de la progresión para revisar con las y los estudiantes aprendizajes de trayectoria relativos a la ubicación de los números reales en la recta, proporciones, porcentajes y fracciones, de tal forma que se revisan dichos conceptos dentro de un contexto que los vuelve significativos para el estudiantado. Es importante hacer énfasis en la hipótesis de equiprobabilidad para el cálculo de probabilidades simples.

Veamos un ejemplo que servirá para desarrollar en las y los estudiantes intuición acerca de la aleatoriedad y la comprensión de que diferentes eventos (aleatorios) pueden ocurrir con distinta frecuencia. Es importante mencionar que en esta progresión no nos interesa emplear la probabilidad clásica para entender la aleatoriedad de los eventos, sino que buscamos construir una primera aproximación a la probabilidad a través del estudio de frecuencias (este evento es más frecuente que aquel, este evento no ocurre, etc.) para sólo posteriormente introducir nociones más teóricas. Por otro lado, este mismo ejemplo nos permitirá presentar un ambiente ideal para abordar diversas situaciones a lo largo del curso. Se trata de una isla remota llamada Isla Viva, que consta de 5 pequeños municipios: Doyoacán, Repachula, Mitzingo, Fatitlán, Solzintla. Cada uno de ellos con su propio Centro de Salud.

Anteriormente mencionábamos que era importante trabajar ordenadamente, ahora veremos un ejemplo claro de ello. Nuestra clase puede empezar explicando cómo podemos enlistar todas esas posibles asignaciones. Observa que en cualquier asignación solo hay tres posibilidades. Que la Caja 1 sea entregada a Doyoacán, que la Caja 1 sea entregada a Repachula o que la Caja 1 sea entregada a Mitzingo y no hay otra posibilidad, pues ¿de qué otra forma se entregaría la Caja 1? Considera primero que la Caja 1 sea entregada a Doyoacán, ¿cuántas asignaciones cumplen esa condición? Una vez que hemos estipulado que la Caja 1 se entregará a Doyoacán, tenemos solamente dos posibles asignaciones, a saber:

Podemos preguntar si hay otra posible asignación de las cajas que cumpla con la condición de que la Caja 1 se entrega a Doyoacán. Usualmente, nuestros alumnos se suelen quedar callados y dudosos. La respuesta es no, no hay otra, sólo son esas dos. Listemos ahora todas las posibles asignaciones que cumplan que la Caja 1 se entrega a Repachula, ¿cuántas de éstas hay? ¿Cómo podemos completar el siguiente diagrama?

Solamente de dos formas:

Y no hay más asignaciones que cumplan con la condición de enviar la Caja 1 al municipio de Repachula. Nos falta considerar ahora todas las asignaciones que repartan la Caja 1 al municipio de Mitzingo, son las siguientes:

Y no hay más: observa que en cualquier repartición hay tres p y sólo posibilidades y sólo tres:

• La Caja 1 se reparte a Doyoacán.
• La Caja 1 se reparte a Repachula.
• La Caja 1 se reparte a Mitzingo.

No es posible entregar la Caja 1 de otra manera. Observamos arriba que cada uno de éstas se puede dar de dos formas distintas y sólo de dos formas. Por lo tanto, en total hay 6 =3x2 formas de asignar las tres cajas, de hecho ya listamos todas.

Actividad

Enlista cada una de esas 24 asignaciones. Esta actividad también se la puedes plantear a tus estudiantes.

Un problema retador que podemos dejar en el aula es el siguiente: encuentra una fórmula que te indique de cuántas formas puedes repartir n cajas entre n municipios de tal forma que cada caja sea asignada a uno y sólo uno de estos municipios. Puedes intentar primero n = 5 y n = 6. ¡Los números crecen rapidísimo! Para n = 5, hay 120 formas distintas, no pidamos enlistarlas porque resultar ser muy tedioso. Pero volvamos al caso de repartir 3 cajas entre 3 municipios de tal forma que cada caja sea asignada a uno y sólo uno de esos municipios.

NOTA DIDÁCTICA: Sobre la categoría de Interacción y Lenguaje Matemático: Con el fin de que un alumno responda nuestras preguntas, podemos permitirle hablar de forma no correcta, y debemos prestar mucha atención para entender a lo que se refiere y después debemos mostrarle cómo decir con precisión sus ideas. Pero nosotros como docentes debemos tener siempre, desde el inicio, mucho cuidado en la forma en que nos expresamos, esto con el fin de no crear más confusiones.

NOTA DIDÁCTICA: Observa cómo somos cuidadosos al hablar cuando decimos que cada una de esas cajas es asignada a uno y sólo uno de esos municipios. No estamos considerando que una caja, por ejemplo, no se entregue o que en un municipio se entreguen dos cajas, ni mucho menos que una caja se divida en dos para ser repartida a dos municipios. En clase es también muy importante ir reforzando el cuidado del lenguaje, esto es la categoría de Interacción y Lenguaje Matemático. Por otro lado, si observas, de fondo estamos dando un primer acercamiento a ese concepto que iremos desarrollando en nuestros estudiantes a lo largo de los tres semestres: el concepto de función.

Como decíamos, hay 6 posibles asignaciones.

¿Alguna de ellas sucede con mayor frecuencia que las otras?

Hay una estrecha relación entre la forma en que se reparten estas 3 cajas a los 3 municipios con las simetrías de un triángulo equilátero, pero dejaremos esto anotado tan sólo para los curiosos que lo quieran explorar, ¿sabes a lo que nos referimos? De hecho, en las progresiones de segundo semestre podríamos hablar un poco de ello. Podemos asumir como hipótesis de que todas estas asignaciones, si se realizan aleatoriamente, tienen la misma probabilidad de ocurrir. Como veremos a continuación, esta hipótesis, por lo demás razonable, nos ayuda a simplificar sobremanera la forma en que comprendemos el fenómeno aleatorio.

Incidentalmente, podemos diseñar de una forma muy fácil una simulación para el caso del reparto de tres cajas entre tres municipios. Ya que hay solo seis posibles asignaciones, podemos numerar cada una de ellas como se muestra:

La hipótesis de que el dado no esté cargado o la hipótesis de que cada una de las 6 posibles asignaciones aleatorias al repartir 3 cajas entre 3 municipios son igualmente probables es conocida como equiprobabilidad. A continuación, te compartimos un simulador que encontramos en la red en el que se describe la tirada de un dado:

Y utilizar un dado para simular el fenómeno aleatorio. ¿Cómo? Lo lanzamos y si cae en, por ejemplo, 5, estaremos diciendo que la asignación que se obtuvo aleatoriamente es

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Observa cómo, a la larga, la frecuencia con la que cae el 1, es casi la misma frecuencia que aquella con la que cae el 2, el 3 o cualquier otro número entre 1 y 6, a saber, muy cercana a 1/6.

Un dado se dice que es justo si no está cargado, es decir si existe la misma probabilidad de que caiga cualquiera de sus caras. ¿Cómo probarías tú que un dado no está cargado usando simulaciones?

Conocer que los posibles resultados de un fenómeno aleatorio son equiprobables es de una ayuda tremenda para realizar cálculos, pues una vez que sabemos esto ya no es indispensable hacer una simulación (aunque didácticamente siempre podemos hacerlo para reforzar nuestra argumentación). Por ejemplo, supongamos ahora que la asignación correcta al repartir las tres cajas es

Y que nos preguntamos por qué tan probable es que ocurra el evento en donde se entrega exactamente una caja bien. Nos basta analizar de entre todas las posibles asignaciones aquellos casos en los que se da que se entrega exactamente una de estas cajas correctamente, en este caso son:

3 de 6. La proporción entre casos en los que se da el evento aleatorio estudiado con el total de casos posibles es 3/6 = ½. Si haces una simulación y calculas la frecuencia con la que ocurren las asignaciones 2, 3 o 4. Verás que conforme aumentes el número de tiradas, esta frecuencia se aproximará a 0.5. Lo anterior no es una prueba, pero esperamos que con ello sea razonable que aceptes la definición de probabilidad teórica que en unos momentos te presentaremos. Pero antes de ello, te compartimos una serie de definiciones, las cuales sugerimos no presentar de golpe a tus estudiantes, sino a lo largo de estas actividades:

CONTENIDO MATEMÁTICO: Un fenómeno aleatorio es aquel tipo de fenómeno cuyo comportamiento no se puede predecir con exactitud; un fenómeno determinista, por el contrario, es aquel cuya evolución puede predecirse con total certidumbre. Al pensamiento probabilístico le interesan los fenómenos aleatorios. El espacio muestral de un fenómeno aleatorio consiste en todos los posibles resultados en los que éste puede suceder. Un evento es un subconjunto del espacio muestral (en nuestro ejemplo de la repartición de las tres cajas, un evento podría ser: se entrega exactamente una caja de forma correcta). A los resultados del espacio muestral también se les conoce como casos. Dado un evento, decimos que un resultado es un caso favorable si pertenece a dicho evento (en nuestro ejemplo anterior la asignación 4 es un caso favorable para el evento se entrega exactamente una caja de forma correcta).

Cuando todos los posibles resultados del espacio muestral son equiprobables podemos calcular la probabilidad de que un evento ocurra como

Probabilidad del evento = Número de casos favorables / Número total de casos

Volvamos al ejemplo de la repartición de las cuatro cajas. Si resolviste la última actividad propuesta, sabes que el espacio muestral de dicho fenómeno aleatorio consiste de 24 posibles resultados. Identifica todos los casos favorables al evento “entrega las 4 cajas correctamente” y calcula la probabilidad de dicho evento. Haz lo análogo para el evento “entrega exactamente 2 cajas correctamente”. Estos son ejercicios que corresponden a la categoría Procedural. Por último, en clase compara los resultados de los ejercicios anteriores con los resultados obtenidos de la simulación que hicieron en la progresión 2. En la siguiente progresión, veremos que en ocasiones es necesario utilizar técnicas generales de conteo para poder realizar estos cálculos y que, de hecho, contar no es tan trivial como podría parecer a primera vista.

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