IPERBOLE

L'IPERBOLE

geometria analitica

Cataldo-Cuomo-Fenili-Lafranceschina-Luongo

IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO

IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO

l'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno costante la differenza delle distanze da F1 e F2.

IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO

IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO

Indichiamo con 2a la differenza costante fra le distanze di tutti punti dell'iperbole dai fuochi F1 e F2. Indichiamo con 2c la distanza fra F1 e F2 ovvero la distanza focale. a e c sono sempre valori costanti e positivi.

Nella figura a lato, P è un punto generico dell'iperbole e dalla definizione data in precedenza sappiamo che la differenza fra il segmento che congiunge P ad F1 e quello che congiunge P ad F2 è uguale a 2a e questa differenza è sempre maggiore di zero. Di conseguenza vale la relazione riportata sotto.

IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO

IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO

Per le proprietà dei triangoli sappiamo che un lato è sempre maggiore della differenza degli altri due. Quindi considerando il triangolo PF1F2 vale la relazione riportata di sotto.

EQUAZIONE IPERBOLE CON FUOCHI SULL'ASSE x

EQUAZIONE IPERBOLE CON FUOCHI SULL'ASSE x

eliminando il valore assoluto e svolgendo altri passaggi si arriva alla forma:

Se consideriamo un'iperbole con centro nell'origine i suoi fuochi avranno coordinate F1(-c;0) e F2(c;0)

Inidchiamo con P(x;y) un punto generico del piano che appartiene all'iperbole se:

poniamo la differenza c²-a² = b. Questo valore sarà sicuramente positivo per le dimostrazioni precedenti. Otterremo quindi la forma:

utilizzando la formula della distanza fra due punti abbiamo perciò:

equazione iperbole con fuochi sull'asse x

EQUAZIONE IPERBOLE CON FUOCHI SULL'ASSE y

EQUAZIONE IPERBOLE CON FUOCHI SULL'ASSE y

Partendo da calcoli similari a quelli svolti in precedenza si può arrivare anche alla canonica equazione di un' iperbole con fuochi sull'asse y che scriviamo come:

sia nell'equazione dell'iperbole con fuochi sull'asse y che in quella con i fuochi sull'asse x i termini x ed y sono elevati al quadrato quindi se P1(x;y) appartiene all'iperbole allora anche P2(-x;y) P3(x;-y) e P4(-x;-y) apparterranno alla parabola per questo l'iperbole è una curva simmetrica rispetto all'asse x, all'asse y e all'origine.

Si dice inoltre che l'equazione canonica rappresenta un'iperbole riferita al centro e ai suoi assi di simmetria o più semplicemente un'iperbole riferita ai propri assi.

VERTICI E ASSI

VERTICI E ASSI

Per determinare le intersezioni con l'asse y invece risolviamo il sistema sottostante:

Se l'iperbole ha i fuochi sull'asse x, per determinare le sue intersezioni con l'asse x, mettiamo a sistema le rispettive equazioni.

Risolvendo il sistema abbiamo come risultato che A1(a;0) e A2(-a;0) sono le intersezioni con l'asse e si dicono vertici reali dell'iperbole, il segmento che li congiunge prende il nome di asse trasverso e viene indicato con 2a. Si dice inoltre che i fuochi giacciono sull'asse trasverso.

La seconda equazione che otteniamo risulta impossibile perciò i punti B1(0;b) e B2(0;-b) si dicono vertici non reali, La retta che passa per questi 2 punti è perpendicolare all'asse trasverso e prende il nome di asse non trasverso che indichiamo con 2b.

Se l'iperbole ha i fuochi sull'asse y si procede allo stesso modo e i vertici reali saranno B1 e B2, mentre A1 e A2 quelli non reali, inoltre l'asse x sarà l'asse non trasverso.

RAPPRESENTARE UN'IPERBOLE

RAPPRESENTARE UN'IPERBOLE

Consideriamo i punti -a, a, b e -b riportati nella figura di destra, se li congiungiamo si forma un rettangolo le cui diagonali giacciono su delle rette dette asintoti. Tali rette passano per il punto (a;-b) e per il punto (a;b) perciò le loro equazioni sono:

Tutti i punti dell'iperbole sono esterni al rettangolo e interni alle porzioni del piano che sono delimitate dagli asintodi e contengono i fuochi. Gli asintoti non intersecano mai la curva e le se avvicinano sempre di più man mano che si allontana dall'origine. L'iperbole perciò si definisce una curva chiusa e costituita da due rami distinti.

COORDINATE DEI FUOCHI

COORDINATE DEI FUOCHI

Data l'equazione di un'iperbole con i fuochi sull'asse x per determinare le coordinate dei fuochi stessi, partiamo dalla relazione c²= a²+b². Se ricaviamo la c a questo punto otteniamo che le coordinate dei due fuochi sono:

Analogamente se l'iperbole ha i due fuochi sull'asse y le coordiante di questi ultimi saranno:

L'ECCENTRICITÀ

L'ECCENTRICITÀ

L'eccentrcità dell'iperbole è il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso. Nell'iperbole con i fuochi sull'asse x la distanza focale è 2c, mentre la lunghezza del'asse trasverso 2a, perciò l'eccentricità si calcola come:

Nell'iperbole con fuochi sull'asse y invece dove la lunghezza dell'asse trsverso è pari a 2b vale:

Maggiore è l'eccentricità, maggiore sarà l'apertura dei rami dell'iperbole

IPERBOLE E FUNZIONI

IPERBOLE E FUNZIONI

La canonica equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse x non rappresenta una funzione perché ad ogni x, con x < -a o x > a, corrispondono 2 valori di y. Stesso discorso vale per l'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse y, in quanto per ogni valore reale attribuito ad x avremo due valori di y. È possibile ottenere funzioni solo se si pongono particolari condizioni, per esempio se consideriamo soltanto valori di y tali che y sia maggiore o uguale di zero.

IPERBOLI E RETTE

IPERBOLI E RETTE

Se vogliamo stabilire la posizione di una retta rispetto ad un'iperbole metteremo a sistema le rispettive equazioni per poi ricavare l'equazione risolvente del sistema, se quest'ultima avrà un delta maggiore di zero la retta sarà secante all'iperbole, se il delta è uguale a zero la retta sarà tangente ed infine se sarà minore di zero la retta sarà esterna, proprio come funziona per parabola o circoferenza. In questo caso vi è però un' eccezione che si verifica quando la retta è parallela a un asintoto, in quel caso è secante ma ha un solo punto di intersezione.

FORMULA DI SDOPPIAMENTO

FORMULA DI SDOPPIAMENTO

Se un punto P(X0;Y0) appartiene all'iperbole e vogliamo trovare la retta che condotta da esso sia tangente all'iperbole possiamo ricorrere alla formula di sdoppiamento che assume una delle due forme sottostanti in base alla tipologia di iperbole a cui ci riferiamo, utilizzeremo quindi la formula a sinistra se l'iperbole ha i fuochi sull'asse x, in caso contrario useremo quella di destra

DETERMINARE l'EQUAZIONE DI UN'IPERBOLE

DETERMINARE l'equazione di un'iperbole

Nell'equazione dell'iperbole sono presenti soltanto due coefficienti, ovvero a e b, pertanto per ricavare l'equazione di un'iperbole ci basterà impostare un sistema (come facciamo con parabola o circonferenza) , in questo caso perciò necesseiteremo di appena due condizioni. Se conosciamo un vertice conosciamo direttamente il valore di a o b, le altre condizioni invece, come per esempio l'eccentricità, la apprtenenza di un punto o le coordinate dei fuochi, ci forniscono delle equazioni nelle incognite a e b.

DETERMINARE l'EQUAZIONE DI UN'IPERBOLE

DETERMINARE l'equazione di un'iperbole

-5/4 non è una soluzione accetabile perché b è sempre maggiore di zero. Quindi b=4.

FINE

grazie per la visione

Cataldo-Cuomo-Fenili-Lafranceschina-Luongo