Mensajería
aleatoria I
Progresión 2
2023 © Todos los derechos reservados
Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora académica / Dr. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional
2:
Progresión
Identifica la incertidumbre como consecuencia de la variabilidad y a través de la consulta de datos o simulaciones, considera la frecuencia con la que un evento puede ocurrir con la finalidad de tener más información sobre la probabilidad de que dicho evento suceda (C2M1, C2M2). C2M1: Observa y obtiene información de una situación o fenómeno (natural o social) para establecer estrategias o formas de visualización que ayuden a explicarlo. C2M2: Desarrolla la percepción y la intuición para generar una hipótesis inicial ante situaciones que requieren explicación o interpretación.
Anotaciones didácticas:
Se busca que el estudiantado tenga una primera aproximación al pensamiento probabilístico desde una perspectiva frecuencial. Cuando se menciona el uso de simulaciones se deja abierta la posibilidad del uso de hojas de cálculo o software más sofisticado como R, aclarando que si no se cuenta con la infraestructura para llevarlo a cabo así, se pueden emplear materiales más asequibles como hojas comunes, fichas y el trabajo colaborativo en el grupo.
Veamos un ejemplo que servirá para desarrollar en las y los estudiantes intuición acerca de la aleatoriedad y la comprensión de que diferentes eventos (aleatorios) pueden ocurrir con distinta frecuencia. Es importante mencionar que en esta progresión no nos interesa emplear la probabilidad clásica para entender la aleatoriedad de los eventos, sino que buscamos construir una primera aproximación a la probabilidad a través del estudio de frecuencias (este evento es más frecuente que aquel, este evento no ocurre, etc.) para sólo posteriormente introducir nociones más teóricas. Por otro lado, este mismo ejemplo nos permitirá presentar un ambiente ideal para abordar diversas situaciones a lo largo del curso. Se trata de una isla remota llamada Isla Viva, que consta de 5 pequeños municipios: Doyoacán, Repachula, Mitzingo, Fatitlán, Solzintla. Cada uno de ellos con su propio Centro de Salud.
Debido a las características propias de cada municipio, el suministro de medicamentos destinado a los Centros de Salud es único y dispuesto para satisfacer las necesidades de cada Centro. Esta cuidadosa selección de medicamentos y dosis se realiza en la Jurisdicción Sanitaria de Isla Viva con sede en Solzintla. Posteriormente se empacan y envían el mismo día a los otros cuatro municipios, en cajas del mismo tamaño debidamente etiquetadas para su distribución. En Solzintla se queda su respectiva caja de medicamentos, así que no entra en la camioneta de reparto. En esta ocasión ocurrió que Carlitos, hijo pequeño del mensajero Carlos, el encargado de repartir las cajas en los Centros de Salud, acompañó a su padre a hacer las entregas, pues era uno de esos viernes en los que su escuela les da el día libre a los estudiantes para que los profesores puedan tener reuniones de trabajo. Así que Carlitos inquieto en la vagoneta de reparto, arrancó las etiquetas de destino de las cajas para pegarlas en su propia ropa como había visto en una caricatura.
Cuando Carlos notó la ausencia de etiquetas, decidió, no sin mucha preocupación, entregar las cajas al azar, pero… ¿Y si se equivocaba? La clase puede comenzar presentando esta situación y preguntando a tus estudiantes lo que ellas y ellos harían de estar en la situación de Carlos. Puede ocurrir que alguno encuentre poco ético entregar las cajas aleatoriamente pues podría ocurrir que en la confusión graves consecuencias sucedan para las personas que se atienden en los centros de salud. Sería interesante platicar al respecto en el aula acerca de estas consideraciones éticas. Posiblemente, podríamos argumentar, no sería muy infrecuente que al entregar las cajas aleatoriamente le atinemos a la asignación correcta, ¿será cierto esto? Diles a tus estudiantes que tú traes anotado en una hoja que está dentro de un sobre sellado cuál es la asignación correcta, algo así como lo que sucede en las premiaciones de películas, pídeles que intenten adivinar cuál será dicha asignación.
Vamos a suponer que la asignación correcta que traes anotada en tu sobre es:
NOTA DIDÁCTICA: Observa que los nombres que hemos puesto a los municipios nos permite recordarlos y darles un orden, pues se listan de manera semejante a la escala musical, pero es necesario tener en cuenta que en la realidad no tiene por qué haber una forma intrínseca de ordenar los datos, podríamos, por ejemplo, ordenarlos alfabéticamente por la primera letra del nombre del municipio, suponiendo que no hay dos que inician con la primera letra, en ese caso habría que ver la segunda, etc.
¿Alguno de tus estudiantes dio con esta asignación? ¿Cuántas otras posibles asignaciones encontraron?
NOTA DIDÁCTICA: Es necesario promover entre nosotros como docentes y entre nuestros estudiantes el ir trabajado de una forma ordenada. En particular porque nos enfrentaremos muy pronto a problemas de conteo y hay que ver de qué manera podemos contar de tal forma que tengamos menos posibilidades de equivocarnos.
Si bien el ejercicio anterior parece que simula el comportamiento de un evento aleatorio, a saber, el de asignar cajas a municipios, puede resultar que existan sesgos involuntarios, por ejemplo asignar
Asignación que quizá correspondería a un deseo involuntario de ordenar la repartición de acuerdo con la escala musical. Estos sesgos ocasionan que nuestro entendimiento del fenómeno aleatorio no sea del todo correcto. Veremos esto más a fondo cuando estudiemos la progresión 11 con otro ejemplo, pero desde una etapa tan temprana como la progresión 2 podemos ir reflexionando al respecto con nuestros estudiantes.
Simulación y frecuencias
Una forma de evitar estos sesgos es utilizar al azar en contra del propio azar. Es momento de que introduzcas a tus estudiantes una idea muy importante para desarrollar el pensamiento probabilístico y estadístico en esta etapa: la simulación. Algunos docentes nos han comentado que es imposible abordar contenidos relativos a probabilidad y estadística en primer semestre de bachillerato. Lo que ocurre es que se piensa en la probabilidad y la estadística que usualmente se imparte en quinto o sexto semestre. Estamos frente a una Torre de Babel. Es cierto, no podemos enseñar lo que se enseñaba en sexto o quinto semestre en primer semestre, pero las progresiones de aprendizaje no proponen eso.
El enfoque para trabajar pensamiento probabilístico y estadístico en primer semestre es hacerlo a través de simulaciones y frecuencias. Como ésta será seguramente la primera vez que tus estudiantes estén frente a una simulación aleatoria es necesario que los acompañes y guíes, posteriormente podremos pedirles que diseñen sus propias simulaciones.
CONTENIDOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO: Recuerda que una simulación es una representación artificial de un proceso aleatorio, usada para estudiar las propiedades a largo plazo de dicho proceso (Rossman & Chance, 2011).
Para hacer una simulación del fenómeno aleatorio de repartir las cajas de medicamentos al azar a las cabeceras municipales de Isla Viva pide a tus estudiantes que dibujen un mapa de Isla Viva en una hoja y que recorten algunas fichas, una por cada caja. Es importante que cada una de estas fichas sea tal que por un lado tenga etiquetada una y sólo una de las cajas y que por el otro lado sean indistinguibles.
Para repartir las fichas puedes colocarlas todas en un recipiente e ir sacándolas aleatoriamente o barajarlas, para posteriormente colocar cada una en cada uno de los cuatro municipios de Isla Viva a los que estamos distribuyendo medicamentos:
Al voltear las fichas, descubriremos una asignación aleatoria de cajas a municipios, sin tener los problemas de sesgos involuntarios que mencionábamos antes, por ejemplo, la configuración:
Pasa el cursor sobre las cartas para descubrir los números.
Corresponde a la asignación:
Recuerden que la única asignación correcta es:
NOTA DIDÁCTICA: Esta es una perfecta oportunidad para realizar un trabajo colaborativo, mejor aún si se trata de un grupo numeroso. Propón en tu grupo que en equipos de cinco (o el tamaño que mejor te convenga), generen 20 repeticiones de la simulación y que, luego que en el grupo se junten todas éstas para obtener más datos.
¿Es frecuente que la asignación correcta aparezca en el ejercicio que acaban de hacer tus estudiantes? Es claro que la configuración resultante de una tirada en una simulación no es suficiente para entender el fenómeno aleatorio, tenemos que repetir muchas veces estas tiradas para tener una imagen más fiel de la frecuencia con la que estaríamos entregando correctamente las cajas a los municipios si lo hiciéramos aleatoriamente.
Hay que analizar los datos que nos arroja la simulación y que recopilamos entre todas y todos. Realicen este ejercicio varias veces. Es importante llevar un registro de cada uno de los casos simulados. Volvamos al caso anterior.
CONTENIDOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO: Debemos tener mucho cuidado en cómo decimos las cosas. Observa que en el párrafo anterior empleamos la expresión “que exactamente se repartan correctamente” tantas cajas. Nota que si sólo decimos “que se repartan bien dos cajas” no estamos excluyendo los casos en que se reparten bien, por ejemplo, las cuatro cajas. Esta reflexión se refiere a la categoría de Interacción y Lenguaje Matemático y la podemos hacer con las y los estudiantes.
En este caso, ¿cuántas cajas se repartieron correctamente? Ciertamente no fueron todas, sólo la caja 4 se repartió a donde se debía: al municipio de Repachula. ¿Qué será más frecuente que exactamente una sola caja se reparta bien o que exactamente dos cajas se repartan correctamente?
Actividad para el aula
Puedes plantear las siguientes preguntas a tus estudiantes: Con base en las observaciones que hagas a partir de la simulación responde:¿Consideras que ocurre con mucha frecuencia que al entregar las cajas aleatoriamente se repartan correctamente?¿Crees que es más frecuente que se entreguen bien exactamente 2 cajas o que no se entreguen bien ninguna de las cajas?¿Qué tan frecuentemente consideras que es que se entreguen exactamente 3 de las 4 cajas?, es decir 3 cajas son entregadas bien y la restante no. ¿Es más frecuente que se entreguen las 4 cajas correctamente o que se entreguen exactamente 2 cajas correctamente?
Lo que en este momento nos interesa evaluar es que tus estudiantes argumenten con base en las observaciones que hagan de los resultados de la simulación. Así pues, estamos evaluando la categoría de Procesos de Intuición y Razonamiento.
NOTA DIDÁCTICA: Recuerda que no buscamos ahora que las y los estudiantes apliquen la fórmula que tú como docente de Pensamiento Matemático tienes en mente. Buscamos simplemente que identifique que hay eventos (aleatorios) que ocurren con mayor frecuencia que otros.
NOTA DIDÁCTICA: La elección del número 4 para el problema tiene una razón de ser: de haber elegido en su lugar, por ejemplo, 3 cajas y 3 municipios, las cuentas y listas que las y los estudiantes tendrían que realizar resultan ser muy simples; de haber escogido 5 cajas y 5 municipios, los números crecen demasiado y se vuelve una actividad, en este punto de la progresión, tediosa para el estudiantado. Así pues, didácticamente hablando, 4 para este ejemplo es el número adecuado. Si has tomado algún curso con nosotros previamente, es probable que recuerdes un problema similar al que estamos planteando aquí: el problema de la entrega de los gatitos negros, el cual a su vez, se inspira de un problema que plantean Rossman y Chance (2011). Puedes dar click en el siguiente enlace para consultar ese material.
Ejercicio opcional
Estimada maestra y estimado maestro, algunos de nosotros tenemos cierta facilidad con la tecnología, es posible que puedas diseñar una simulación de este fenómeno aleatorio utilizando tecnología. En caso de ser así, es momento de que lo hagas, puedes utilizar hojas de cálculo o lenguajes de programación. También es posible que hagas una búsqueda en la red para encontrar una applet previamente diseñada para simular un fenómeno aleatorio similar a este. Recuerda que si no cuentas con tecnología al alcance puedes quedarte solamente con la simulación que te planteamos más arriba.
Frecuencia
Después de lanzar distintas tiradas en la simulación, ¿estamos de acuerdo en que sería muy raro que a Carlos se le ocurriera precisamente la manera correcta de asignar las cajas de medicamentos en el primer intento? La respuesta a esta pregunta es mera intuición, pero podemos comprobarla. También podemos intuir que es más probable que Carlos entregue correctamente sólo una de las cajas. He aquí un elemento muy importante a considerar: Como los números de veces en que repito una simulación son muy variables (tú puedes hacer 100 repeticiones y yo pude haber hecho 127), tenemos que encontrar una forma de hablar de manera más o menos precisa de la frecuencia con que un evento ocurre, para ello usamos proporciones:
NOTA DIDÁCTICA: Este es un muy buen momento para que hagas con tus estudiantes una evaluación diagnóstica sobre estos contenidos del pensamiento matemático que se abordan en secundaria. No nos referimos a que diseñes un examen sobre proporciones, sino que utilizando esta misma actividad observes el desempeño de tus estudiantes al pasar por las mesas de trabajo de los equipos.
Frecuencia de un evento = número de veces que sucede el evento en la simulación / número total de repeticiones
Se puede observar que conforme más repeticiones hagamos, la frecuencia tiende a estabilizarse en un número. En la progresión 3 formalizaremos esto introduciendo la noción de probabilidad teórica y veremos que la frecuencia de un evento tiende, conforme se incrementan las repeticiones, a la probabilidad clásica del evento. En la simulación con los estudiantes, cuenten la frecuencia con la que ocurren los siguientes eventos:
Si tuvieras que apostar por uno de estos cinco eventos, ¿por cuál lo harías? En una simulación por software con 200 tiradas, obtuvimos la siguiente tabla de frecuencias:
E0: Carlos entrega 0 cajas correctamente. E1: Carlos entrega exactamente 1 caja de manera correcta. E2: Carlos entrega exactamente 2 cajas de manera correcta. E3: Carlos entrega exactamente 3 cajas de manera correcta. E4: Carlos entrega las 4 cajas correctamente.
que es un número muy pequeño acorde con nuestra intuición. También podemos notar que es mucho más probable entregar exactamente una caja bien, a entregar las cuatro cajas bien. La frecuencia con la que se entrega exactamente una caja en el municipio que le corresponde es de
Un histograma es la representación gráfica de una tabla de frecuencias. El eje X contiene a los eventos, y el eje Y representa la frecuencia con que ocurren dichos eventos. La creación de histogramas es parte de progresiones posteriores, pero en este momento nos es pertinente hablar de ellos, para darle un sentido gráfico a la tabla de frecuencias. Observemos que de 200 tiradas, solamente en 9 ocasiones acertamos a la asignación correcta de las cajas. La proporción de 9 casos favorables de las 200 tiradas es
NOTA DIDÁCTICA: Este es un excelente momento para repasar números decimales, fracciones y proporciones. Para comparar las proporciones del ejemplo anterior, conviene localizar los números
Además, lo más probable es que no se entregue ninguna caja bien. Observemos el curioso fenómeno que ocurre al contar 3 coincidencias, notemos que el informe muestra que no hay exactamente 3 coincidencias en toda la simulación.¿Por qué ocurre esto?
en la recta real. Da clic en el siguiente enlace para leer un poco al respecto. Un componente muy importante de la evaluación formativa es el diagnóstico, te invitamos a observar el desempeño de tus estudiantes para que, de ser necesario, replanifiquemos la forma en que abordaríamos nuestra clase.
¿Qué hizo el mensajero Carlos?
Carlos, al no tener la información sobre la manera correcta de entregar las cajas de suministros, lo hizo al azar, con la esperanza de que no hubiera consecuencias mayores en los Centros de Salud, y dispuesto a realizar más viajes para corregir las entregas, pues era consciente de que la salud de muchas personas dependía del contenido de esas cajas. Su estrategia consistió en avisar a cada Centro de un posible error en el suministro, para notificar a la Jurisdicción Sanitaria los medicamentos faltantes, y les sean provistos lo más pronto posible. Al día siguiente, después de viajar por segunda vez para repartir cajas de suministros médicos faltantes debidamente etiquetados, Carlos fue llamado a una oficina central para hablar sobre lo sucedido.
Puedes consultar más presentaciones sobre PMI
PMI - Progresión 2: Mensajería aleatoria I
Carolina Chávez
Created on May 6, 2023
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Mensajería
aleatoria I
Progresión 2
2023 © Todos los derechos reservados
Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora académica / Dr. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional
2:
Progresión
Identifica la incertidumbre como consecuencia de la variabilidad y a través de la consulta de datos o simulaciones, considera la frecuencia con la que un evento puede ocurrir con la finalidad de tener más información sobre la probabilidad de que dicho evento suceda (C2M1, C2M2). C2M1: Observa y obtiene información de una situación o fenómeno (natural o social) para establecer estrategias o formas de visualización que ayuden a explicarlo. C2M2: Desarrolla la percepción y la intuición para generar una hipótesis inicial ante situaciones que requieren explicación o interpretación.
Anotaciones didácticas:
Se busca que el estudiantado tenga una primera aproximación al pensamiento probabilístico desde una perspectiva frecuencial. Cuando se menciona el uso de simulaciones se deja abierta la posibilidad del uso de hojas de cálculo o software más sofisticado como R, aclarando que si no se cuenta con la infraestructura para llevarlo a cabo así, se pueden emplear materiales más asequibles como hojas comunes, fichas y el trabajo colaborativo en el grupo.
Veamos un ejemplo que servirá para desarrollar en las y los estudiantes intuición acerca de la aleatoriedad y la comprensión de que diferentes eventos (aleatorios) pueden ocurrir con distinta frecuencia. Es importante mencionar que en esta progresión no nos interesa emplear la probabilidad clásica para entender la aleatoriedad de los eventos, sino que buscamos construir una primera aproximación a la probabilidad a través del estudio de frecuencias (este evento es más frecuente que aquel, este evento no ocurre, etc.) para sólo posteriormente introducir nociones más teóricas. Por otro lado, este mismo ejemplo nos permitirá presentar un ambiente ideal para abordar diversas situaciones a lo largo del curso. Se trata de una isla remota llamada Isla Viva, que consta de 5 pequeños municipios: Doyoacán, Repachula, Mitzingo, Fatitlán, Solzintla. Cada uno de ellos con su propio Centro de Salud.
Debido a las características propias de cada municipio, el suministro de medicamentos destinado a los Centros de Salud es único y dispuesto para satisfacer las necesidades de cada Centro. Esta cuidadosa selección de medicamentos y dosis se realiza en la Jurisdicción Sanitaria de Isla Viva con sede en Solzintla. Posteriormente se empacan y envían el mismo día a los otros cuatro municipios, en cajas del mismo tamaño debidamente etiquetadas para su distribución. En Solzintla se queda su respectiva caja de medicamentos, así que no entra en la camioneta de reparto. En esta ocasión ocurrió que Carlitos, hijo pequeño del mensajero Carlos, el encargado de repartir las cajas en los Centros de Salud, acompañó a su padre a hacer las entregas, pues era uno de esos viernes en los que su escuela les da el día libre a los estudiantes para que los profesores puedan tener reuniones de trabajo. Así que Carlitos inquieto en la vagoneta de reparto, arrancó las etiquetas de destino de las cajas para pegarlas en su propia ropa como había visto en una caricatura.
Cuando Carlos notó la ausencia de etiquetas, decidió, no sin mucha preocupación, entregar las cajas al azar, pero… ¿Y si se equivocaba? La clase puede comenzar presentando esta situación y preguntando a tus estudiantes lo que ellas y ellos harían de estar en la situación de Carlos. Puede ocurrir que alguno encuentre poco ético entregar las cajas aleatoriamente pues podría ocurrir que en la confusión graves consecuencias sucedan para las personas que se atienden en los centros de salud. Sería interesante platicar al respecto en el aula acerca de estas consideraciones éticas. Posiblemente, podríamos argumentar, no sería muy infrecuente que al entregar las cajas aleatoriamente le atinemos a la asignación correcta, ¿será cierto esto? Diles a tus estudiantes que tú traes anotado en una hoja que está dentro de un sobre sellado cuál es la asignación correcta, algo así como lo que sucede en las premiaciones de películas, pídeles que intenten adivinar cuál será dicha asignación.
Vamos a suponer que la asignación correcta que traes anotada en tu sobre es:
NOTA DIDÁCTICA: Observa que los nombres que hemos puesto a los municipios nos permite recordarlos y darles un orden, pues se listan de manera semejante a la escala musical, pero es necesario tener en cuenta que en la realidad no tiene por qué haber una forma intrínseca de ordenar los datos, podríamos, por ejemplo, ordenarlos alfabéticamente por la primera letra del nombre del municipio, suponiendo que no hay dos que inician con la primera letra, en ese caso habría que ver la segunda, etc.
¿Alguno de tus estudiantes dio con esta asignación? ¿Cuántas otras posibles asignaciones encontraron?
NOTA DIDÁCTICA: Es necesario promover entre nosotros como docentes y entre nuestros estudiantes el ir trabajado de una forma ordenada. En particular porque nos enfrentaremos muy pronto a problemas de conteo y hay que ver de qué manera podemos contar de tal forma que tengamos menos posibilidades de equivocarnos.
Si bien el ejercicio anterior parece que simula el comportamiento de un evento aleatorio, a saber, el de asignar cajas a municipios, puede resultar que existan sesgos involuntarios, por ejemplo asignar
Asignación que quizá correspondería a un deseo involuntario de ordenar la repartición de acuerdo con la escala musical. Estos sesgos ocasionan que nuestro entendimiento del fenómeno aleatorio no sea del todo correcto. Veremos esto más a fondo cuando estudiemos la progresión 11 con otro ejemplo, pero desde una etapa tan temprana como la progresión 2 podemos ir reflexionando al respecto con nuestros estudiantes.
Simulación y frecuencias
Una forma de evitar estos sesgos es utilizar al azar en contra del propio azar. Es momento de que introduzcas a tus estudiantes una idea muy importante para desarrollar el pensamiento probabilístico y estadístico en esta etapa: la simulación. Algunos docentes nos han comentado que es imposible abordar contenidos relativos a probabilidad y estadística en primer semestre de bachillerato. Lo que ocurre es que se piensa en la probabilidad y la estadística que usualmente se imparte en quinto o sexto semestre. Estamos frente a una Torre de Babel. Es cierto, no podemos enseñar lo que se enseñaba en sexto o quinto semestre en primer semestre, pero las progresiones de aprendizaje no proponen eso.
El enfoque para trabajar pensamiento probabilístico y estadístico en primer semestre es hacerlo a través de simulaciones y frecuencias. Como ésta será seguramente la primera vez que tus estudiantes estén frente a una simulación aleatoria es necesario que los acompañes y guíes, posteriormente podremos pedirles que diseñen sus propias simulaciones.
CONTENIDOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO: Recuerda que una simulación es una representación artificial de un proceso aleatorio, usada para estudiar las propiedades a largo plazo de dicho proceso (Rossman & Chance, 2011).
Para hacer una simulación del fenómeno aleatorio de repartir las cajas de medicamentos al azar a las cabeceras municipales de Isla Viva pide a tus estudiantes que dibujen un mapa de Isla Viva en una hoja y que recorten algunas fichas, una por cada caja. Es importante que cada una de estas fichas sea tal que por un lado tenga etiquetada una y sólo una de las cajas y que por el otro lado sean indistinguibles.
Para repartir las fichas puedes colocarlas todas en un recipiente e ir sacándolas aleatoriamente o barajarlas, para posteriormente colocar cada una en cada uno de los cuatro municipios de Isla Viva a los que estamos distribuyendo medicamentos:
Al voltear las fichas, descubriremos una asignación aleatoria de cajas a municipios, sin tener los problemas de sesgos involuntarios que mencionábamos antes, por ejemplo, la configuración:
Pasa el cursor sobre las cartas para descubrir los números.
Corresponde a la asignación:
Recuerden que la única asignación correcta es:
NOTA DIDÁCTICA: Esta es una perfecta oportunidad para realizar un trabajo colaborativo, mejor aún si se trata de un grupo numeroso. Propón en tu grupo que en equipos de cinco (o el tamaño que mejor te convenga), generen 20 repeticiones de la simulación y que, luego que en el grupo se junten todas éstas para obtener más datos.
¿Es frecuente que la asignación correcta aparezca en el ejercicio que acaban de hacer tus estudiantes? Es claro que la configuración resultante de una tirada en una simulación no es suficiente para entender el fenómeno aleatorio, tenemos que repetir muchas veces estas tiradas para tener una imagen más fiel de la frecuencia con la que estaríamos entregando correctamente las cajas a los municipios si lo hiciéramos aleatoriamente.
Hay que analizar los datos que nos arroja la simulación y que recopilamos entre todas y todos. Realicen este ejercicio varias veces. Es importante llevar un registro de cada uno de los casos simulados. Volvamos al caso anterior.
CONTENIDOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO: Debemos tener mucho cuidado en cómo decimos las cosas. Observa que en el párrafo anterior empleamos la expresión “que exactamente se repartan correctamente” tantas cajas. Nota que si sólo decimos “que se repartan bien dos cajas” no estamos excluyendo los casos en que se reparten bien, por ejemplo, las cuatro cajas. Esta reflexión se refiere a la categoría de Interacción y Lenguaje Matemático y la podemos hacer con las y los estudiantes.
En este caso, ¿cuántas cajas se repartieron correctamente? Ciertamente no fueron todas, sólo la caja 4 se repartió a donde se debía: al municipio de Repachula. ¿Qué será más frecuente que exactamente una sola caja se reparta bien o que exactamente dos cajas se repartan correctamente?
Actividad para el aula
Puedes plantear las siguientes preguntas a tus estudiantes: Con base en las observaciones que hagas a partir de la simulación responde:¿Consideras que ocurre con mucha frecuencia que al entregar las cajas aleatoriamente se repartan correctamente?¿Crees que es más frecuente que se entreguen bien exactamente 2 cajas o que no se entreguen bien ninguna de las cajas?¿Qué tan frecuentemente consideras que es que se entreguen exactamente 3 de las 4 cajas?, es decir 3 cajas son entregadas bien y la restante no. ¿Es más frecuente que se entreguen las 4 cajas correctamente o que se entreguen exactamente 2 cajas correctamente?
Lo que en este momento nos interesa evaluar es que tus estudiantes argumenten con base en las observaciones que hagan de los resultados de la simulación. Así pues, estamos evaluando la categoría de Procesos de Intuición y Razonamiento.
NOTA DIDÁCTICA: Recuerda que no buscamos ahora que las y los estudiantes apliquen la fórmula que tú como docente de Pensamiento Matemático tienes en mente. Buscamos simplemente que identifique que hay eventos (aleatorios) que ocurren con mayor frecuencia que otros.
NOTA DIDÁCTICA: La elección del número 4 para el problema tiene una razón de ser: de haber elegido en su lugar, por ejemplo, 3 cajas y 3 municipios, las cuentas y listas que las y los estudiantes tendrían que realizar resultan ser muy simples; de haber escogido 5 cajas y 5 municipios, los números crecen demasiado y se vuelve una actividad, en este punto de la progresión, tediosa para el estudiantado. Así pues, didácticamente hablando, 4 para este ejemplo es el número adecuado. Si has tomado algún curso con nosotros previamente, es probable que recuerdes un problema similar al que estamos planteando aquí: el problema de la entrega de los gatitos negros, el cual a su vez, se inspira de un problema que plantean Rossman y Chance (2011). Puedes dar click en el siguiente enlace para consultar ese material.
Ejercicio opcional
Estimada maestra y estimado maestro, algunos de nosotros tenemos cierta facilidad con la tecnología, es posible que puedas diseñar una simulación de este fenómeno aleatorio utilizando tecnología. En caso de ser así, es momento de que lo hagas, puedes utilizar hojas de cálculo o lenguajes de programación. También es posible que hagas una búsqueda en la red para encontrar una applet previamente diseñada para simular un fenómeno aleatorio similar a este. Recuerda que si no cuentas con tecnología al alcance puedes quedarte solamente con la simulación que te planteamos más arriba.
Frecuencia
Después de lanzar distintas tiradas en la simulación, ¿estamos de acuerdo en que sería muy raro que a Carlos se le ocurriera precisamente la manera correcta de asignar las cajas de medicamentos en el primer intento? La respuesta a esta pregunta es mera intuición, pero podemos comprobarla. También podemos intuir que es más probable que Carlos entregue correctamente sólo una de las cajas. He aquí un elemento muy importante a considerar: Como los números de veces en que repito una simulación son muy variables (tú puedes hacer 100 repeticiones y yo pude haber hecho 127), tenemos que encontrar una forma de hablar de manera más o menos precisa de la frecuencia con que un evento ocurre, para ello usamos proporciones:
NOTA DIDÁCTICA: Este es un muy buen momento para que hagas con tus estudiantes una evaluación diagnóstica sobre estos contenidos del pensamiento matemático que se abordan en secundaria. No nos referimos a que diseñes un examen sobre proporciones, sino que utilizando esta misma actividad observes el desempeño de tus estudiantes al pasar por las mesas de trabajo de los equipos.
Frecuencia de un evento = número de veces que sucede el evento en la simulación / número total de repeticiones
Se puede observar que conforme más repeticiones hagamos, la frecuencia tiende a estabilizarse en un número. En la progresión 3 formalizaremos esto introduciendo la noción de probabilidad teórica y veremos que la frecuencia de un evento tiende, conforme se incrementan las repeticiones, a la probabilidad clásica del evento. En la simulación con los estudiantes, cuenten la frecuencia con la que ocurren los siguientes eventos:
Si tuvieras que apostar por uno de estos cinco eventos, ¿por cuál lo harías? En una simulación por software con 200 tiradas, obtuvimos la siguiente tabla de frecuencias:
E0: Carlos entrega 0 cajas correctamente. E1: Carlos entrega exactamente 1 caja de manera correcta. E2: Carlos entrega exactamente 2 cajas de manera correcta. E3: Carlos entrega exactamente 3 cajas de manera correcta. E4: Carlos entrega las 4 cajas correctamente.
que es un número muy pequeño acorde con nuestra intuición. También podemos notar que es mucho más probable entregar exactamente una caja bien, a entregar las cuatro cajas bien. La frecuencia con la que se entrega exactamente una caja en el municipio que le corresponde es de
Un histograma es la representación gráfica de una tabla de frecuencias. El eje X contiene a los eventos, y el eje Y representa la frecuencia con que ocurren dichos eventos. La creación de histogramas es parte de progresiones posteriores, pero en este momento nos es pertinente hablar de ellos, para darle un sentido gráfico a la tabla de frecuencias. Observemos que de 200 tiradas, solamente en 9 ocasiones acertamos a la asignación correcta de las cajas. La proporción de 9 casos favorables de las 200 tiradas es
NOTA DIDÁCTICA: Este es un excelente momento para repasar números decimales, fracciones y proporciones. Para comparar las proporciones del ejemplo anterior, conviene localizar los números
Además, lo más probable es que no se entregue ninguna caja bien. Observemos el curioso fenómeno que ocurre al contar 3 coincidencias, notemos que el informe muestra que no hay exactamente 3 coincidencias en toda la simulación.¿Por qué ocurre esto?
en la recta real. Da clic en el siguiente enlace para leer un poco al respecto. Un componente muy importante de la evaluación formativa es el diagnóstico, te invitamos a observar el desempeño de tus estudiantes para que, de ser necesario, replanifiquemos la forma en que abordaríamos nuestra clase.
¿Qué hizo el mensajero Carlos?
Carlos, al no tener la información sobre la manera correcta de entregar las cajas de suministros, lo hizo al azar, con la esperanza de que no hubiera consecuencias mayores en los Centros de Salud, y dispuesto a realizar más viajes para corregir las entregas, pues era consciente de que la salud de muchas personas dependía del contenido de esas cajas. Su estrategia consistió en avisar a cada Centro de un posible error en el suministro, para notificar a la Jurisdicción Sanitaria los medicamentos faltantes, y les sean provistos lo más pronto posible. Al día siguiente, después de viajar por segunda vez para repartir cajas de suministros médicos faltantes debidamente etiquetados, Carlos fue llamado a una oficina central para hablar sobre lo sucedido.
Puedes consultar más presentaciones sobre PMI