INSIEMI e LOGICA

INSIEMI

Prof.ssa Eleonora Castagna

Che cos’è un insieme

Un insieme è un raggruppamento di oggetti. Ognuno di questi oggetti è detto elemento dell’insieme e diciamo che appartiene all’insieme. Per definire un insieme serve un criterio oggettivo per stabilire quali sono i suoi elementi.

NOTAZIONE Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole A, B, C… Gli elementi di un insieme si indicano con lettere minuscole a, b c…

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Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020

Insiemi ed elementi

Il simbolo:

• ∈ si legge appartiene,
• ∉ si legge non appartiene.

L’insieme vuoto è un qualsiasi insieme privo di elementi. Si indica con il simbolo ∅.

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Nozioni e simboligie introduttive

DEFINIZIONE:Un insieme di dice finito quando è costituito da un numero limitato di elementi. Il numero di elementi di un insieme finito A si dice cardinalità dell’insieme.Si indica con |A|.

DEFINIZIONE:Un insieme di dice infinito quando è costituito da un numero illimitato di elementi.

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Insiemi numerici

Gli insiemi numerici sono identificati con simboli particolari:

• ℕ indica l’insieme dei numeri naturali,
• ℤ indica l’insieme dei numeri interi,
• ℚ indica l’insieme dei numeri razionali,
• ℝ indica l’insieme dei numeri reali.

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Descrivere un insieme

Esistono vari modi per descrivere un insieme:

• fornire la proprietà caratteristica,
• elencare gli elementi che lo costituiscono,
• rappresentarlo graficamente con un diagramma di Eulero-Venn.

Proprietà caratteristica con i simboli

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Sottoinsiemi

Next

Il simbolo ⊄ si usa per indicare che un insieme non è sottoinsieme di un altro.

Info

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Insiemi uguali

Due insiemi A e B sono uguali (si scrive A = B) se hanno gli stessi elementi. In modo equivalente possiamo affermare che:

• A = B se e solo se ogni elemento di A appartiene a B e viceversa;
• A = B se e solo se A ⊆ B e B ⊆ A.

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Insieme delle parti

L’insieme delle parti P(A) di un insieme A è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di A. La cardinalità di P(A) =

2numero degli elementi di A

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Unione

Dati gli insiemi A e B la loro unione è l’insieme A ∪ B formato dagli elementi che appartengono ad A oppure a B.

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Intersezione

Dati gli insiemi A e B la loro intersezione è l’insieme A ∩ B formato dagli elementi che appartengono ad A e a B.

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Proprietà di unione e intersezione

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Differenza

Dati gli insiemi A e B, la differenza A - B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B. A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B }

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Complementare di un insieme

Dati gli insiemi A e B, con B ⊆ A, l’insieme complementare di B rispetto ad A è BA = A - B.

Spesso dato un insieme A il suo complementare viene fatto rispetto ad generico insieme più ampio detto insieme universo. In questo caso fanno parte del complementare tutti gli elementi che non appartengono ad A.

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Prodotto cartesiano di insiemi

Dati gli insiemi A e B, il prodotto cartesiano A × B è l’insieme delle coppie ordinate ( a ; b ), con a ∈ A e b ∈ B. A × B = { ( a ; b ) | a ∈ A e b ∈ B }

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Riassunti e mappe

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ESEMPIO

Scriviamo mediante proprietà caratteristica, ma con i simboli, l’insieme A dei numeri interi maggiori di 3: A = { n ∈ ℤ | n > 3 } che si legge i numeri interi tali che (i numeri considerati) sono maggiori di tre.

ESEMPIO

• «Le pagine del libro di matematica» è un insieme
• «Le torte più buone al mondo» non è un insieme.

ESEMPIO Sono l’insieme vuoto:

• «i triangoli con quattro lati»,
• «i numeri dispari divisibili per 2»,
• «i mesi con 40 giorni».

ESEMPIO

ESEMPIO A = {numeri interi maggiori di 3} A = {4, 5, 6, 7, ...} 5 ∈ A, 1 ∉ A. In generale se a è un numero intero: a ∈ A solo se a > 3.