BASIC PRESENTATION

I numeri reali e la radice

I RADICALI

Componenti

Proprietà

Confronto tra radicali

Operazioni

Radicali doppi

Nell'insieme dei numeri razionali (Q), risultano interne le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevazione a potenza con esponente intero. E' necessario però definire anche un ampliamento di Q perché sia possibile anche l'operazione inversa della potenza: l'ESTRAZIONE DI RADICE. In alcuni casi, infatti, la radice di un numero può essere un numero decimale non periodico e illimitato, che non rientra nell'insieme dei numeri razionali. Questi numeri vengono chiamati IRRAZIONALI (I) e uniti ai numeri razionali formani l'insieme dei NUMERI REALI (R).

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La radice n-sima di un numero a si esprime come n√a=b se a=bn in cui: -a è il radicando -n è l'indice e deve essere sempre un numero naturale -√ è il simbolo di radice -b è il risultato Se l'indice è:-PARI: il radicando deve essere maggiore o uguale a zero (sono necessarie le condizioni di di esistenza C.E.).-DISPARI: il radicando può essere anche negativo quindi non sono necessarie le condizioni di esistenza. Il risultato sarà concorde al radicando.

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LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA: dato un radicale con radicando maggiore o uguale a 0 se si moltiplica l'indice e la potenza del radicando per uno stesso numero diverso da 0 otteniamo un radicale equivalente. TEOREMA: dato un radicale con radicando maggiore o uguale a 0 si può ottenere un radicale equivalente dividendo per un divisore comune indice e potenza del radicando. Dividendo indice e potenza del radicando per il MCD si ottene un radicale equivalente che viene detto SEMPLIFICATO. Es. 9√(56) = 9:3√(56:3) = 3√(52)

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Grazie alla proprietà invariantiva è possibile anche confrontare due radicali: dati due radicali con: -INDICI DIVERSI:-si trova l'mcm tra gli indici e si scrivono due radicali con indice=mcm-si confrontano i due radicandi es: a= √2 ; b=3√4 a= 6√23 ; b=6√24 23<24 a<b -INDICI UGUALI:-si confrontano i due radicandies: a=√2 ; b=√3 2<3 a<b

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MOLTIPLICAZIONE / DIVISIONE Il prodotto/quoziente tra due radicali con lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice il cui radicando è il prodotto/quoziente dei radicandi.

es. √2 * √3 = √(2*3)=√6

INDICI DIVERSI

SOMMA / SOTTRAZIONE La somma algebrica di due o più radicali simili è il radicale simile a quelli dati che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti

es. 2√2 + 3√2 = (2+3)√2 = 5√2

RADICALI SIMILI

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POTENZA DI UN RADICALE La potenza m-esima di un radicale, con radicando positivo o nullo, è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza m-esima del radicando.

(√a)m = √(am)

es. (√5)3 = √(53)

RADICE DI UN RADICALE La radice m-esima di un radicale con indice n, con radicando positivo o nullo, è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici (n*m) e per radicando lo stesso radicando

m√(n√a) = n*m√a

es. 3√(√5) = 3*2√5 = 6√5

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Razionalizzare il denominatore

se il denominatore è un unico radicale:si moltiplica numeratore e denominatore per il radicale stesso se il denominatore è una somma (o una differenza) con radicali:si moltiplica numeratore e denominatore per la differenza (o la somma) dei due numeri se il denominatore è una somma (o differenza) di due cubi:si moltiplicano numeratore e denominatore per il falso quadrato relativo alla somma (o alla differenza) di cubi

Razionalizzare il denominatore significa trasformare la frazione in un equivalente che non ha radicali al denominatore. Per razionalizzare il denominatore di una frazione si applica la proprietà invariantiva, moltiplicando numeratore e denominatore per una stessa quantità che varia però a seconda del denominatore:

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Trasporto di un fattore dentro al segno di radice

Ecco qui la formula generica per il trasporto di un fattore dentro il segno di radice, con a>=0.

a*n√b=n√(an*b)

Se a<0:

- con n pari portiamo dentro il valore assoluto del fattore e lasciamo il - davanti alla radice.

a*n√b= - n√(|a|n*b)

- con n dispari possiamo portare dentro qualsiasi fattore negativo e positivo

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Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

Tenendo conto dell'uguaglianza n√(a*b)=n√a * n√b con a>=0 e b>=0, possiamo portar fuori dal segno di radice un fattore. Questa è la formula generale considerando n√am con a>=0, m>=n, q=m/n con resto r: n√am = n√an*q+r = n√(an*q*ar) = n√an*q * n√ar= aq * n√ar Se si vuole portar fuori da una radice con indice pari un fattore (ad esempio un' incognita) di segno variabile, si utilizza, una volta portato fuori, il valore assoluto.

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I radicali doppi sono radicali con al radicando una somma tra un numero ed un altro radicale. es. √(a+√b) CI SONO DUE POSSIBILI FORMULE PER LA SEMPLIFICAZIONE DEI RADICALI DOPPI: -nel caso in cui siano del tipo -nel caso in cui siano del tipo

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