Calcolo combinatorio

Studiamo il

Calcolo Combinatorio

è la branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti.

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Disposizioni semplici

Permutazioni semplici

Introduzione

Permutazioni con ripetizione

Disposizione con ripetizione

Combinazioni semplici

Combinazioni con ripetizione

Binomio di Newton

Tabella riassuntiva

Team

Mappa Concettuale

Thanks

10

11

12

CHE COSA SI STA CONTANDO?

La maggior parte dei problemi di calcolo combinatorio sono riconducibili al seguente: quante «parole» di k caratteri si possono costruire con un alfabeto di n sim-boli distinti? La risposta dipende dalle due caratteristiche seguenti del problema in esame: 1.è importante l’ordine dei caratteri nelle «parole» che si vogliono contare? 2.sono consentite ripetizioni dei caratteri, ovvero, uno stesso simbolo può compa-rire nella «parola» più di una volta oppure no?

Si vuole preparare una colonna sonora per una presentazione multimediale: si è deciso di assemblare tre pezzi di musica classica in successione. Il primo brano sarà scelto fra primavera, estate, autunno o inverno di Vivaldi; il secondo fra le tre ultime sinfonie di Mozart (sinfonie in mi bemolle, in sol minore e in do maggiore) e l’ultimo tra l’ottavao la nona sinfonia di Beethoven. Quante colonne sonore si possono ottenere?

Nella prima scelta abbiamo 4 opzioni;– dopo avere effettuato anche la seconda scelta (3 opzioni) il numero complessivo dipossibilità è diventato uguale a 12 = 4 · 3;– dopo avere effettuato ulteriormente la terza scelta (2 opzioni), vediamo che il nu-mero complessivo di colonne sonore disponibili diventa 24 = 12 · 2

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PRINCIPIO FONDAMENATLE DEL CALCOLO COMBINATORIO

Se un oggetto è univocamente individuato da una sequenza di n scelte successive, tali che vi siano k1 possibilità per la prima scelta, k2 per la seconda, ..., kn per la n-esima, il numero totale di oggetti che si possono formare con tali scelte è il prodotto: k1· k2 · ......· kn

DISPOSIZIONI SEMPLICI

• – per il primo posto possiamo scegliere tra 10 possibilità;–
• per il secondo posto possiamo scegliere tra 9 (10 – 1) possibilità;
• per il terzo posto possiamo scegliere tra 8 (10 – 2) possibilità

.Il numero complessivo di classifiche possibili, per il principio fondamentale del cal-colo combinatorio, è quindi:10 · 9 ·8

PROBLEMA Una gara cui partecipano 10 concorrenti, quante sono le possibili classifiche dei primi 3?

DISPOSIZIONI SEMPLICI

Dati n oggetti distinti, si chiama disposizione semplice (o semplicemente disposizione) degli n oggetti in k posti, con k ≤ n, ogni sequenza ordinata di k oggetti scelti tra quelli assegnati con il vincolo di non ripetere gli oggetti

Il numero complessivo di disposizioni di n oggetti in k posti, indicato con il sim-bolo Dn, k, è dato dalla formula: Dn,k = n(n – 1)(n – 2) · ... · (n – k + 1)

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Modi di dire

Le disposizioni di n oggetti in k posti si chiamano anche disposizioni di n oggetti di classe k

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PERMUTAZIONI SEMPLICI

Si chiama permutazione di n oggetti distinti ogni ordinamento degli n oggetti dati.

Dalla formula delle disposizioni semplici, segue subito che il numero di permutazioni di n oggetti, indicato solitamente con il simbolo Pn, è dato da: Pn = Dn,n = n(n – 1)(n – 2) · ... · 3 · 2 · 1

Il numero complessivo di permutazioni di n oggetti distinti è dato dalla formula: Pn = n! Per esempio: 3! = 3 · 2 · 1 = 6 e 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

In quanti modi possono essere disposte 6 persone in fila indiana?

Al corso di balli sudamericani sono iscritti 4 ragazzi e 4 ragazze. Calcola tutti i pos-sibili accoppiamenti per il prossimo samba.

Ci sono tanti modi di disporre le persone in fila indiana quante le permutazionidi 6 oggetti; quindi il numero complessivo di modi di disporre le persone èuguale a: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

Il primo ballerino può avere come partner una qualsiasi delle 4 ballerine, il se‑condo ballerino una qualsiasi delle rimanenti 3, e così via. Perciò il numero degliaccoppiamenti possibili è dato da: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Quanti sono i possibili anagrammi (anche privi di significato) della parola «cielo»?

Sono tanti quante le permutazioni delle cinque lettere c, i, e, l, o quindi sono:5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Il numero complessivo di permutazioni di n oggetti distinti è dato dalla formula: Pn = n! Per esempio: 3! = 3 · 2 · 1 = 6 e 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

In quanti modi possono essere disposte 6 persone in fila indiana?

Al corso di balli sudamericani sono iscritti 4 ragazzi e 4 ragazze. Calcola tutti i pos-sibili accoppiamenti per il prossimo samba.

Ci sono tanti modi di disporre le persone in fila indiana quante le permutazionidi 6 oggetti; quindi il numero complessivo di modi di disporre le persone èuguale a: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

Il primo ballerino può avere come partner una qualsiasi delle 4 ballerine, il se‑condo ballerino una qualsiasi delle rimanenti 3, e così via. Perciò il numero degliaccoppiamenti possibili è dato da: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Quanti sono i possibili anagrammi (anche privi di significato) della parola «cielo»?

Sono tanti quante le permutazioni delle cinque lettere c, i, e, l, o quindi sono:5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

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OSSERVA

Il simbolo n! è definito per ogni n∈N e non è mai nullo

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DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE

PROBLEMA In quanti modi diversi è possibile riempire una colonna del totocalcio? Ogni colonna è costituita da 13 caselle, ciascuna delle quali deve essere riempita con uno dei tre simboli 1, 2 o X. Dunque:– per la prima casella abbiamo 3 possibilità di scelta (1, 2, X);– per la seconda casella possiamo ancora scegliere tra 3 possibilità;– e così via, fino alla quattordicesima casella. Complessivamente una colonna può essere riempita in:3 · 3 · ... · 3 · 3 = 3^13modi diversi

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Disposizioni con ripetizione

Dati n oggetti distinti, si chiama disposizione con ripetizione degli n oggetti in k posti, ogni sequenza ordinata di k oggetti, scelti tra quelli assegnati ammettendo che sia possibile ripetere gli oggetti.

Esempi:

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PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE

Si chiama permutazione con ripetizione ogni permutazione di n oggetti non tutti distinti tra loro

COMBINAZIONI SEMPLICI

Rispondere alla posta da questo problema equivale a determinare quanti terni è possibile costruire utilizzando i cinque numeri giocati: 1, 2, 3, 4, 5. I terni devono considerarsi non ordinati e in essi non possono esserci numeri ripetuti: per esempio, alcuni possibili terni sono {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 3, 5}, ... Ai raggruppamenti di oggetti non ordinati e senza ripetizioni si dà un nome particolare.

PROBLEMA: Gioco al lotto i cinque numeri: 1, 2, 3, 4, 5. In quanti modi posso fare terno?

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COMBINAZIONI SEMPLICI

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Quanti sono i terni che si possono formare nel gioco del lotto? [117480]

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Una grossa azienda deve inviare 2 dei suoi 8 ispettori a controllare una filiale lontana. In quanti modi possibili il capo dell’ufficio può determinare la delegazione di 2 ispettori? [28]

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Dati n oggetti distinti, si chiama combinazione con ripetizione degli n oggetti di classe k, ogni raggruppamento nonordinato di k oggetti, scelti tra quelli assegnati, ammettendo la possibilità di ripetere gli oggetti

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE

Quanti possibili tipi di confezioni diverse di 10 caramelle ai gusti di menta, fragola o limone si possono confezionare (ammettendo che le caramelle dello stesso gustosiano tutte dello stesso tipo e quindi indistinguibili l’una dall’altra)?

Quanti tipi di confezioni diverse di 10 caramelle ai gusti di menta, fragola o limone si possono confezionare, contenenti almeno tre caramelle di gusto diverso? [36]

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BINOMIO DI NEWTON

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TABELLA RIASSUNTIVA

Disposizioni

Permutazioni

Combinazioni

Semplici o con Ripetizione

https://www.matematika.it/public/allegati/39/15_04_Calcolo_combinatorio_1_0.pdf

MAPPA CONCETTUALE

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TEAM

Mariangela Crivillaro

Francesca D'Amore

Vincenzo Barbaro

Classe 5F

Classe 5ASA

Classe 5ALS

THANKS!

I.I.S. D'Alessandro -