ÁLGEBRA DE BOOL

FUNDAMENTOS DE PROGRAMACION

EMPEZAR

ÁLGEBRA DE BOOL

PORTADA

INTRODCCION

DESARROLLO

ÍNDICE

(ALGEBRA DE

BOOL)

OPERACIONES

BASICAS

PROPIEDADES

EJEMPLOS

CONCLUSION

BIBLIOGRAFIA

PORTADA

Regional San Miguel

Universidad Doctor Andrés Bello

Tema: Álgebra de Bool Fecha de entrega: Martes 18 de abril de 2023 CICLO 01 2023

Asignatura: Fundamentos de programación Facilitador: Lic. Josué Daniel Hernández Estudiante: Keiry Azucena Martínez Martínez

INTRODUCCION

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución de computadoras y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel.

ALGEBRA DE BOOL

Más tarde como un libro más importante: Las leyes del pensamiento, publicado en 1854. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

Se denomina así en honor a George Boole (1815-1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: El análisis matemático de la lógica, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augusto De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional.

+info

El uso del álgebra de Boole en la Automática se debe a que buena parte de los automatismos responden a la lógica binaria. Las variables binarias de entrada son leídas y producen variaciones en las señales binarias de salidas.

El álgebra de Boole está formada por un conjunto de variables Booleanas, x∈ {0,1}. Es decir, variables que sólo pueden tomar dos valores: 0 o 1, abierto o cerrado, encendido o apagado, etc. Un literal l es una variable o su negada. Existen dos tipos: literales con signo positivo cuando representan el valor ‘1’ de la variable (l=x), y con signo negativo cuando representa el valor ‘0’ (l=x¯).

Una cláusula (o término C) está formada por un conjunto de literales enlazados mediante conectivas lógicas. Una fórmula lógica ϕ está formada por conjuntos de cláusulas enlazadas mediante conectivas lógicas. Matemáticamente, toda fórmula lógica ϕ de n variables puede verse también como una función multivariable, esto es ϕ: {0,1} n → {0,1}. En este texto emplearemos indistintamente los términos de función y fórmula.

Una interpretación de una fórmula lógica ϕ es el valor lógico de la fórmula cuando se le asignan valores de verdad (TRUE / FALSE) a sus variables. En consecuencia, existirán tantas interpretaciones como combinaciones de asignaciones posibles. Se dice que una fórmula lógica es satisfacible cuando existe al menos una interpretación que la hace verdadera

OPERACIONES BASICAS

El álgebra de Boole está definida por 3 operaciones básicas: complemento, suma (OR) y producto (AND). El complemento es el negado: y=¯¯¯a¯. Viene dado por la tabla 3.1.

Tabla 3.1: NOT a y 0 1 1 0

La operación suma u OR se representa y=a+b y viene dada por la tabla 3.2..

Tabla 3.2: OR a b y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Tabla 3.3: AND a b y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

La operación producto u AND se representa y=a⋅b y viene dada por la tabla 3.3.

PROPIEDADES

AND

OR

NOT

NOT

• Ley de idempotencia para el producto:

∀a∈B:a⋅a=a

• L ey de absorción para el producto:

∀a∈B: a⋅0=0

• Ley de identidad para el producto: ∀a∈B: a⋅1=a

• Ley de idempotencia para la suma:

∀a∈B:a+a=a

• Ley de absorción para la suma:

∀a∈B:a+1=1

• Ley de identidad para la suma:

∀a∈B:a+0=a

• Ley de involución: ∀a∈B: ¯¯a=a

LEYES DE MORGAN

• ∀a,b∈B: ¯a+b=¯¯¯a⋅¯¯b

• ∀a,b∈B:

¯a⋅b=¯¯¯a+¯¯b

EJEMPLOS:

Distributiva:

Conmutativa:

x + y = y + x x · y = y · x

• x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
• x + (y · z) = (x + y) · (x + z)

Asociativa:

Identidad:

(Aunque esta puede deducirse de las propiedades anteriores y de otras obtenidas como consecuencia de ellas):

• x + (y + z) = y + (x + z)
• x · (y · z) = (x · y) · z

El 0 es el elemento neutro del supremo y el 1 es el elemento neutro del ínfimo:

• x + 0 = x
• x · 1 = x

CONCLUSIONES

El álgebra booleana, o funciones donde los valores son valores binarios o de dos dígitos, es la base de los circuitos que se presentaron en este texto. Las funciones booleanas siempre pueden representarse en una tabla de verdad, y luego traducirse directamente a DNF. Por lo tanto, cualquier función booleana se puede escribir usando solo operaciones AND, OR y NOT. Para instalar estas funciones en hardware para una computadora, se utilizarán circuitos. Por varias razones, entre ellas hacer que el circuito sea más rápido y disminuir la cantidad de electricidad utilizada y la cantidad de calor generado, es de interés para los diseñadores hacer los circuitos lo más pequeños posible, y hacer que los circuitos contengan la menor cantidad de puertas posibles. El método presentado es de mucha utilidad cuando se trabaja con pocas variables, pero deja de serlo cuando este número crece. Se deja como sugerencia para algún otro trabajo, el análisis de técnicas alternativas para un número mayor de variables.

BIBLIOGRAFIÍAS

https://bookdown.org/alberto_brunete/intro_automatica/algebraboole.html

https://www.monografias.com/trabajos11/seman/seman2#co

https://www.victoriglesias.net/estructura-de-algebra-de-boole/

¡MUCHAS GRACIAS!