Funcions 1r BTX

1r batxillerat

FUNCIONS

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ?

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ?

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ?

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ?

12

ANÀLISIS DE FUNCIONS

Algunes característiques de les funcions les podem analitzar a partir de la seva expressió algebraica. Aquesta informació ens serà molt útil a l'hora de dibuixar la corba de la funció

DOMINI DE LA FUNCIÓ: En quina part del pla hi ha una imatge de la funció (quins són els valors de la x) RECORREGUT (IMATGE): En quina part del pla hi han valors de la y SIMETRIES: Si la funció és simètrica respecte d'algun eix PERIODICITAT: Cada quants cops es repeteix la funció PUNTS DE TALL: A on talla la funció als eixos X, Y

FUNCIONS ELEMENTALS

FUNCIONS ELEMENTALS

PROPORCIONALITAT DIRECTA

PROPORCIONALITAT INVERSA

CONSTANT

IDENTITAT

LINEAL

VALOR ABSOLUT

QUADRÀTIQUES

CÚBICA

ARREL CUADRADA

PART ENTERA

ARREL CÚBICA

ENÉSIMES

EXPONENCIAL

EXPONENC. BASE e

LOGARÍTMICA

LOGARIT. BASE e

SINUS

COSINUS

TANGENT

ARCSINUS

ARCCOSINUS

ARCTANGENT

FUNCIÓ CONSTANT

DOMINI

CONSIDERACIONS

• La seva representació gràfica és una recta horitzontal

FUNCIÓ IDENTITAT

DOMINI

CONSIDERACIONS

• És la bisectriu del 1r quadrant
• Talla l'eix X a (0 , 0)
• És creixent i contínua
• Si fem una taula de valors:

FUNCIÓ PROPORCIONALITAT DIRECTA

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Talla l'eix X a (0 , 0). És contínua.
• La funció identitat és un cas particular per a=1
• a>0: creixent
• a<0: decreixent
• Si fem una taula de valors:

a=-2

a=2

FUNCIÓ LINEAL

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Representació gràfica de l'equació d'una recta
• Les funcions constant, identitat i proporcionalitat directa són casos particulars d'aquesta (segons els valors de m i n)
• m és la pendent de la recta
• m>0; creixent
• m<0; decreixent
• n és el punt de tall amb l'eix Y

FUNCIÓ LINEAL

REPRESENTACIÓ DE LA FUNCIÓ

Marquem n a l'eix Y . És el punt (0 , n)

Ens traslladem 1 unitat a la dreta del punt (0 , n)

Ens desplacem m unitats verticals (en positiu o en negatiu).

Unim els dos punts obtinguts

PRACTICA

Exemple: Les següents funcions

Són creixents o decreixents?

PRACTICA

Exemple: Les següents funcions

m<0

m>0

Són creixents o decreixents?

PRACTICA

Exemple: Representa les funcions

PRACTICA

Exemple: Representa les funcions

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

FUNCIÓ VALOR ABSOLUT

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Sempre està per sobre de l'exi X
• x>0; creixent
• x<0; decreixent

FUNCIÓ PROPORCIONALITAT INVERSA

DOMINI

CONSIDERACIONS

• No talla als eixos
• Asímptota horitzontal y=0
• Asímptota vertical x=0
• La seva forma és una hipèrbole
• a>0; decreixent creixent
• a<0; creixent decreixent

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

DOMINI TAULA DE VALORS

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

DOMINI TAULA DE VALORS

MIRAR EN GEOGEBRA

FUNCIONS QUADRÀTIQUES

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Vèrtex
• La seva forma és una paràbola
• No té asímptotes
• a>0;
• a<0;
• PASSOS PER REPRESENTAR-LA:
• Analitzem valor de a
• Punts de tall
• Vèrtex
• Taula de valors (mínim 5 valors)

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

FUNCIÓ QUADRÀTICA. CAS PARTICULAR

Exemple: Representa les següents funcions

FUNCIÓ QUADRÀTICA. CAS PARTICULAR

QUINES DIFERÈNCIES VEUS

Exemple: Representa les següents funcions

FUNCIÓ CÚBICA

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Passa per (0 , 0)
• No té asímptotes
• a>0;
• a<0;

FUNCIÓ ARREL QUADRADA

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Passa per (0 , 0)
• No té asímptotes
• Només podem tenir valors de x positius.
• De les dues sol·lucions només agafem els valors positius

FUNCIÓ EXPONENCIAL

REFLEXIONA

Fes loperació amb la calculadora i dibuixa els valors a un gràfic

FUNCIÓ EXPONENCIAL

DOMINI

CONSIDERACIONS

• La base ha de ser positiva. (-3)x no és una función exponencial
• La base no pot ser 1. 1x és igual a 1: funció constant
• Totes pasen per (0 , 1)
• Totes tenen asímptota a l'eix Y
• Si a > 0 --> creixent
• Si a < 0 --> creixent

FUNCIÓ LOGARTÍMICA

DOMINI

CONSIDERACIONS

• La base ha de ser positiva. No existeixen logarítmes amb bases negatives.
• Si la base és 1, no és una funció.
• Si a>1 --> creixent
• Si 0<a<1 --> decreixent
• Com més gran és la base, creix més lentament
• Asímptota vertical per x=0

FUNCIÓ SINUS

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Els valors del sin x van de [-1,+1]
• Cada cop que talla a l'eix X és un punt d'inflexió
• Funció periòdica (periode 2 π)

FUNCIÓ COSINUS

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Els valors del sin x van de [-1,+1]
• Cada cop que talla a l'eix X és un punt d'inflexió
• Funció periòdica (periode 2 π)

FUNCIÓ TANGENT

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Cada cop que talla a l'eix X és un punt d'inflexió
• Funció periòdica (periode π)
• Recordem tan x= sin x /cos x

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions

FUNCIÓ POTENCIAL

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Observa les diferències si n és parell o sennar

FUNCIÓ RADICAL

DOMINI

CONSIDERACIONS

• Domini depenent de n
• Observa les diferències si n és parell o sennar

PRACTICA

Exemple: Representa les següents funcions per parelles

TRANSFORMACIÓ DE FUNCIONS

TRANSFORMACIÓ DE FUNCIONS

Amb les regles bàsiques de transformació de funcions podem representar qualsevol funció a partir de les estudiades anteriorment.

TRANSFORMACIÓ DE FUNCIONS

Sigui una funció f(x) i k un nombre real positiu > 0

Traslació vertical cap amun, k unitats

f(x) + k

Traslació vertical cap avall, k unitats

f(x) - k

Traslació vertical cap a l'esquerra, k unitats

f(x+k)

Traslació vertical cap a la dreta, k unitats

f(x-k)

Simetria eix X

- f(x)

Simetria eix Y

f(-x)

Simetria positiva eix Y

|f(x)|

TRANSFORMACIÓ DE FUNCIONS

És important distinguir entre:

f(x) + k

f(x+k)

f(x)

TRANSFORMACIÓ DE FUNCIONS

f(x) + k

Traslació vertical cap amun, k unitats

f(x) - k

Traslació vertical cap avall, k unitats

TRANSFORMACIÓ DE FUNCIONS

f(x+k)

Traslació vertical cap a l'esquerra, k unitats

f(x-k)

Traslació vertical cap a la dreta, k unitats

TRANSFORMACIÓ DE FUNCIONS

- f(x)

Simetria eix Y

f(-x)

Simetria eix X

TRANSFORMACIÓ DE FUNCIONS

|f(x)|

Simetria positiva eix Y

PRACTICA

EXERCICI: Sigui la funció f(x) representada, dibuixa f(x) + 3

PRACTICA

EXERCICI: Sigui la funció f(x) representada, dibuixa f(x+3)

PRACTICA

EXERCICI: Sigui la funció f(x) representada, dibuixa - f(x) i f(-x)

PRACTICA

EXERCICI: Sigui la funció f(x) representada, dibuixa - f(x) i f(-x)

PRACTICA

EXERCICI: Sigui la funció f(x) representada, dibuixa | f(x) |

PRACTICA

EXERCICI: Sigui la funció f(x) representada, dibuixa | f(x) |

COMBINACIONS DE TRANSFORMACIONS

Les transformacions anteriors es poden combinar. Cal poder interpretar-les correctament. Per poder fer-ho anirem "de dins a fora".

COMBINACIONS DE TRANSFORMACIONS

Sigui la funció

COMBINACIONS DE TRANSFORMACIONS

Sigui la funció

COMBINACIONS DE TRANSFORMACIONS

Sigui la funció

COMBINACIONS DE TRANSFORMACIONS

Sigui la funció

COMBINACIONS DE TRANSFORMACIONS

Sigui la funció

COMBINACIONS DE TRANSFORMACIONS

Sigui la funció

PRACTICA

EXERCICI: Sigui la funció f(x), indica els passos per representar-la i dibuixe'ls

PRACTICA

EXERCICI: Sigui la funció f(x), indica els passos per representar-la i dibuixe'ls

PRACTICA

EXERCICI: Sigui la funció f(x), indica els passos per representar-la i dibuixe'ls

PRACTICA

EXERCICI: Siguin les següents funcions, indica els passos per representar-les i dibuixe'les

COMPOSICIÓ DE FUNCIONS

COMPOSICIÓ DE FUNCIONS

Una operació entre funcions és la composició de funcions Definim "f composta amb g" com una nova funció que s'obté en substituir la x de la funció f per l'expressió algebraica de g. S'escriu

COMPOSICIÓ DE FUNCIONS

ATENCIÓ: No té la propietat commutativa Siguin f i g dues funcions, troba:

COMPOSICIÓ DE FUNCIONS

ATENCIÓ: No té la propietat commutativa Siguin f i g dues funcions, troba:

COMPOSICIÓ DE FUNCIONS

Exemple: Siguin f i g dues funcions, troba

COMPOSICIÓ DE FUNCIONS

Exemple: Siguin f i g dues funcions, troba

COMPOSICIÓ DE FUNCIONS

Exemple: Siguin f i g dues funcions, troba

FUNCIÓ INVERSA

Donada una funcio f, definim la funció inversa de f a una altra funció g, tal que S'escriu:

FUNCIÓ INVERSA

Exemple: Donades f i g, calcula i simplifica:

FUNCIÓ INVERSA

Exemple: Donades f i g, calcula i simplifica:

FUNCIÓ INVERSA

Exemple: Donades f i g, calcula i simplifica:

OBTENCIÓ DE LA FUNCIÓ INVERSA

Substituim f(x) per y

Aïllem la x

Intercanviem x--> f-1(x), y-->x

OBTENCIÓ DE LA FUNCIÓ INVERSA

Substituim f(x) per y

Aïllem la x

Intercanviem x--> f-1(x), y-->x

OBTENCIÓ DE LA FUNCIÓ INVERSA

Substituim f(x) per y

Aïllem la x

Intercanviem x--> f-1(x), y-->x

FUNCIONS INVERSES CONEGUDES

Algunes funcions inverses ens permeten resoldre equacions, aplicant-les directament

PRACTICA

Exercicis: Comprova que la funció inversa de les següents és la que s'indica

PRACTICA

Exercicis: Comprova que la funció inversa de les següents és la que s'indica

DOMINI D'UNA FUNCIÓ

DOMINI DE FUNCIONS

És el conjunt de punts d'una funció que ens tornen una imatge. Hem de trobar quins valors de la x ens tornen valors de la y.

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Algunes de les funcions que cal dominar per obtenir el seu domini són:

Obtenim les solucions del denominador Obtenim la inequació del radicant (ha de ser positiu) Obtenim la inequació de l'argument (ha de ser major de 0) Les hem de conèixer a partir de les elementals

Quocients Arrels d'índex parell Logaritmes Inverses trigonomètriques

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

Qualsevol nombre es pot elevar al quadrat, i al resultat restar-li 1

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

Puc dividir 3 per qualsevol nombre i obtenir un resultat? Ho podem fer sempre que el denominador no sigui 0

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

Podem obtenir un resultat, sempre que el denominador no sigui 0. Els resultats que fan nul el denominador s'obtenen buscant les solucions de l'equació de segon grau del denominador

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

No es pot dividir per 0. En aquesta funció tenim dos denominadors. Qualsevol de les opcions que anul·len els denominadors no ens permeten obtenir una imatge de la funcióx - 1 = 0x2 - 9 = 0

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

Les arrels quadrades de nombres negatius no existeixen al conjunt dels números reals. Hem de resoldre la inequació x 0

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

Les arrels imparelles existeixen, sigui quin sigui el valor de x

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

No existeixen arrels sisenes de nombres negatius. Hem de resoldre la inequació: x2 - 2x 0. Té dues sol·lucions: x = 0; x = 2. Comprovem el comportament de la funció en cada interval

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

L'arrel cinquena (imparell) sempre existeix

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

Cal resoldre la inequació i estudiar els valors de la funció en tots els intervals

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

Cal resoldre la inequació x > 0 i estudiar els valors de la funció en tots els intervals

DOMINI DE FUNCIONS PRINCIPALS

Exercici: Calcula el domini de la funció f(x)

Cal resoldre la inequació i estudiar els valors de la funció en tots els intervals

Gràcies!