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1.10 Cálculo de integrales definidas

María Gricelda Paman

Created on April 1, 2023

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Transcript

Cálculo Integral ACF-0902

Bienvenidos al

Subtema 1.10 Cálculo de integrales definidas básicas

inicio

Del subtema anterior (1.9) recordemos el teorema fundamental del cálculo
Teorema 1.9 El teorema fundamental del cálculo.
Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es una antiderivada de f en el intervalo [a,b], entonces
Estrategia para utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo
1. Suponiendo que conozca una antiderivada o primitiva f, dispone de una forma de calcular una integral definida sin tener que utilizar el límite de la suma.
2. Cuando se aplica el teorema fundamental del cálculo, la siguiente notación resulta conveniente.
Por ejemplo, para calcular se puede escribir
3. No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada o primitiva, ya que
Ejemplo 1 Evalúe cada integral definida
a)
Encontraremos la antiderivada(integramos) cada uno de los términos, para posteriormente utilizar el teorema fundamental del cálculo
b)
Reescribiendo, utilizando la ley de los radicales
c)
La antiderivada de por lo tanto
Utilizando identidades tenemos
d)
Reescribiendo
Efectuar la multiplicación, término a término
Encuentre la antiderivada(integrando)
e)
Reescribiendo
Efectuando la multiplicación de cada uno de los términos
Simplificando
Encuentre la antiderivada(integrando)
Simplificando
Recordando que como en el denominador tenemos una fracción esta se invierte:
Primero sacamos la raíz cúbica de -1 y -8, luego elevamos a la quinta y a la octava
La antiderivada de
f)
Por lo tanto
evaluando
g)
Utilizando identidades, tenemos
Ejemplo 2 Integral definida de un valor absoluto
Calcule : a)
Solución: Vamos a realizar la gráfica de este valor absoluto, figura 1.10
Por la definición del valor absoluto tenemos
Por lo tanto, la integral será
Encuentre la antiderivada(integrando)
Evaluando
b)
Solución: Vamos a realizar la gráfica de la función
Ver Figura 1.10.1
El valor absoluto lo que le hace a la función es que siempre el valor de ¨y¨ siempre es positivo, esto es Figura 1.10.2 De acuerdo con la Figura 1.10.2 la función se divide en dos partes
Encuentre la antiderivada(integrando)
Simplificando
Evaluando
Ejemplo 3 usar el teorema fundamental para encontrar un área.
Encuentre el área de la región delimitada por la gráfica de
El eje x y las rectas verticales x=0,y x=3, como se encuentra en la Figura 1.10.3
Solución: Realizáremos la gráfica de la función
Observe que en el intervalo cerrado
Encuentre la antiderivada (integrando)
evaluando
Simplificando
b)
Solución: Realizando la gráfica 1.10.4, tenemos que los límites de integración serán desde
Reescribiendo
Encuentre la antiderivada(integral)
Simplificando
Efectuando las operaciones indicadas
Evaluando
Simplificando

Bibliografía

Larson Ron, Edwards Bruce (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral décima edición. Ciudad de México: CENGAGE.

No olvides que puedes recurrir al correo del Docente o al chat para aclarar cualquier duda.

Espero que hayas disfrutado el subtema 1.10

¡Te deseo éxito en tu evaluación!

Por tu atención, ¡muchas gracias!