1.7 Función primitiva

Cálculo Integral ACF-0902

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Subtema 1.7 Función primitiva

Función Primitiva

Antiderivadas o primitivas

Para encontrar una función F cuya derivada es podría usar lo que saber de derivadas, para concluir que

ya que

La función F es una antiderivada de f.

Definición de una antiderivada (primitiva)

Se dice que una función F es una antiderivada de f, en un intervalo I, si para toda

Note que F se llama una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de f. Para entender por qué, observe que

Son todas antiderivadas de De hecho, para cualquier constante C, la función dad por es una antiderivada de f.

Teorema 1.7 Representación de antiderivadas

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y sólo si G es de la forma

Si utilizamos el teorema 1.7, puede representarse la familia completa de antiderivadas de una función agregando una constante a una antiderivada conocida. Por ejemplo, sabiendo que

Puede representar la familia de todas las antiderivadas de

Donde C es constante. La constante C recibe el nombre de constante de integración. La familia de funciones representadas por G es la antiderivada general de f, y es la solución general de la ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial en es una ecuación que incluye a a las derivadas de y. Por ejemplo.

Son ejemplos de ecuaciones diferenciales

Ejemplo 1. Solución de una ecuación diferencial

Determine la solución general de la ecuación diferencial

Solución: Para empezar, determinar una función cuya derivada sea 4. Una función con esta característica es

Ahora bien, utilizando el teorema 1.7 para concluir que la solución general de la ecuación diferencial es

En la figura 1.7.1 se muestran las gráficas de varias funciones de la forma

Cuando resuelva una ecuación diferencial de la forma

Es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente

La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral . La solución se denota mediante

La expresión se lee como la antiderivada de f respecto a x . La diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración. El término integral indefinida es sinónimo de antiderivada.

Reglas básicas de integración indefinida

La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede comprobarse sustituyendo en la definición de integración indefinida para obtener

La integración es la ¨inversa¨ de la derivación

Además, si entonces

Estas dos ecuaciones le permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen.

Reglas básicas de integración

Ejemplo 2 Describir antiderivadas

Ejemplo 3 Reescribir antes de integrar

a)

b)

Reescribir, utilizando la ley de los exponentes

En el denominador tenemos una fracción, esto lo simplificamos de la siguiente manera:

c)

Ejemplo 4 Integrar funciones polinomiales

a)

b)

c)

Ejemplo 5 Reescribir antes de integrar

a)

Utilizando la ley de los radicales y los exponentes, tenemos

Como en el denominador tenemos una fracción esto se invierte, esto es

Ejemplo 6 Reescribir antes de integrar

Ejemplo 7 Reescribir antes de integrar

a)

b)

Desarrollando el binomio al cuadrado

C)

Reescribiendo y utilizando la ley de los exponentes

d)

e)

Condiciones iniciales y soluciones particulares

Hemos visto que la ecuación

Tiene muchas soluciones (cada una difiere de las otras en una constante). Esto significa que las gráficas de cualesquiera dos antiderivadas de f son traslaciones verticales una de la otra. Por ejemplo, la figura 1.7.2 muestra las gráficas de varias de las antiderivadas de la forma

Para diversos valores enteros de C. Cada una de estas antiderivadas es una solución de la ecuación diferencial

En muchas aplicaciones de la integración, se le da suficiente información para determinar una solución particular. Para hacer esto, solo necesita conocer el valor de para un valor de

Esta información recibe el nombre de condición inicial. Por ejemplo, en la figura 1.7.2, solo una de las curvas pasa por el punto Para encontrar esta curva, utilice la solución general

Y la condición inicial

Utilizando la condición inicial en la solución general, puede determinar que

Lo que implica que C=2. Por tanto, obtiene

Subtitle

Ejemplo 8 Determinar una solución particular

Encuentre la solución general de

Y determine la solución particular que satisface la condición inicial

Solución: Para encontrar la solución general, integre para obtener

Utilizando la condición inicial resuelve para C de la manera siguiente:

Por lo tanto, la solución particular, como se muestra en la Figura 1.7.3, es

Ejemplo 9 Solucionar un problema de movimiento vertical

Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 32 pies por segundo a partir de una altura de 240 pies.

a) Encuentre la función que expresa la altura s en una función del tiempo t.

b) ¿Cuándo llegara la pelota al suelo?

Solución:

a) Considere que representa el tiempo inicial. Las dos condiciones iniciales indicadas pueden escribirse de la siguiente manera.

Utilizando como la aceleración de la gravedad, puede escribir

Empleando la velocidad inicial obtiene

Lo cual implica que Después, integrando

Obtiene

Al utilizar la altura inicial, encuentra que

Lo que implica que De ese modo, la función posición es

b) Utilizando la función posición que encontró en el inciso a), es posible determinar el tiempo en que la pelota golpea el suelo al resolver la ecuación

Como t debe de ser positivo, puede concluirse que la pelota golpea al suelo en 5 segundos después de haber sido lanzada

Observemos que la posición tiene la forma

Bibliografía

Larson Ron, Edwards Bruce (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral décima edición. Ciudad de México: CENGAGE.

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