1.4 Definición de integral

Cálculo Integral ACF-0902

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Subtema 1.4 Definición de integral definida

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La integral definida

Para definir la integral definida, considere el siguiente límite

Afirmar que este límite existe, significa que hay un número real tal que para todo tal que toda partición de se deduce que

a pesar de cualquier elección de en el i-ésimo subintervalo de cada partición de

Definición de una integral definida

Si se define en el intervalo cerrado y el límite de las sumas de Riemann sobre las particiones

existe, entonces es integrable en y el límite se denota por

El límite recibe el nombre de integral definida de El número es el límite inferior de integración, y el número es el límite superior de integración.

Es importante observar que las integrales definidas y las integrales indefinidas son identidades diferentes. Una integral definida es un número en tanto que una integral indefinida es una familia de funciones.

A pesar de que las sumas de Riemann estaban definidas por funciones con muy pocas restricciones, una condición suficiente para que una función sea integrable en en que sea continua en este intervalo.

Teorema 1.4 Continuidad implica integrabilidad

Si una función es continua en el intervalo cerrado , entonces es integrable en . Es decir

Ejemplo 1 Evaluar una integral definida como límite

Encuentre la integral definida

Solución: La función es integrable en el intervalo porque es continua en este intervalo. Además, la definición de integrabilidad implica que cualquier partición cuya norma tienda a 0 puede utilizarse para determinar el límite. Por conveniencia de cálculo, defina subdivisiones en subintervalos del mismo ancho.

Eligiendo como el punto terminal derecho de cada subintervalo, obtiene

De este modo, la integral definida está dada por

Aplicando la definición de una integral definida

Substituyendo en el valor de en x´s.

Como el valor de n, no depende de la sumatoria, sale de esta como factor

Utilizando las propiedades de sumatorias, tenemos:

Sustituyendo el valor de cada una de las sumatorias.

Simplificando

Sumando términos semejantes

Efectuando la multiplicación indicada

Aplicando el valor del límite

Solución

Debido a que la integral definida en el ejemplo 1 es positiva, esta No representa el área de la región que se muestra en la figura 1.4.1. Las integrales definidas pueden ser positivas o negativas o cero. Para que una integral definida sea interpretada como un área como se definió en la sección 1.2, la función f debe ser continua y no negativa en

Figura 1.4.2 Se puede usar una integral definida para determinar el área de la región acotada por la gráfica de f, el

Teorema 1.4 La integral definida como área de una región

Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado entonces el área de la región acotada por la gráfica de y las rectas verticales está dada por

(Véase la figura 1.4.2)

Como un ejemplo del Teorema 1.4, considere la región delimitada por la gráfica de como se muestra en la figura 1.4.3. Debido a que f es continua y no negativa en el intervalo cerrado el área de la región es:

Figura 1.4.3

Una técnica directa para encontrar una integral definida como esta se analizará en el subtema 1.10.

Ejemplo 2. Áreas de figuras geométricas comunes

Dibuje la región correspondiente a cada integral definida. A continuación, evalúe cada integral utilizando una fórmula geométrica.

Solución: En la figura 1.4.4 se muestra un dibujo de cada región:

Figura 1.4.4

a) Está región es un rectángulo de 5 de alto por 3 de ancho.

b) Esta región es un trapezoide con una altura de 4 y bases paralelas de longitudes 4 y 8. La fórmula para el área de un trapezoide es

c) Esta región es un semicírculo de radio 3. La fórmula para el área de un semicírculo es

La variable de integración en una integral definida algunas veces se denomina variable muda porque puede ser sustituida por cualquier otra variable sin cambiar el valor de la integral. Por ejemplo, las integrales definidas

Bibliografía

Larson Ron, Edwards Bruce (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral décima edición. Ciudad de México: CENGAGE.

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