1.3 Sumas de Riemann

Cálculo Integral ACF-0902

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Subtema 1.3 Sumas de riemann

Sumas de Riemann

En la definición de área en el subtema 1.2, las particiones tenían subintervalos de igual ancho. El siguiente ejemplo muestra que no es necesario tener subintervalos de igual ancho.

Ejemplo 1 Una partición con subintervalos de anchos desiguales.

Considere la región acotada por la gráfica de

para como se muestra en la figura 1.1. Encuentre el límite

Donde es el punto terminal derecho de la partición dada por y es el ancho del i-ésimo intervalo.

Figura 1.3.2 Los subintervalos no tienen anchos iguales

Figura 1.3.1 Gráfica

Solución: El ancho del i-ésimo intervalo está dado por

elevando al cuadrado

Simplificando y sumando términos semejantes

Por lo tanto, calculando el límite

Sustituyendo el valor de y

Simplificando

Como el valor de n es constante sale fuera de la sumatoria

Utilizando las propiedades de las sumatorias, tenemos:

Utilizando el teorema 1 del subtema 1.2

Efectuando las operaciones indicadas

Agrupando términos semejantes

Efectuando la multiplicación indicada

Simplificando

Solución

Figura 1.3.3 El área de la región acotada por la gráfica de

De acuerdo con el ejemplo 13 del subtema 1.2 sabe que la región mostrada en la figura 1.3.2 tiene un área de . Debido a que el cuadrado acotado por

tiene un área de 1, puede concluir que la región que se

muestra en la figura 1.3.1 es 2/3 . Esto concuerda con el límite que encontró en el ejemplo anterior (ejemplo 1), aun cuando en ese ejemplo utilizó una partición con subintervalos de anchos desiguales. La razón por la que esta partición particular da el área apropiada es que cuando

En la definición de una suma de Riemann, observe que la función f no tiene otra restricción que haber sido definida en el intervalo [a,b]. (En el subtema anterior 1.2, la función f se supuso continua y no negativa, debido a que se trabajó con un área bajo una curva.)

Definición de suma de Riemann

Sea definida en el intervalo cerrado y sea una partición de dada por

Donde es el ancho del i-ésimo subintervalo

Si es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo entonces la suma

Se denomina suma de Riemann de f para la partición

El ancho del subintervalo más grande de la partición es la norma de la partición y se denota por medio de Si todos los intervalos tienen el mismo ancho, la partición

Partición ordinaria

En una partición general, la norma se relaciona con el número de subintervalos en de la siguiente manera

Partición general

Por lo tanto, el número de subintervalos en una partición tiende a infinito cuando la norma de la partición tiende a cero. Esto es, implica que

Ejemplo 2. Una suma de Riemann

Calcule la suma de Riemann para con cinco subintervalos determinados por

Encuentre la norma de la partición.

Solución: En la figura 1.3.4 se muestra que los números determinan cinco subintervalos

Luego, evalúe la función f de cada punto muestra y determine el ancho de cada subintervalo:

Entonces, la suma de Riemann para esta partición y esa elección del punto muestra es:

Bibliografía

Larson Ron, Edwards Bruce (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral décima edición. Ciudad de México: CENGAGE.

Zill Dennis G., Wright Warren S., (2015). Matemáticas 2, Cálculo Integral segunda edición. Ciudad de México: Mc. Graw Hill Education

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