Funciones Básicas. Dominio y Rango de una Función (1era P.​) - M. S13

Funciones Básicas. Dominio y Rango de una Función (1era parte)

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Operaciones con fracciones​

• INDICE:

Introducción a la noción de función

Definición de función matemática

Notación de una función

Sistemas de representación de una función

Criterio geométrico para determinar si una gráfica representa una función

Dominio y rango de una función

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Introducción a la noción de función

La tabla muestra el crecimiento anual de un árbol de durazno que tiene 61 cm de alto y crece a razón de 35 cm cada año.

La expresión algebraica 𝑦 = 61 + 35𝑥 describe esta misma relación. Por otro lado, el crecimiento de un ciruelo de 33 cm de alto que crece a razón de 42 cm por año se expresa mediante la relación que 𝑦 =33 + 42𝑥.

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Introducción a la noción de función

Estas relaciones ilustran el importante concepto matemático de función: una variable (la altura en este caso) depende de otra (el tiempo) y toma valores únicos (la planta no tiene dos alturas en un mismo momento). Las anteriores expresiones son útiles para determinar, por ejemplo, cuándo ambos árboles tendrán la misma altura y cuál será ésta.

¿Cuándo tendrán la misma altura?

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Definición de función matemática​

Se dice que 𝒚 es una función de 𝒙 cuando a cada valor de 𝒙 en un 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 dado, le corresponde un único valor de 𝒚.

Observación

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Definición de función matemática​

Indica cuál de los siguientes diagramas representan una función ​

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

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Definición de función matemática​

Indica cuál de los siguientes diagramas representan una función ​

Respuesta

Respuesta

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Notación de una función​

Es necesario adoptar un sistema básico de representación de una función pues hasta hora se ha hablado de variables independientes y dependientes; esto permite suponer que existen conjuntos que contienen los posibles valores de ambos tipos de variables. Así , se hablará del conjunto de partida o dominio de la función; igualmente, del conjunto de llegada o codominio de la función. La regla o forma de hacer corresponder a cada valor de la variable independiente un valor de la variable dependiente representa la función.

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Notación de una función​

Si se designa con las letras A y B los conjuntos de partida y de llegada, respectivamente (el dominio y el codominio de la función), por 𝑥 e 𝑦 sendos elementos de esos conjuntos, y por 𝑓 la función, se podrá representar todo lo anterior de la siguiente manera:

𝑓:𝐴→𝐵 de tal forma que, a nivel de los elementos, tenemos: 𝑥→𝑦 ; 𝑥→𝑓(𝑥) o también 𝑦=𝑓(𝑥), expresión que se lee: 𝑦 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑥 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓.

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Sistemas de representación de una función​

Existen muchas formas de representar una función: de forma verbal, en diagrama sagital, tabular, pares ordenados, ecuación y forma gráfica.​

Tabular

Ecuación 𝒚=𝟐𝒙, con 𝑥∈{1;2;3;4}

Verbal​ A cada número entero del 1 al 4 le corresponde su doble.​

Gráfica

Diagrama

Pares ordenados​ {(1;2),(2;4), (3;6), (4;8)}

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Criterio geométrico para determinar si una gráfica representa una función​

Supóngase que nos dan una curva en el plano 𝑥𝑦. ¿Cómo podemos decidir si es o no la gráfica de alguna función 𝑦=𝑓(𝑥)?

Prueba de la línea vertical: Cualquier curva dada (o conjunto de puntos) en el plano 𝑥𝑦 es la gráfica de una función (en la cual y es la variable dependiente) con tal de que cualquier línea vertical corte a la gráfica en a lo más un punto.

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Criterio geométrico para determinar si una gráfica representa una función​

Cualquier línea vertical corresponde a algún valor particular, digamos 𝑥=𝑥_0, de la variable independiente, y el punto en que esta línea vertical corta la gráfica determina el valor de 𝑦 que le corresponde a 𝑥_0. Es decir, la gráfica misma da la regla que relaciona cada valor de 𝑥 con algún valor de 𝑦. Si la línea vertical 𝑥=𝑥_0 no corta a la gráfica en ningún punto, esto significa que 𝑥_0 no pertenece al dominio.

Podemos ver que la recta vertical de color rojo, corta a la gráfica en más de un punto. Por lo tanto, esta gráfica no corresponde a una función.

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Dominio y rango de una función​

Consideremos la función {(1;2),(2;4), (3;6), (4;8)}, se puede decir que:

Dominio de una función (𝐷𝑓 , 𝐷𝑜𝑚 𝑓, 𝐷𝑜𝑚(𝑓)): Es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función.​

𝐷𝑓: {1;2;3;4}

Rango de una función (𝑅𝑓 , 𝑅𝑎𝑛 𝑓, 𝑅𝑎𝑛(𝑓)): Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función.

𝑅𝑓: {2;4;6;8}

Importante: En una función representada por medio de una ecuación el dominio son los valores que toma la variable independiente y el rango los de la variable dependiente .

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Dominio y rango de una función​

Aprendamos un poco más​

Para saber más sobre dominio y rango de una función consulta los siguientes recursos:​

Rango de una función:​

Dominio de una función:​

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Dominio y rango de una función​

Ejemplos de dominio y rango de una función​

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