2º bach - vectores

gEOMETRÍA ANALÍTICA - vectores

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Índice

Geometría analítica

01

Vectores

02

Producto escalar

03

Producto vectorial

04

Producto mixto

Siguiente

Introducción

La geometría analítica

La geometria analitica estudia las líneas y figuras geométricas mediante la aplicación de técnicas básicas de álgebra y análisis matemático en un determinado sistema de coordenadas. En consecuencia, la geometría analítica es una rama de las matemáticas que analiza en detalle todos los datos de las figuras geométricas, es decir, el volumen, los ángulos, el área, los puntos de intersección, sus distancias, entre otros. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

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Geometría analítica

Vectores

01

1. Vectores

Vectores

1. Vector fijo y vector libre.
2. Operaciones con vectores.
3. Combinación lineal de vectores. Base.

1. Vectores

Los vectores fijos en el plano

Un vector fijo es un segmento orientado que tiene el origen en un punto A y el final en un punto B. Los vectores se representan con letras minúsculas con una flechita encima o mediante dos letras mayúsculas que representan los puntos origen y extremo.

1. Vectores

Elementos de un vector

Un segmento orientado está determinado por su dirección, un sentido y una longitud

• Módulo: es la longitud del vector, es decir, la distancia del origen al extremo. Se expresa entre barras verticales

• Dirección: la recta que contiene al vector (o cualquier otra paralela)

• Sentido: es la orientación del vector (la flecha que dibujamos en su extremo indica su orientación)

Vectores

Componentes de un vector

Las componentes de un vector son las proyecciones de dicho vector sobre los ejes coordenados

Los vectores se definen mediante tres componentes: la componente x, la componente y y la componente z, también llamadas coordenadas del vector. ¿Cómo calcular las componentes de un vector? Para calcular las componentes de un vector, necesitamos conocer previamente las coordenadas de su origen, A y las de su extremo,B, ya que se calcularan a partir de éstas restando las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen:

Ejemplo

Vectores

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la distancia desde el origen hasta el extremo, por lo que corresponde a la longitud del vector.

Se representa encerrado a la letra del vector (o las letras) entre dos barras: ¿Cómo calcular el módulo de un vector? Si El módulo de un vector, al ser una longitud, es siempre positivo.

Ejemplo

1. Vectores

Vectores equipolentes

Dos vectores fijos no nulos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Gráficamente, dos vectores AB y CD no nulos y no alineados y son equipolentes si cuando unimos los orí­genes A y C con los finales B y D se obtiene un paralelogramo.

Dos vectores equipolentes tendrán, por tanto, las mismas componentes

Vectores

Vector libre

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Dos vectores equipolentes pertenecerán, pues, al mismo vector libre. Dado que todos los vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas, estas serán también las coordenadas del vector libre al cual representan

Ejemplo

1. Vectores

Más tipos de vectores

Vectores opuestos

Vectores ligados

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta.

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido

Vector de posición

Vectores concurrentes

El vector OP que une el origen de coordenadas O = (0, 0, 0) con un punto P = (P1, P2, P3) se llama vector de posición del punto P .

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

1. Vectores

Más tipos de vectores (II)

Vector nulo

Vectores unitarios

Es el vector de coordenadas (0,0). O bien, se define como el vector de longitud o módulo cero. La definición de vector nulo es una convención matemática útil para resolver ecuaciones vectoriales. Juega el papel de elemento neutro para la suma de vectores.

Los vectores unitarios tienen de módulo, la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo

Ejemplo

1. Vectores

Operaciones con vectores

Resta de vectores

Suma de vectores

Multiplicación por un escalar

En términos de componentes, si u = (u1, u2, u3), entonces la multiplicación por el escalar k está dada por ku= (k·u1, k· u2, k·u3)

El vector suma de u y v es el vector que resulta de sumar las componentes respectivas de estos vectores: la primera componente de u se suma con la primera componente de v, y la segunda componente de u se suma con la segunda componente de v.

La resta de dos vectores u y v simplemente es la suma de u con -v (es decir, el opuesto de v).

Propiedades

Suma de vectores

Suma analítica de vectores En la suma analítica de vectores se suman sus respectivas componentes.

OBSERVACIÓN

Suma gráfica de vectores Para sumar dos vectores libres u y v se toman como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

propiedades

Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores concurrentes. Se trazan rectas paralelas a los vectores. Se obtiene un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Resta de vectores

Resta analítica de vectores En la resta analítica de vectores se restan sus respectivas componentes.

Resta gráfica de vectores Para restar dos vectores libres u y v se toman como representantes dos vectores tales que el extremo de u coincida con el origen del opuesto de v.

Producto de un escalar por un vector

Si multiplicamos un número k por un vector → a obtenemos un vector que tiene la misma dirección del vector → a , el mismo sentido, o sentido contrario, según sea positivo o negativo el número k, y su módulo será el valor absoluto de k por el módulo de a

propiedades

1. Vectores

Sistema de referencia

Un sistema de referencia en el espacio de dimensión tres es un par formado por un punto fijo O y una base B {u,v,w} . Se escribe R {O, {u,v,w} } Un sistema de referencia nos permite asociar a cada punto del espacio P un vector OP , llamado vector de posición del punto. Las coordenadas del punto P serán las coordenadas del vector OP respecto de la base B {u,v,w} . El sistema de referencia canónico en el espacio de dimensión tres es aquel cuyo punto fijo es el origen de coordenadas O(0, 0, 0) y cuya base B {i, j, k} está formada por vectores de módulo 1 y perpendiculares entre sí.

1. Vectores

Combinación lineal de vectores

Cualquier vector en el plano se puede poner como combinación lineal de otros dos vectores que tengan distinta dirección. Asimismo, esta combinación lineal es única.

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:

ejemplo

+ info

1. Vectores

Ejemplo de combinación lineal

resolver

1. Vectores

Dependencia e independencia lineal

Propiedades

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. 2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3 Dos vectores libres del plano son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales. 4. Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales. 5. Más de 3 vectores en R3 SIEMPRE serán linealmente dependientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes, de manera que si la combinación lineal es igual a cero, entonces cada uno de sus coeficientes es igual a cero

1. Vectores

Ejemplo de combinación lineal

1. Vectores

Rango

Rango de un conjunto de vectores es el número de ellos que son linealmente independientes. Para la determinación del rango puede recurrirse al álgebra de matrices, combinando las transformaciones de Gauss con el cálculo de determinantes. Criterio para determinar la dependencia o independencia lineal de tres vectores del espacio. Aparte del método de planteamiento y resolución de un sistema lineal, para comprobar si tres vectores del espacio son linealmente independientes, basta con resolver el determinante formado por los tres vectores. Si ese determinante vale cero, los vectores son linealmente dependientes; en caso contrario, serán linealmente independientes. Observación: Dado que el sistema asociado es homogéneo, para que sea compatible determinado, el rango de la matriz de coeficientes debe ser 3, lo que implica que su determinante debe ser distinto de cero. Esto significa que su solución es única: la trivial. En definitiva, que los vectores son linealmente independientes.

ejemplo

1. Vectores

Base

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes con los que se puede generar cualquier vector del espacio.En V3 tres vectores cualesquiera no coplanarios forman una base».

Definiciones

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí. Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1. La base formada por los vectores i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0, 0, 1) se denomina base canónica. Es una base ortonormal

1. Vectores

Coordenadas

1. Vectores

Aplicaciones de los vectores

1. Vectores

Punto medio de un vector o segmento

Además, se dice que el punto A' es simétrico de A respecto a M si M es el punto medio del segmento AA'

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1. Vectores

Puntos alineados

Se dice que tres puntos A= (a1 ,a2 ,a3 ) , B =(b1 ,b2 ,b3 ) y C =(c1 ,c2 ,c3 ) en el espacio están alineados si los vectores AB y AC son proporcionales, es decir:

+ Ejemplo 1

+ Ejemplo 2

2. Producto escalar

Producto escalar

02

2. Producto escalar

Definición

Sean los vectores del plano u y v, se define su producto escalar como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. El producto escalar siempre es un número real

El ángulo que forman dos vectores libres es el menor de los ángulos que forman dos de sus representantes con un origen común.

+ Ejemplo

2. Producto escalar

Propiedades del producto escalar

• Si uno de los dos vectores u, v es 0, su producto escalar es 0. El recíproco no es cierto: el producto puede ser 0 sin que ninguno de los vectores sea 0
• El producto escalar de dos vectores u y v no nulos es positivo si y solo si los vectores forman un ángulo agudo (forman un ángulo entre 0º y 90º).
• El producto escalar de dos vectores u y v no nulos es negativo si y solo si los vectores forman un ángulo obtuso (forman un ángulo entre 90o y 180o).

• El producto escalar es conmutativo, es decir,
• El producto escalar es distributivo respecto de la suma de vectores
• Si dos vectores son ortogonales (perpendiculares), entonces su producto escalar es 0
• El producto de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo

2. Producto escalar

Interpretación geométrica

El producto escalar de dos vectores no nulos u y v es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él

Observamos en la figura un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es A y uno de los catetos es la proyección de A sobre B . Aplicando la definición de coseno de un ángulo agudo tendremos que esa proyección es la hipotenusa por el coseno del ángulo que forman los dos vectores

2. Producto escalar

2. Producto escalar

Aplicaciones

2. Producto escalar

Ortogonalidad de dos vectores

Sabemos que dos vectores son ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es a=90º o a=270º. En cualquiera de estos casos, tenemos que cos(a)= 0. Por lo tanto, si dos vectores son ortogonales, se tiene que Es decir, dos vectores u y v no nulos serán ortogonales siempre que se cumpla que su producto escalar valga cero

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Geometría analítica

03 Producto vectorial

3. Producto vectorial

Definición

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producto vectorial

Expresión analítica

3. Producto escalar

Interpretación geométrica

«El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que determinan».

3. Producto vectorial

Aplicaciones del producto vectorial

Vector perpendicular a otros dos vectores

Si queremos hallar un vector perpendicular a otros dos basta con calcular el producto vectorial de ambos.

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3. Producto vectorial

Área del triángulo

«El área de un triángulo es igual al semimódulo del producto vectorial de dos vectores cualesquiera que lo definan»

3.Producto escalar

Geometría analítica

04 Producto mixto

4. Producto mixto

Definición

4. Producto mixto

Cálculo mediante un determinante

Primero se hace el producto vectorial, después el escalar; en consecuencia, el resultado del producto mixto es un número real. En la práctica, para su cálculo, lo más cómodo no es utilizar la definición anterior, sino el siguiente determinante:

4. Producto mixto

Propiedades del producto mixto

El producto mixto valdrá cero en alguno de los siguientes casos: 1) Cuando al menos uno de los vectores sea el vector 0 (caso trivial), ya que, en tal caso, habría al menos una fila de 0 en el determinante. 2) Si al menos dos vectores son iguales o proporcionales , es decir, tienen la misma dirección, pues entonces tendríamos dos filas del determinante iguales o proporcionales. 3) Si los tres vectores son combinación lineal, es decir, linealmente dependientes ya que, en ese caso, sabemos que el determinante lógicamente valdría cero

4. Producto mixto

Condición de coplanariedad

«La condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios es que su producto mixto sea cero»

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ejemplo

4. Producto mixto

Aplicaciones

ejemplo

¡Lección finalizada!

Por Isabel Mª Varela

Este procedimiento se puede usar para sumar varios vectores. En este caso, se toman vectores equivalentes tales que el extremo de cada uno coincida con el origen del siguiente. El vector suma tiene como origen, el origen del primer vector, y como extremo, el extremo del último vector.