Geometria a l'espai 2n BTX

2n batxillerat

GEOMETRIA A L'ESPAI

ìndex

1. Repàs espais vectorials al pla

2. Equacions de la recta al pla

3. Posicions relatives de dues rectes al pla

4. Els vectors a l'espai

5. Rectes i plànols a l'espai

6. Posicions relatives de dues rectes a l'espai

7. Equacions del pla

8. Posicions relatives de recta i pla

9. Posicions relatives de dos plànols

10. Aplicacions problemes mètrics

REPÀS ESPAIS VECTORIALS

VECTORS

Un vector queda definit per:

• Mòdul
• Direcció
• Sentit

VECTORS

Dos vectors amb el mateix mòdul, direcció i sentit, són el mateix vector (equipolents). Aquests vectors són equipolents.

NOTACIÓ VECTORS

u, v, w

L'ESPAI

NOTACIÓ VECTORS

Una cosa són les coordenades d'un vector, i una altra les dels punts. Les coordenades d'un vector no depenen del seu origen o extrem

NOTACIÓ VECTORS

El sentit importa

OPERACIONS AMB VECTORS

1. SUMA I RESTA
2. PRODUCTE ESCALAR
3. PRODUCTE ESCALAR DE DOS VECTORS

SUMA DE VECTORS

Siguin els vectors u =(u1,u2) i v =(v1,v2), per sumar algebraicament dos vectors només cal sumar les components dos a dos: u + v =(u1+v1,u2+v2) Si els sumem gràficament en el pla, aplicarem la regla de paral.lelogram per trobar gràficament el vector suma: es tracta de posar els dos vectors amb el mateix origen i traçar rectes paral.leles als vectors. La diagonal del paral.lelogram que es forma és el vector suma.

SUMA DE VECTORS

PROPIETAS DE LA SUMA DE VECTORS

SUMA DE VECTORS

SUMA DE VECTORS

RESTA DE VECTORS

RESTA DE VECTORS

MÒDUL D'UN VECTOR

El mòdul és la distància entre els dos punts del vector (teorema de Pitàgores)

PRODUCTE NOMBRE PER VECTOR

VECTOR ENTRE DOS PUNTS

Donats dos punts A (a1 , a2) i B (b1 , b2), podem obtenir el vector que va des de A fins a B, restant les coordenades dels punts en l'ordre correcte segons el sentit

AB = B - A = (b1 - a1 , b2 - a2)

B (b1 , b2)

A (a1 , a2)

VECTOR UNITARI

Un vector és unitari si el seu mòdul és 1 Per exemple, el vector u és unitari

NORMALITZAR UN VECTOR

Normalitzar un vector vol dir trobar un altre vector, amb la mateixa direcció i sentit, però de mòdul 1. Per normalitzar un vector només hem de dividir les seves coordenades pel seu mòdul.

Exemple: normalitza el vector

Dividim per les coordenades del vector

Calculem el seu mòdul

NORMALITZAR UN VECTOR

Hi han dos!!

I si em demanen un vector amb la mateixa direcció?

Exemple: Trova un vector amb la mateixa direcció i sentit de l'anterior, però de mòdul 4

Multiplico pel mòdul demanat

Canviem els signes per la segona solució

Dividim per les coordenades del vector

Calculem el seu mòdul

PRODUCTE ESCALAR

u · v = u1·v1 + u2·v2

PROJECCIÓ D'UN VECTOR SOBRE ALTRE

Si considerem el triangle rectangle ABD, el cosinus de l'angle α es calcula segons

També sabem que Per tant, ajuntant les dues expressions tenim que el segment AD, que és la projecció d'un vector sobre l'altre, es

PUNTS ALINEATS

Tres punts estan alineats si tots tres estan a la mateixa recta Per saber si tres punts A, B, C estan alineats, hem de calcular si el vector AB és proporcional al AC

PUNT MIG D'UN SEGMENT

Sigui el segment delimitat pels punts A, B A= (a1 , a2) B= (b1 , b2) El punt mig resulta de desplaçar-nos des de A fins a C Mitjançnat la suma d'un punt més un vector, tenim: C= A +

DIVIDIR SEGMENT EN PARTS IGUALS

Sigui el segment delimitat pels punts A, B A= (a1 , a2) B= (b1 , b2) El volem dividir en dues parts iguals, en C1 i C2 C1= A + C2= A + 2

VECTORS ORTOGONALS

Dos vectors són perpendiculars si el seu producte escalar és zero La forma ràpida de trobar un vector ortogonal, és "girar" les coordenades i canviar-ne una de signe EXEMPLE: Troba un vector ortogonal a u = (5 , -10) 1. Girem les coordenades: (-10 , 5) 2. Canviem el signe d'una (10 , 5)

SIMÈTRIC D'UN PUNT

Volem trobar el punt simètric d'A respecte d'un altre punt B

As = A + 2AB As = B + AB

EQUACIONS DE LA RECTA AL PLA

EQUACIONS DE LA RECTA

Podem obtenir diferents formes d'una mateixa recta, segons les dades que tenim, o la utilitat que li donarem

Equació vectorial

Equació general o implícita

Equació explícita

Equació paramètrica

Equació punt pendent

Equació contínua

EQUACIONS DE LA RECTA

Suposem que tenim un punt P i un vector v Si li sumo al punt P el vector, obtindré un altre punt Q, alineat amb ells

P + v = Q

EQUACIONS DE LA RECTA

Suposem que tenim un punt P i un vector v Si li sumo al punt P un vector proporcional, obtindré un altre punt Q1, alineat amb ells

P + v = Q P + 2 v = Q1

EQUACIONS DE LA RECTA

Suposem que tenim un punt P i un vector v Si li sumo al punt P qualsevol vector proporcional, obtindré altres punts de la recta

P + v = Q P + 2 v = Q1 P + 3 v = Q2

EQUACIONS DE LA RECTA

Suposem que tenim un punt P i un vector v Si li sumo al punt P qualsevol vector proporcional, obtindré altres punts de la recta

P + 0,5 v = Q4 P - 2 v = Q5 P -4,3 v = Q5

P + v = Q P + 2 v = Q1 P + 3 v = Q2

EQUACIONS DE LA RECTA

És a dir, si fem P + λ v on λ ∈ R tindrem tots els punts de la recta que passa per P i té la direcció del vector v. Només necessito anar donant valors a λ per obtenir tots els punts de la recta.

EQUACIÓ VECTORIAL DE LA RECTA

Si tenim un punt P (a , b), i un vector (v1 , v2), l'equació vectorial de la recta és que compleix qualsevol punt Q

Q = P + λ v

Q = (x , y) P = (a , b) v = (v1 , v2) λ ∈ R

EQUACIÓ VECTORIAL DE LA RECTA

Si tenim un punt P (a , b), i un vector (v1 , v2), l'equació vectorial de la recta és que compleix qualsevol punt Q

(x , y) = (a , b) + λ (v1 , v2)

Q = P + λ v

Q = (x , y) P = (a , b) v = (v1 , v2) λ ∈ R

EQUACIÓ PARAMÈTRICA DE LA RECTA

Si tenim un punt P (a , b), i un vector (v1 , v2), a partir de l'equació vectorial de la recta Podem ordenar les coordenades en un sistema d'equacions:

(x , y) = (a , b) + λ (v1 , v2)

x = a + λ v1 y = b + λ v2

EQUACIÓ CONTÍNUA DE LA RECTA

Si tenim un punt P (a , b), i un vector (v1 , v2), a partir de l'equació vectorial de la recta Podem aïllar λ en les dues equacions

x = a + λ v1 y = b + λ v2

x - a y - b

v1 v2

EQUACIÓ CONTÍNUA DE LA RECTA

EXEMPLE: Un punt i un vector director de la recta següent són:

punt (1 , -4)

vector (3 , -1)

EQUACIÓ CONTÍNUA DE LA RECTA

A partir de la recta en forma contínua puc obtenir punts d'aquesta recta substituint la x per qualsevol nombre, i obtenint què ens dona la y (o al revés)

x - a y - b

v1 v2

EQUACIÓ CONTÍNUA DE LA RECTA

OBSERVACIÓ

L'equació contínua de la recta és l'únic cas on les matemàtiques accepten "dividir" per 0 Troba l'equació contínua de la recta que passa pel punt (1 , -2) i el seu vector és (0 , 3)

x - a y - b

v1 v2

x - 1 y + 2

0 3

EQUACIÓ GENERAL DE LA RECTA

L'equació general o implícita de la recta s'obté a partir d'eliminar denominadors a l'equació contínua

Ax + By + C = 0

EQUACIÓ GENERAL DE LA RECTA

En l'equació general de la recta Ax + By + C = 0 El vector director és (-B , A) Obtenim punts donant valors a la x o la y

EQUACIÓ EXPLÍCITA DE LA RECTA

L'equació explícita de la recta s'obté a partir d'aïllar la y de l'equació general

Ax + By + C = 0

y= m x + n

EQUACIÓ EXPLÍCITA DE LA RECTA

L'equació explícita de la recta s'obté a partir d'aïllar la y de l'equació general

Ax + By + C = 0

y= m x + n

Punt de tall a l'eix Y

Pendent de la recta

EQUACIÓ EXPLÍCITA DE LA RECTA

L'equació explícita de la recta s'obté a partir d'aïllar la y de l'equació general

y= -2 x + 4

Punt de tall a l'eix Y

Pendent de la recta

PENDENT D'UNA RECTA

Equació explícita Equació general vector director

PENDENT D'UNA RECTA

Si m és la pendent d'una recta, llavors el seu vector director és u = (1 , m)

EQUACIÓ PUNT-PENDENT

Sigui una recta que passa pel punt P (a , b) de pendent m

y= m (x — a) + b

POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES AL PLA

POSICIONS DE DUES RECTES

Dues rectes al pla poden ser:

PARAL·LELES

COINCIDENTS

SECANTS

POSICIONS DE DUES RECTES

Dues rectes al pla poden ser:

PARAL·LELES

COINCIDENTS

SECANTS

POSICIONS DE DUES RECTES

Dues rectes al pla poden ser:

PARAL·LELES

COINCIDENTS

SECANTS

Vectors directors proporcionals Mateixa pendent mr = ms Tenen tots els punts en comú

Vectors directors proporcionals Mateixa pendent mr = ms No tenen punts en comú

Vectors directors NO proporcionals Diferent pendent mr ≠ ms Tenen un ÚNIC punt en comú PI

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

Donades les equacions vectorial, paramètrica o contínua

Busquem Pr, Ps, vr, vs

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

Donades les equacions vectorial, paramètrica o contínua

Busquem Pr, Ps, vr, vs

No

Mirem si vr, vs són proporcionals

Si

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

Donades les equacions vectorial, paramètrica o contínua

Busquem Pr, Ps, vr, vs

No

SECANTS

Mirem si vr, vs són proporcionals

No

Si

Mirem si Pr ∈ s

Si

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

Donades les equacions vectorial, paramètrica o contínua

Busquem Pr, Ps, vr, vs

No

SECANTS

Mirem si vr, vs són proporcionals

PARAL·LELES

No

Si

Mirem si Pr ∈ s

Si

COINCIDENTS

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

Exemple: Determina la posició relativa de les rectes:

ELS VECTORS A L'ESPAI

PRODUCTE NOMBRE PER VECTOR

El resultat és un vector amb la mateixa direcció i sentit, excepte si k < 0

SUMA PUNT MÉS VECTOR

Podem sumar de forma "simbólica" a un punt A = (a1 , a2, a3) les coordenades d'un vector v = (v1 , v2, v3). Realment, el que fem és "reposicionar" el punt. Obtenim un nou punt.

A + v = B

VECTOR ENTRE DOS PUNTS

Donats dos punts A (a1 , a2, a3) i B (b1 , b2, b3), podem obtenir el vector que va des de A fins a B, restant les coordenades dels punts en l'ordre correcte segons el sentit

AB = B - A = (b1 - a1 , b2 - a2 , b3-a3)

B (b1 , b2 , b3)

A (a1 , a2 ,a3)

SUMA DE VECTORS

u + v =(u1+v1,u2+v2,u3+v3)

Siguin els vectors u =(u1,u2,u3) i v =(v1,v2,v3), per sumar algebraicament dos vectors només cal sumar les components dos a dos:

MÒDUL D'UN VECTOR

Sigui el vector u = (u1 , u2 , u3)

NORMALITZAR UN VECTOR

Normalitzar un vector vol dir trobar un altre vector, amb la mateixa direcció i sentit, però de mòdul 1. Per normalitzar un vector només hem de dividir les seves coordenades pel seu mòdul.

Exemple: normalitza el vector

Dividim per les coordenades del vectorf

Calculem el seu mòdul

NORMALITZAR UN VECTOR

Puc trobar un vector amb la mateixa direcció i sentit, però amb el mòdul que vulgui

Exemple: Donat el vector . Troba un vector amb la mateixa direcció i sentit de l'anterior, però de mòdul 3

Dividim per les coordenades del vector

Multiplico pel mòdul demanat

Calculem el seu mòdul

NORMALITZAR UN VECTOR

Hi han dos!!

I si em demanen un vector amb la mateixa direcció?

A l'exemple anterior

Multiplico pel mòdul demanat

Canviem els signes per la segona solució

Dividim per les coordenades del vector

Calculem el seu mòdul

PRODUCTE ESCALAR

Siguin els vectors Es defineix el producte escalar de dos vectors com un nombre real, tal que

PRODUCTE ESCALAR

PROPIETAS DEL PRODUCTE ESCALAR DE VECTORS

PRODUCTE ESCALAR

Exemple: Troba l'angle que formen els vectors

PRODUCTE ESCALAR

Exemple: Troba l'angle que formen els vectors

PRODUCTE ESCALAR

Exemple: Troba el valor de x perquè els vectors siguin perpendiculars

PRODUCTE ESCALAR

Exemple: Troba el valor de x perquè els vectors siguin perpendiculars

PRODUCTE ESCALAR

Exemple: Troba un vector u que sigui perpendicular simultàneament als vectors

PRODUCTE ESCALAR

Exemple: Troba un vector u que sigui perpendicular simultàneament als vectors

PRODUCTE ESCALAR

Però de bon rotllo!

Hem de discutir el sistema i trobar les solucions

PRODUCTE ESCALAR

Hem de parametritzar

PRODUCTE ESCALAR

Busquem un valor qualsevol

PRODUCTE ESCALAR

Exemple: Troba tots els vectors que siguin perpendiculars simultàneament als vectors

PRODUCTE ESCALAR

Exemple: Troba tots els vectors que siguin perpendiculars simultàneament als vectors

A l'exercici anterior hem trobat un vector que complia la condició de perpendicularitat. Ara ens demanen l'expressió matemàtica que compleixen tots els vectors. Per trobar-la hem de plantejar el sistema d'equacions

PRODUCTE ESCALAR

Parametritzem una variable

Solució

N'hi han infinits vectors, un per cada valor del paràmetre

BASE ORTONORMAL i, j, k

Utilitzem com notació dels vectors la referència dels vectors unitaris i, j, ksituats als eixos X, Y, Z

BASE ORTONORMAL i, j, k

Així doncs, el vector (3, 2, 5) el puc anomenar com 3 i + 2 j + 5 k

PRODUCTE VECTORIAL

El producte vectorial de dos vectors és un altre vector

PRODUCTE VECTORIAL

El producte vectorial de dos vectors és un altre vector que denotarem com u x v El vector resultant és perpendicular al pla dels altres dos vectors. El sentit segueix la regla de la «ma dreta»

u x v

PRODUCTE VECTORIAL

La forma algebraica del producte vectorial és la següent

PRODUCTE VECTORIAL

La forma algebraica del producte vectorial és la següent

PRODUCTE VECTORIAL

La forma algebraica del producte vectorial és la següent

PRODUCTE VECTORIAL

La forma algebraica del producte vectorial és la següent

PRODUCTE VECTORIAL

La forma algebraica del producte vectorial és la següent

u x v =

(w1 , -w2 , w3)

PRODUCTE VECTORIAL

Exemple: calcula el producte vectorial de

PRODUCTE VECTORIAL

Exemple: calcula el producte vectorial de

PRODUCTE VECTORIAL

Exemple: Busca un vector de mòdul 5, perpendicular (ortogonal) als vectors

Busquem un vector perpendicular

PRODUCTE VECTORIAL

Normalitzem el vector i obtenim el resultat

Solucions

PRACTICA

Busca tots els vectors perpendiculars a

Solució:

VECTORS PROPORCIONALS

Dos vectors són proporcionals si tenen la mateixa direcció (si són paral·lels)Si dos vectors són proporcionals, un és múltiple de l'altre Per saber si dos vectors són proporcionals, dividim les seves coordenades, i s'ha de complir la condició:

VECTORS PROPORCIONALS

Comprova si els següents vectors són proporcionals

Sí són proporcionals

VECTORS PROPORCIONALS

Què passa si una coordenada és zero?

Ha d'existir tal que

Per definició de proporcionalitat:

No són proporcionals

APLICACIONS PRODUCTE VECTORIAL

El producte vectorial de dos vectors paral·lels és 0 Si dos vectors són paral·lels

APLICACIONS PRODUCTE VECTORIAL

El mòdul resultant del producte vectorial es relaciona amb les àrees

ÀREA ABCD

ÀREA ABC

APLICACIONS PRODUCTE VECTORIAL

Exemple: Troba l'àrea del paral·lelogram i del triangle definits pels punts:

APLICACIONS PRODUCTE VECTORIAL

Àrea del paral·lelogramÀrea del triangle

PRODUCTE MIXT

El producte mixte de tres vectors és un nombre, resultat de:

PRODUCTE VECTORIAL ÉS UN VECTOR

PRODUCTE ESCALAR ÉS UN NOMBRE

PRODUCTE MIXT

El producte mixte de tres vectors és un nombre, resultat de:

APLICACIONS PRODUCTE MIXTE

El producte mixte en valor absolut de tres vectors és el volum del paral·lelepípede que generen els vectors

APLICACIONS PRODUCTE MIXTE

El producte mixte en valor absolut de tres vectors és el volum del paral·lelepípede que generen els vectors

APLICACIONS PRODUCTE MIXTE

El producte mixte en valor absolut de tres vectors és 6 vegades el volum del tetraedre que generen els vectors Vt = 1/6 Vp

PUNTS ALINEATS

Tres punts A, B, C estan alineats si tenen la mateixa direcció, és a dir, si són proporcionals.

VECTORS COPLANARIS

Tres vectors són coplanaris si situats amb el mateix orígen, pertanyen al mateix pla. El paral·lelepíde que generan és pla, el seu volum és 0

PUNTS COPLANARIS

I què passa amb els punts? 3 punts sempre són coplanaris 4 punts seran coplanaris, si ho són els vectors que contenen

PRACTICA

Exemple: Comprova si els punts A, B, C estan alineats

PRACTICA

Exemple: Comprova si els punts A, B, C estan alineats

Sí, estan alineats

PRACTICA

Exemple: Comprova si els punts A, B, C, D són coplanaris

PRACTICA

Exemple: Comprova si els punts A, B, C, D són coplanaris

No són coplanaris

PUNT MIG D'UN SEGMENT

El punt mig del segment AB és un punt C situat a la meitat de les coordenades del vector definit per A i per B. Desplacem A fins a C

PRACTICA

Exemple: Troba el punt mig del segment definit per A i B

PRACTICA

Exemple: Troba el punt mig del segment definit per A i B

DIVIDIR SEGMENT EN PARTS IGUALS

Per dividir un segment en 3 parts iguals, hem de trobar 2 punts intermedis

PRACTICA

Exemple: Divideix el segment A B en tres parts iguals

PRACTICA

Exemple: Divideix el segment A B en tres parts iguals

SIMÈTRIC D'UN PUNT

Per trobar el simètric d'un punt A respecte d'un altre B, hem de desplaçar A dues vegades el punt A, les coordenades AB

PRACTICA

Exemple: Troba el simètric del punt A respecte del punt B

PRACTICA

Exemple: Troba el simètric del punt A respecte del punt B

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

Tema complicat i important

Be careful...!

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

Una combinació lineal d'un o diferents vectors és un altre vectorque resulta de sumar els vectors, multiplicats per un conjunt de nombres. Siguin els vectors i els nombres una combinació lineal seria

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

EXEMPLE: Una combinació lineal dels següents vectors

seria:

Diem que és una combinació lineal de

Canviant els nombres, podem tenir infinites combinacions lineals d'aquests vectors

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

Si tenim un conjunt de vectors, en el que un és combinació lineal dels altres, direm que són linealment dependents Si no puc obtenir cap d'aquests vectors fent combinacions lineals dels altres, direm que són linealment independents

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

Et sona?

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

Et sona?

Combinacions lineals de files i columnes d'una matriu, rang d'una matriu, grau de llibertat...

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

IDEA CLAU 1

Amb la combinació lineal de diferents vectors puc obtenir infinits vectors nous, limitats per la situació dels primers

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

IDEA CLAU 2

Les dimensions, a l'espai, són tres

RECTA

PLA

ESPAI TRIDIMENSIONAL

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

IDEA CLAU 3

Segons les posicions dels vectors d'estudi, podré obtenir infinits nous vectors que em definiran:

RECTA

PLA

ESPAI TRIDIMENSIONAL

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

IDEA CLAU 4

Les posicions dels vectors que estudii poden ser:

3 VECTORS

2 VECTORS

PARAL·LELS

INDEPENDENTS

COPLANARIS

SECANTS

PARAL·LELS

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

3 VECTORS

2 VECTORS

PARAL·LELS

"INDEPENDENTS"

COPLANARIS

SECANTS

PARAL·LELS

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors d'una recta

L.D.

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

3 VECTORS

2 VECTORS

PARAL·LELS

"INDEPENDENTS"

COPLANARIS

SECANTS

PARAL·LELS

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors d'una recta

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors d'un pla

L.D.

L.i.

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

Comproba que fent combinacions lineals dels dos vectors, podem obtenir tots els del pla

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

3 VECTORS

2 VECTORS

PARAL·LELS

"INDEPENDENTS"

COPLANARIS

SECANTS

PARAL·LELS

En realitat tinc 2 vectors. Fent combinacions lineals puc obtenir tots els vectors d'una recta

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors d'una recta

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors d'un pla

L.D.

L.i.

L.D.

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

3 VECTORS

2 VECTORS

PARAL·LELS

"INDEPENDENTS"

COPLANARIS

SECANTS

PARAL·LELS

En realitat tinc 2 vectors. Fent combinacions lineals puc obtenir tots els vectors d'una recta

En realitat tinc 2 vectors. Fent combinacions lineals puc obtenir tots els vectors d'un pla

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors d'una recta

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors d'un pla

L.D.

L.D.

L.i.

L.D.

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

3 VECTORS

2 VECTORS

PARAL·LELS

"INDEPENDENTS"

COPLANARIS

SECANTS

PARAL·LELS

En realitat tinc 2 vectors. Fent combinacions lineals puc obtenir tots els vectors d'una recta

En realitat tinc 2 vectors. Fent combinacions lineals puc obtenir tots els vectors d'un pla

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors de l'espai

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors d'una recta

Fent combinacions lineals, puc obtenir tots els vectors d'un pla

L.i.

L.D.

L.D.

L.i.

L.D.

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

IDEA CLAU 5

Tres vectors linealment independents, poden generar tots els vectors de l'espai. Direm que formen una base de vectors.

COMBINACIONS LINEALS DE VECTORS

IDEA CLAU 6

Si tinc més de tres vectors, quatre, cinc... seran combinacions lineals de tres d'ells. Quatre vectors seran sempre linealment dependents

PRACTICA

EXERCICI 1: Expressa el vector t com a combinació lineal dels altres

PRACTICA

EXERCICI 1: Expressa el vector t com a combinació lineal dels altres

PRACTICA

EXERCICI 2: Troba les coordenades de a respecte de la base B

PRACTICA

EXERCICI 2: Troba les coordenades de a respecte de la base B

PRACTICA

EXERCICI 3: Donats els següents tres vectors, digues si són linealment independents, o sigui, digues si són coplanaris, o sigui, digues si formen una base, o sigui, digues si el seu determinant és zero

SOLUCIÓ: són linealment dependents, o sigui, són coplanaris, o sigui, NO formen una base, o sigui, el seu determinant és zero

PRACTICA

EXERCICI 4: Donats els vectors u i v, troba la projecció de u sobre v i l'angle que formen

Projecció de u sobre v

L'angle que formen és:

PRACTICA

EXERCICI 5: Donats els vectors a (1,-1,0), b (0,1,-1) i c =m a - b, troba m perquè siguin a i c siguin perpendiculars

Calculem el vector c

El valor de m és:

RECTES I PLANS A L'ESPAI

EQUACIONS DE LA RECTA AL PLA

RECORDA

Podem obtenir diferents formes d'una mateixa recta, segons les dades que tenim, o la utilitat que li donarem

Equació vectorial

Equació general o implícita

Equació explícita

Equació paramètrica

Equació punt pendent

Equació contínua

EQUACIONS DE LA RECTA A L'ESPAI

Podem obtenir diferents formes d'una mateixa recta, segons les dades que tenim, o la utilitat que li donarem

Equació vectorial

Equació general o implícita

Equació paramètrica

Equació contínua

EQUACIONS DE LA RECTA

EQUACIÓ VECTORIAL

IDENTIFICACIÓ

Punt de la recta: Vector director de la recta:

CONSIDERACIONS

OBTENCIÓ

Punts de la recta: Dono valors a Vectors de la recta: Trobo vectors proporcionals al vector director

Els infinits valors de em donen els infinits vectors de la recta

EQUACIONS DE LA RECTA

EQUACIÓ PARAMÈTRICA

IDENTIFICACIÓ

Punt de la recta: Vector director de la recta:

CONSIDERACIONS

OBTENCIÓ

Punts de la recta: Dono valors a Vectors de la recta: Trobo vectors proporcionals al vector director

• Per obtenir-les poso en "vertical" l'equació paramètrica
• Per saber si un punt pertany a la recta, ha de cumplir la seva equació. En substituir x, y, z pel punt, existeix un únic valor de
• Per saber si un vector és paral·lel a la recta, comprobem si és proporcional al vector director de la recta

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació en forma vectorial i paramètrica que passa pels punts A i B. Busca dos punts i dos vectors nous.

PRACTICA

Puc agafar qualsevol punt dels que tinc: A, B Tindré dos equacions diferents de la mateixa recta

PRACTICA

Busquem punts donant valors a

Busquem vectors proporcionals a (-12, -1, 1)

PRACTICA

EXERCICI 2: Donada la recta formada pels punts A i B, comprova si el punts C i pertany a la recta

Busquem l'equació de la recta

PRACTICA

Comprobem el punt C

EQUACIONS DE LA RECTA

EQUACIÓ CONTÍNUA

IDENTIFICACIÓ

Punt de la recta: Vector director de la recta:

CONSIDERACIONS

OBTENCIÓ

Punts de la recta: M'invento un valor d'una variable i trobo les altres Vectors de la recta: Trobo vectors proporcionals al vector director

• Atenció als signes de les coordenades a, b, c
• Per obtenir-la haig d'aïllar a l'equació paramètrica
• Un denominador 0 és simbòlic
• Aquesta forma són en realitat dues equacions

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba un punt de la recta

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba un punt de la recta

Dono un valor a una variable

PRACTICA

EXERCICI 2: Troba un punt de la recta

PRACTICA

EXERCICI 2: Troba un punt de la recta

Dono un valor a una variable

NOTA: Si el vector director conté 0, no dono valors a aquesta variable

PRACTICA

EXERCICI 3: Troba un punt i un vector de la recta

PRACTICA

EXERCICI 3: Troba un punt i un vector de la recta

CUIDADO!

PRACTICA

EXERCICI 3: Troba un punt i un vector de la recta

PRACTICA

EXERCICI 4: Troba un punt i un vector de la recta

PRACTICA

EXERCICI 4: Troba un punt i un vector de la recta

Podem treure els denominadors

"truco"

EQUACIONS DE LA RECTA

EQUACIÓ GENERAL O IMPLÍCITA

IDENTIFICACIÓ

Punt de la recta: No és immediat Vector director de la recta: No és immediat

CONSIDERACIONS

OBTENCIÓ

Punts de la recta: Invento un valor d'una variable i trobo les altres Vectors de la recta: Dos opcions 1) Busco dos punts de la recta i calculo el vector 2) Amb la matriu

• Per obtenir-la, utilitzem dues equacions de l'equació contínua.
• Aquest sistema ha de tenir infinites solucions (els infinits punts de la recta)
• És a dir, rang A = rang A* = 2
• És a dir, (A, B, C) i (A', B', C') han de ser linealment independents
• És a dir, (A, B, C) i (A', B', C') NO poden ser proporcionals

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació en forma general de:

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació en forma general de:

PRACTICA

EXERCICI 2: Comprova que la següent expressió no és una recta

PRACTICA

EXERCICI 2: Comprova que la següent expressió no és una recta

PRACTICA

EXERCICI 3: Calcula les formes vectorial, paramètrica, contínua i general de la recta definida pels punts: A = (3, -1, 0), B = (-1, -2, 3)

PRACTICA

EXERCICI 3: Calcula les formes vectorial, paramètrica, contínua i general de la recta definida pels punts: A = (3, -1, 0), B = (-1, -2, 3)

POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES A L'ESPAI

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

ES CREUEN

COINCIDENTS

PARAL·LELS

SECANTS

Un sol punt en comú Vectors NO paral·lels (NO proporcionals)

No tenen punts en comú Vectors NO paral·lels (NO proporcionals)

No tenen punts en comú Vectors paral·lels (proporcionals)

Tots els punts en comú Vectors paral·lels (proporcionals)

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

Donades les equacions vectorial, paramètrica, contínua o general

Sempre treballarem en forma paramètrica o contínua. Si tinc la recta en formar general, obtindré punt i vector per obtenir la paramètrica

Busquem Pr, Ps, vr, vs Calculem Pr Ps

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

Mirem si vr, vs són proporcionals

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

SECANTS O ES CREUEN?

Mirem si els vectors són coplanaris

No

Mirem si vr, vs són proporcionals

PARAL·LELES O COINCIDENTS?

Si

Mirem si Pr ∈ s

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

ES CREUEN

No

SECANTS O ES CREUEN?

Mirem si els vectors són coplanaris

No

Si

SECANTS

Mirem si vr, vs són proporcionals

PARAL·LELES

No

PARAL·LELES O COINCIDENTS?

Si

Mirem si Pr ∈ s

Si

COINCIDENTS

PRACTICA

EXERCICI 1: Estudia la posició relativa de les rectes

PRACTICA

EXERCICI 1: Estudia la posició relativa de les rectes

Busquem Pr, Ps, vr, vs

PRACTICA

EXERCICI 1: Estudia la posició relativa de les rectes

Busquem Pr, Ps, vr, vs

PRACTICA

EXERCICI 1: Estudia la posició relativa de les rectes

vr || vs ?

PRACTICA

EXERCICI 1: Estudia la posició relativa de les rectes

vr || vs ?

Sí, poden ser paral·leles o coincidents

PRACTICA

EXERCICI 1: Estudia la posició relativa de les rectes

Ps ∈ r?

PRACTICA

EXERCICI 1: Estudia la posició relativa de les rectes

Ps ∈ r?

No: r i s són paral·leles

PRACTICA

EXERCICI 2: Estudia la posició relativa de les rectes

PRACTICA

EXERCICI 2: Estudia la posició relativa de les rectes

Busquem Pr, Ps, vr, vs

PRACTICA

EXERCICI 2: Estudia la posició relativa de les rectes

Busquem Pr, Ps, vr, vs

PRACTICA

EXERCICI 2: Estudia la posició relativa de les rectes

vr || vs ?

PRACTICA

EXERCICI 2: Estudia la posició relativa de les rectes

vr || vs ?

NO, poden ser secants o es creuen

PRACTICA

EXERCICI 1: Estudia la posició relativa de les rectes

Són coplanaris?

PRACTICA

EXERCICI 1: Estudia la posició relativa de les rectes

Són coplanaris?

No: r i s es creuen

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

Si tenim les dues equacions en forma general:

Faig un sistema d'equacions

Estudio la matriu del sistema

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

Si tenim les dues equacions en forma general:

Faig un sistema d'equacions

Estudio la matriu del sistema

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

RECOMANACIÓ: Busquem dos punts i dos vectors i plantegem la paramètrica

Si tenim les dues equacions en forma general:

Faig un sistema d'equacions

Estudio la matriu del sistema

PUNT D'INTERSECCIÓ DE RECTES

Si tenim les dues rectes secants (es tallen en un punt):

És el punt en comú a les dues rectes. Ha de cumplir simultàneament les equacions de les rectes. Tenim dues opcions:

Estudiar si són secants i després buscar el punt en comú Discutim el sistema format per les equacions

S.C.D. única solució --> és el punt de tall S.C.I. infinites solucions --> són coincidents S.I. no té solució --> no es tallen en cap punt

PUNT D'INTERSECCIÓ DE RECTES

Si tenim les dues rectes secants (es tallen en un punt):

És el punt en comú a les dues rectes. Ha de cumplir simultàneament les equacions de les rectes. Tenim dues opcions:

Estudiar si són secants i després buscar el punt en comú Discutim el sistema format per les equacions

S.C.D. única solució --> és el punt de tall S.C.I. infinites solucions --> són coincidents S.I. no té solució --> no es tallen en cap punt

PUNT D'INTERSECCIÓ DE RECTES

Treballarem amb la forma paramètrica Siguin les equacions:

Si hi ha un punt d'intersecció, ha de complir:

És un sistema de tres equacions, amb dos paràmetres ,

S.C.I. S.I. S.C.D. Busquem un únic valor per a i

No cal fer res

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba el punt de tall (si existeix) de les rectes:

Renombrem el paràmetre d'una equació i plantegem el sistema

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba el punt de tall (si existeix) de les rectes:

Renombrem el paràmetre d'una equació i plantegem el sistema

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba el punt de tall (si existeix) de les rectes:

Busquem les solucions de i

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba el punt de tall (si existeix) de les rectes:

Busquem les solucions de i

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba el punt de tall (si existeix) de les rectes:

Busquem les coordenades del punt de tall de les rectes (podem substituir en qualsevol de les equacions el valor del seu paràmetre)

EQUACIONS DEL PLA

DEFINICIÓ DEL PLA

Per definir un pla necessitem

Un punt que ens doni la posició. Dos vectors linealment independents (no paral·lels, no proporcionals) que determinin la direcció. Aquests vectors directors ens donen els infinits vectors que conté el pla, a partir dels paràmetres

EQUACIONS DEL PLA

EQUACIÓ VECTORIAL

IDENTIFICACIÓ

Punt del pla: Vectors director del pla:

CONSIDERACIONS

OBTENCIÓ

Punts del pla: Dono valors a Vectors del pla: Trobo vectors proporcionals als vectors directors

Els infinits valors de em donen els infinits vectors del pla

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació vectorial del pla definit pels punts:

Comprobo que els tres punts no estan alineats

Obtinc l'equació de la recta

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació vectorial del pla definit pels punts:

Genero dos vectors amb els punts. Comprovo que no estan alineats

Obtinc l'equació de la recta

Puc utilitzar qualsevols dels punts A, B, C

PRACTICA

EXERCICI 2: De l'equació anterior, troba:

• 2 vectors directors
• 2 punts nous
• Determina si els següents vectors són vectors del pla
• Determina si els següents punts són del pla

PRACTICA

EXERCICI 2:

Busquem dos vectors directors nous

PRACTICA

EXERCICI 2:

Busquem dos vectors directors nous

Fem combinacions lineals dels vectors coneguts

PRACTICA

EXERCICI 2:

Busquem dos punts nous

PRACTICA

EXERCICI 2:

Busquem dos punts nous

Sumem al punt conegut els vectos obtinguts

PRACTICA

EXERCICI 2:

Comprovem els vectors

PRACTICA

EXERCICI 2:

Comprovem els vectors

Tots els vectors del pla han de ser combinació lineal dels directors

PRACTICA

EXERCICI 2:

Comprovem els vectors

Hem obtingut els valors de les dues primeres equacions. Cal comprovar que també es cumpleixen a totes les equacions

Sí és un vector del pla

PRACTICA

EXERCICI 2:

Comprovem els vectors

Fem el mateix amb l'altre vector. Comprovem si és combinació lineal dels altres

PRACTICA

EXERCICI 2:

Comprovem els vectors

Comprovem en l'altra equació

No és un vector del pla

PRACTICA

EXERCICI 2:

Comprovem els punts

PRACTICA

EXERCICI 2:

Comprovem els punts

Comprovem els punts a l'equaciò del pla

No és un punt del pla

PRACTICA

EXERCICI 2:

Comprovem els punts

Comprovem el segon punt

Sí és un punt del pla

EQUACIONS DEL PLA

EQUACIÓ PARAMÈTRICA

IDENTIFICACIÓ

Punt del pla: Vector director del pla:

CONSIDERACIONS

OBTENCIÓ

Punts del pla: Dono valors a Vectors del pla: Trobo vectors proporcionals al vector director

• Per obtenir-les poso en "vertical" l'equació paramètrica
• Per saber si un punt pertany al pla, ha de cumplir totes les equacions. En substituir x, y, z pel punt, existeix un únic valor de

EQUACIONS DEL PLA

EQUACIÓ CONTÍNUA

EL PLA NO TÉ EQUACIÓ CONTÍNUA

IDENTIFICACIÓ

Punt del pla: Vector director del pla:

CONSIDERACIONS

OBTENCIÓ

Punts del pla: Dono valors a Vectors del pla: Trobo vectors proporcionals al vector director

• Per obtenir-les poso en "vertical" l'equació paramètrica
• Per saber si un punt pertany al pla, ha de cumplir totes les equacions. En substituir x, y, z pel punt, existeix un únic valor de

EQUACIONS DEL PLA

EQUACIÓ GENERAL O IMPLÍCITA

IDENTIFICACIÓ

Punt del pla: No és immediat Vector director del pla: No és immediat

CONSIDERACIONS

OBTENCIÓ

Punts del pla: Invento el valor de dues variables i trobo la que falta Vectors del pla: 1_ Busco tres punts de la recta i calculo els vectors. Cal comprovar que no siguin proporcionals 2_ A partir del vector ortogonal del pla

• Per obtenir-la, fem el determinant d'un punt i els vectors:
• A, B, C són coordenades d'un vector perpendicular al pla

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació general del pla definit per

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació general del pla definit per

PRACTICA

EXERCICI 2: Troba dos vectors directors del pla a partir del seu vector ortogonal

PRACTICA

EXERCICI 2: Troba dos vectors directors del pla a partir del seu vector ortogonal

El vector normal és

Busquem dos vectors tal que

Dono valors qualsevol a dues variables

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació paramètrica del pla:

Busco un punt del pla

Busco dos vectors linealment independents

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació paramètrica del pla:

Busco un punt del pla

El vector normal és

Busquem dos vectors tal que

Dono valors qualsevol a dues variables

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació paramètrica del pla:

Comprovem si els dos vectors son linealment independents

Necessitem un altre vector

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba l'equació paramètrica del pla:

Ja tenim totes les dades

EQUACIONS DEL PLA

"TRUQUILLO"

Per trobar vectors perpendiculars, ràpidament

Donat un vector Puc trobar altres, perpendiculars: 1_ Dono a una coordenada valor 0 2_ Intercanvio les altres dues 3_ Canvio el signe a una d'elles

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba tres vectors perpendiculars (ortogonals) a:

CASOS PARTICULARS DEL PLA

Fixem-nos en l'expressió y = 8

Abscisa y = 8 Equació de la recta del pla y = 8 Equació del pla y = 8

Són punts d'aquest pla tots els que tenen els mateix paràmetres

CASOS PARTICULARS DEL PLA

x=a y=a z=a

POSICIONS RELATIVES DE RECTA I PLA

LES EQUACIONS DE LA RECTA I DEL PLA

Comparem les equacions de la recta i del pla

Aquest sistema ens dóna, realitat, les equacions de dos plans (sempre que A, B, C i A', B', C' no siguin proporcionals) La seva intersecció són tots els punts que compleixen les dues equacions a l'hora

LES EQUACIONS DE LA RECTA I DEL PLA

Veiem com obtenir un pla a partir d'un punt i d'un vector normal. Podem comprovar que un vector de la recta és un vector dels plànols.

PRODUCTE VECTORIAL

RECORDA

La forma algebraica del producte vectorial és la següent

LES EQUACIONS DE LA RECTA I DEL PLA

IDEES CLAU

Sigui una recta r amb vector director vr Siguin dos plànols amb vectors ortogonals n1 i n2

1. El vector director de la recta és també vector director dels plànols
2. Un vector director de la recta és perpendicular als vectors ortogonals dels plànols
3. El producte vectorial de n1 i n2 serà paral·lel a vr.
4. Per trobar el vector d'una recta fel el producte vectorial de n1 i n2

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba un vector director de la recta

PRACTICA

EXERCICI 1: Troba un vector director de la recta

Els vectors normals dels plànols que formen la recta són:

PRACTICA

EXERCICI 2: Digues si els vectors són del pla

PISTA: Tots els vectors perpendiculars al vector ortogonal del pla n, són del pla, i tots els vectors del pla són perpendiculars al vector ortogonal n del pla

PRACTICA

EXERCICI 1: Digues si els vectors són del pla

PISTA: Tots els vectors perpendiculars al vector ortogonal del pla n, són del pla, i tots els vectors del pla són perpendiculars al vector ortogonal n del pla

El vector normal del pla és

Cal comprovar si són perpendiculars, és a dir, si el producte escalar és 0.

Sí són perpendiculars, sí pertany al pla

PRACTICA

EXERCICI 1: Digues si els vectors són del pla

Comprovem l'altre vector

No són perpendiculars, no pertany al pla

ESTUDI POSICIÓ RECTA I PLA

PARAL·LELS

CONTINGUT

SECANTS

No tenen punts en comú Vectors paral·lels (proporcionals)

Tots els punts en comú Vectors paral·lels (proporcionals)

Un sol punt en comú Vectors NO paral·lels (NO proporcionals)

ESTUDI POSICIÓ RECTA I PLA

Donades les equacions vectorial, paramètrica, contínua o general

Estudiarem les posicions del vector director de la recta i el vector normal del pla

Busquem Pr, vr, n

ESTUDI POSICIÓ RECTA I PLA

No

SECANTS

Mirem si vr, n són perpendiculars (producte escalar =0)

PARAL·LELS

No

PARAL·LELS O CONTINGUDA?

Si

Mirem si Pr ∈ al pla (Si cumpleix l'equació del pla)

Si

CONTINGUDA

PRACTICA

Exercici 1: Estudia la posició relativa de la recta i el pla següents

PRACTICA

Exercici 1: Estudia la posició relativa de la recta i el pla següents

Els vectors directors de la recta i del pla són:

Els vector normal al pla és:

PRACTICA

Exercici 1: Estudia la posició relativa de la recta i el pla següents

Comprovem la posició de la recta i el pla (el valor del seu producte escalar)

La recta i el pla són secants

PRACTICA

Exercici 2: Estudia la posició relativa de la recta i el pla següents

PRACTICA

Exercici 2: Estudia la posició relativa de la recta i el pla següents

Els vectors directors de la recta i del pla són:

Els vector normal al pla és:

PRACTICA

Exercici 2: Estudia la posició relativa de la recta i el pla següents

Comprovem la posició de la recta i el pla (el valor del seu producte escalar)

La recta i el pla són paral·lels o continguts

Estudiem la posició d'un punt Pr de la recta respecte del pla. El punt de la recta és: Pr = (4,7,-3)

PRACTICA

Exercici 2: Estudia la posició relativa de la recta i el pla següents

Substiuïm el punt per x, y, z del pla

La recta està continguda al pla

ESTUDI POSICIÓ RECTA I PLA

Si tenim les equacions de la recta i del pla en forma general:

Faig un sistema d'equacions

Estudio la matriu del sistema

ESTUDI POSICIÓ RECTA I PLA

Si tenim les dues equacions en forma general:

Faig un sistema d'equacions

Estudio la matriu del sistema

ESTUDI POSICIÓ RECTA I PLA

RECOMANACIÓ: Busquem el vector director de la recta i el normal del pla

Si tenim les dues equacions en forma general:

Faig un sistema d'equacions

Estudio la matriu del sistema

POSICIONS RELATIVES DE DOS PLÀNOLS

ESTUDI POSICIÓ DOS PLÀNOLS

PARAL·LELS

COINCIDENTS

SECANTS

No tenen punts en comú Vectors paral·lels (proporcionals)

Tots els punts en comú Vectors paral·lels (proporcionals)

Una recta en comú Vectors NO paral·lels (NO proporcionals)

ESTUDI POSICIÓ DOS PLÀNOLS

Donades les equacions vectorial O paramètrica

Estudiarem les posicions dels vectors normals de cada pla

Busquem P1 , n1, n2

ESTUDI POSICIÓ DOS PLÀNOLS

No

SECANTS

Mirem si n1, n2 són proporcionals

PARAL·LELS

No

PARAL·LELS O COINCIDENTS?

Si

Mirem si P1 ∈ a l'altre pla (Si cumpleix l'equació del pla)

Si

COINCIDENTS

ESTUDI POSICIÓ DOS PLÀNOLS

CAS PARTICULAR

Si tenim els dos plànols en forma general

PARAL·LELS

Comparem els coeficients A, B, C, D

COINCIDENTS

En cas contrari

SECANTS

PRACTICA

Exercici 1: Estudia la posició relativa dels plànols següents

PRACTICA

Exercici 1: Estudia la posició relativa dels plànols següents

Els vectors normals dels plànols són:

PRACTICA

Exercici 1: Estudia la posició relativa dels plànols següents

Mirem si els vectors normals són proporcionals

Són proporcionals. Paral·lels o coincidents

Estudiem un punt d'un pla

PRACTICA

Exercici 1: Estudia la posició relativa dels plànols següents

Resolem el sistema

Té sol·lució. El punt pertany al pla. Els plans són coincidents

ORTOGONAL I PERPENDICULAR

Convé distinguir entre dos conceptes

PERPENDICULAR Formen un angle de 90º i es tallen

ORTOGONAL Formen un angle de 90º encara que no es tallin (que no siguin secants)

ORTOGONAL I PERPENDICULAR

Resumint el treballat sobre perpendicularitat i ortogonalitat

Dos rectes que es tallen a 90º són perpendiculars Dos rectes que es creuen a 90º són ortogonals

Una recta i un pla secants que es tallen a 90º són perpendiculars

Dos plànols secants que es tallen a 90º són perpendiculars

Són proporcionals

10

APLICACIONS A PROBLEMES MÈTRICS

PUNT INTERSECCIÓ RECTA I PLA

Per calcular el punt d'intersecció entre una recta i un pla cal resoldre les equacions conjuntes dels dos. Si es tallen, ha de tenir una única sol·lució

FORMA VECTORIAL O PARAMÈTRICA

Estudiem la posició relativa per comprovar que són secants

Igualem les equacions paramètriques de recta i pla i resolem el sistema

PUNT INTERSECCIÓ RECTA I PLA

Per calcular el punt d'intersecció entre una recta i un pla cal resoldre les equacions conjuntes dels dos. Si es tallen, ha de tenir una única sol·lució

FORMA GENERAL

Estudiem la posició relativa per comprovar que són secants

Igualem les equacions generals de recta i pla i resolem el sistema

PRACTICA

Exercici 1: Troba el punt d'intersecció entre la recta i el pla

Estudiem la posició relativa per comprovar que són secants

Igualem les equacions paramètriques de recta i pla i resolem el sistema

Busquem la paramètrica de la recta

PRACTICA

Exercici 1: Troba el punt d'intersecció entre la recta i el pla

Igualem les equacions de recta i pla i resolem el sistema

Aixó no és el punt

Obtenim les coordenades del punt, substituïnt els paràmetres

ANGLE ENTRE DUES RECTES

L'angle entre dues rectes és el més petit que formen els seus vectors directors. No cal estudiar la posició relativa. Si α=0 seran paral·leles o coincidents.

Valor absolut Mòduls

ANGLE ENTRE DOS PLÀNOLS

L'angle entre dos plànols és el que formen els seus vectors normals. No cal estudiar la posició relativa. Si α=0 seran paral·lels o coincidents.

ANGLE ENTRE RECTE I PLA

L'angle entre recta i pla és el que formen el vector director de la recta i el vector normal del pla. No cal estudiar la posició relativa. Si α=0 seran paral·lels o la recta continguda al pla.

DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS

La distància entre dos punts és el mòdul del vector que formen

DISTÀNCIA ENTRE PUNT I RECTA

La distància entre un punt i una recta utilitzem el mètode del paral·lelogram

Busquem un punt R de la recta r

vr

Busquem el vector RP

El mòdul del vector resultant de RP x vr és l'area del paral·lelogram. La calculem.

RP

RP

També sabem que la fórmula del àrea és A = base x altura En el nostre cas tenim base = vr . Altura = a

vr

DISTÀNCIA D'UN PUNT A UN PLA

Sigui un punt P (a, b, c) i el pla Utilitzem l'equació general del pla i apliquem la fórmula

DISTÀNCIA D'UNA RECTA A UN PLA

Només té sentit si els dos són paral·lels. Han de complir la condició: Qualsevol punt de la recta estarà a la mateixa distància del pla. Així doncs, busquem un punt Pr de la recta i apliquem la fòrmula anterior.

DISTÀNCIA ENTRE DOS PLÀNOLS

Només té sentit si els dos són paral·lels. Han de complir la condició de que els vectors normals siguin proporcionals. Qualsevol punt del pla estarà a la mateixa distància de l'altre pla. Així doncs, busquem un punt P del pla i apliquem la fòrmula anterior.

DISTÀNCIA ENTRE DUES RECTES

Discutim la posició de les rectes. Només podem trobar la distància entre les rectes si són paral·leles o si es creuen

Apliquem distància d'un punt a una recta

Apliquem distància d'un punt a un pla

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

ES CREUEN

COINCIDENTS

PARAL·LELS

SECANTS

Un sol punt en comú Vectors NO paral·lels (NO proporcionals)

No tenen punts en comú Vectors NO paral·lels (NO proporcionals)

No tenen punts en comú Vectors paral·lels (proporcionals)

Tots els punts en comú Vectors paral·lels (proporcionals)

ESTUDI DE LA POSICIÓ DE DUES RECTES

ES CREUEN

No

SECANTS O ES CREUEN?

Mirem si els vectors són coplanaris

No

Si

SECANTS

Mirem si vr, vs són proporcionals

PARAL·LELES

No

PARAL·LELES O COINCIDENTS?

Si

Mirem si Pr ∈ s

Si

COINCIDENTS

Gràcies!