MÁQUINA DE GALTON

LA MÁQUINA DE GALTON

Hecho por Beatriz Rivero y María Esteban

Busca información sobre Galton y haz una pequeña reseña de su biografía y de su contribución a las matemáticas.

Francis Galton nació el 16 de febrero de 1822, fue un científico y matemático inglés del siglo XIX y principios del siglo XX. Galton hizo importantes contribuciones en diferentes áreas, como la biometría, la estadística, la psicología, la antropología y la genética. Creó el concepto estadístico de correlación y regresión hacia la media y fue el primero en aplicar métodos estadísticos para el estudio de las diferencias humanas y la herencia de la inteligencia y estudiando la variación, Galton inventó la máquina de Galton, una herramienta para la demostración de la ley de error y la distribución estándar.

Simula en la máquina de Galton el lanzamiento de un dado para que salga par o impar ( p=1/2 ). ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par en 6 lanzamientos? Haz la prueba con 30 lanzamientos (Núm. bolas) y comprueba que coinciden aproximadamente el resultado teórico y experimental. ¿Se puede simular el lanzamiento de un dado (probabilidad de sacar un número cualquiera) con la máquina? Explica por qué.

En primer lugar, la probabilidad de sacar un número par es de (3/6)^6, su probabilidad es 3 entre 6 y se eleva a 6 porque nos hablan de sacarlo en 6 lanzamientos. En segundo lugar, no se puede simular el lanzamiento de un dado con la máquina para hallar la probabilidad de un número cualquiera, porque al ser esta una distribución binomial, el dado no serviría porque los únicos resultados que puede obtener es que suceda o que no suceda. Por ejemplo, al calcular la probabilidad de un número cualquiera (digamos el 2), puede salirte este o puede salir un 4, un 1, un 3, etc. Sin embargo sí que se podría calcular la probabilidad de que salga par o impar, ya que el suceso ocurre o no ocurre.

Si soltamos 2000 bolas en una máquina de Galton de 4 filas de topes, ¿cuántas bolas crees que se depositarán en cada casillero?

Si soltamos 2000 bolas en una máquina de Galton de 4 filas de topes: P(X=1)= 0,25*2000= 500 P(X=2)= 0,375*2000= 750 P(X=3)= 0,25*2000= 500 P(X=4)= 0,0625*2000= 125 En el casillero Nº 1, caerán 125 bolas, en el Nº 2, 500, en el Nº 3, 750, en el Nº 4, 500, y en el Nº 5, 125.

¿Qué probabilidad tiene una bola de caer en cada uno de los casilleros de tu máquina? Justifícalo y representa en un diagrama de barras las probabilidades que has obtenido.

P (X=0)= 0.000976 P(X=1)=(10 1) x 0.5^1 x 0.5^9 = 0.00976 P(X=2)= 0.043953 P(X=3)= 0.1171875 P(X=4)= 0.205078 P(X=5)= 0.24609 P(X=6)= 0.205078 P(X=7)=0.1171875 P(X=8)=0.043953 P(X=9)=0.00976 P(X=10)=0.000976

¿Cuántos casilleros tiene una máquina de 2 filas? ¿Y una de 3? ¿Y una de 5? ¿Cuál es la probabilidad de que una bola se deposite en cada casillero según el número de filas? Completa la siguiente tabla.

Una máquina de 2 filas tiene 3 casilleros, una máquina de 3 filas tiene 4 casilleros, y una máquina de 5 filas tiene 6 casilleros.

Estadística (guía 8): En la guía 8 hemos visto la distribución de Bernouilli, la binomial y la normal, ¿ves reflejado en la máquina alguna de estas distribuciones? Explica cuál y cómo.

La distribución de Bernoulli sucede cuando un experimento aleatorio da lugar a dos resultados entre sí, es decir, éxito y fracaso. Las características principales de esta distribución son las siguientes: En la prueba se realizaron dos posibles resultados: Éxito y Fracaso. El resultado de cada prueba es independiente a los anteriores.La probabilidad de éxito se mantiene constante en cada prueba. Por ello, la simulación de esta prueba se podría representar de manera más gráfica en la máquina de Galton, es decir, Bernoulli (p) 0<p<1. Esto sucederá de una manera parecida en la Distribución Binomial.

La distribución normal es la que se representa con la máquina de Galton, ya que el experimento finaliza con la figura que forman las bolitas en la base, en forma de campana, de manera que la mayoría de bolitas se almacenan en el espacio del medio, y solo unas pocas en los extremos, por ello, la máquina de Galton sería también compatible con esta distribución ya que es una representación gráfica de esta.

Triángulo de Pascal:

¿Qué es el triángulo de Pascal?

Es un triángulo de números enteros , infinito y simétrico. Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Los lugares fuera del triángulo contienen ceros. También está relacionado con las identidades notables

¿Cómo se refleja el triángulo de Pascal en la máquina?

¿Tiene alguna relación con las probabilidades que tiene los caminos que sigue la bola?

Los números en forma de pirámide representan las chinchetas de la máquina de Galton que hacen posible la finalidad de esta. El número de cada celda en el triángulo nos dice la cantidad de caminos que una bolita puede tomar para llegar a ese poste. Los números del triángulo son más grandes en el centro, o sea, una mayor cantidad de rutas disponibles para las bolitas.

Desde el pico de la pirámide, los números, excepto los de los extremos, van aumentando en función de los dos números que haya encima de su izquierda y de su derecha. Cada número indica la probabilidad de que las bolas lleguen a tocar esa chincheta, por eso cuanto más abajo llegue la bola, más alto será el número del triángulo de Pascal, ya que será más difícil que esta llegue allí.

Teoremas de Moivre-Laplace y del límite central: Explica los teoremas y justifica porqué y cómo se ve su funcionamiento en la máquina.

El teorema de Moivre-Laplace y el teorema del límite central se utilizan para comprender la distribución de probabilidad de eventos aleatorios y cómo esta distribución se comporta a medida que se realizan más observaciones. En la máquina de Galton, estos teoremas se pueden ver en la acumulación de eventos aleatorios, que se aproximan a una distribución normal a medida que se aumenta el número de eventos. La bola que cae por la máquina representa una variable aleatoria y cada chincheta agrega otra variable aleatoria, lo que confirma la validez de ambos teoremas en la máquina de Galton. Según el Teorema de Moivre-Laplace, si tenemos una variable aleatoria binomial de parámetros n y p, es decir, B (n, p), X se puede aproximar a una distribución normal de media = n*p y desviación típica = raíz(npq)

Aproximación a la normal ( N(np; raíz npq) ) p = q = ½ n/2 >/=5 →por lo que n tiene que ser 10