Posizio erlatiboak

Zuzen eta planoen posizio erlatiboak

laburpena

bi zuzenen arteko posizio erlatiboak

Lau kasu eman daitezke:

Lanerako beharko duguna:

• zuzen bakoitzeko puntu bat eta norabide bektore bat, demagun P1 eta U, P2 eta V.
• zuzenen bi puntuak lotzen dituen hirugarren bektore bat, P1P2
• bi matrize: U eta Vk osatzen dutena, eta U, V eta P1P2k osatzen dutena:

A = eta A* =

bi zuzenen arteko posizio erlatiboak

Eman daitezken egoerak:

• bi zuzenak bat badira (bata bestearen gainean dago), U, V eta P1P2 ere paraleloak izango dira, eta beraz bai A eta bai A* matrizeen heinak = 1 izango dira.

• bi zuzenak paraleloak badira, U eta V-k norabide bera izango dute baina P1P2 bektoreak ez, eta beraz A-ren heina 1 izango da, baina A*-rena 2.

• bi zuzenak elkar ebakitzen badute, u eta v linealki askeak dira eta beraz A-ren heina 2 izango da, baina P1P2 plano berean dagoenez, konbinazio lineal moduan lor daiteke eta A*-ren heina ere 2 izango da.

• bi zuzenak gurutzatu egiten badira, hiru bektoreak linealki askeak dira, eta beraz A-ren heina 2 izango da eta A*-rena 3.

bi zuzenen arteko posizio erlatiboak

Adibidea:

bi planoen arteko posizio erlatiboak

Hiru kasu eman daitezke:

Lanerako beharko duguna:

• plano bakoitzaren ekuazio inplizitua: Ax + By + CZ + D = 0 eta A'x + B'y + C'z + D' = 0
• bi planoen bektore normalek osatzen duten matrizea, eta matrize zabaldua, D-rekin:

eta

bi planoen arteko posizio erlatiboak

Eman daitezken egoerak:

• bi planoak bat badira, bai M eta bai M*-ren heinak 1 izango dira.
• bi planoak paraleloak badira, M-ren heina 1 izango da, baina M*-rena 2.

• bi planoak zuzen batean ebakitzen badira, bai M eta bai M*-ren heinak 2 izango dira.

zuzen baten eta plano baten arteko posizio erlatiboak

Hiru kasu eman daitezke:

Lanerako beharko duguna:

• zuzenaren puntu bat eta norabide bektore bat, demagun P eta Vr
• planoaren ekuazio inplizitua: Ax + By + CZ + D = 0 ----> (A, B, C) bektore normala (Vpi)

zuzen baten eta plano baten arteko posizio erlatiboak

Eman daitezken egoerak:

• zuzena eta planoa paraleloak dira. Kasu honetan, zuzenaren norabide bektorearen eta planoaren bektore normalaren arteko biderketa eskalarra = 0 izango da, perpendikularrak izango direlako. Zuzena planoaren baitan egon daiteke, ala ez. Horretarako, bere puntu bat aukeratu eta planoaren ekuazio inplizituan ordezkatu:

1. puntuak ekuazioa betetzen badu, zuzena planoan dago
2. puntuak ekuazioa ez badu betetzen, zuzena ez dago planoan

• zuzena eta planoa puntu batean ebakitzen dira. Kasu honetan, planoaen bektore normalaren arteko biderketa eskalarra ez da 0 izango.

zuzen baten eta plano baten arteko posizio erlatiboak

ARIKETAK: 166 orrian 16tik 20ra 167 orrian 28tik 39ra.