Deribatuak (BATXI1)

Deribatuak

ideia nagusiak

Ideia nagusiak

Etxea

Jakin beharrekoak

• Deribatuaren kontzeptua puntu batean

• Deribatuen erabilerak

• Eragiketen deribatuak, katearen erregela

• Funtzio deribatua

Deribatuaren kontzeptua puntu batean 1/3

Etxea

Gogoratu Batazbesteko Aldakuntza Tasa:

a eta b arteko h distantzia gero eta txikiago egiten badugu, f(x)-en deribatua a puntuan izango dugu:

f ' (a) =

Geometrikoki, f('a)-k, funtzioak puntu honetan duen zuzen ukitzailearen malda adierazten du.

Deribatuaren kontzeptua puntu batean 2/3

Etxea

Beraz, funtzio batek puntu batean duen aldakuntza tasa jakiteko, puntu horretan deribatuaren adierazpena erabil dezakegu:

Adibidea: kalkulatu funtzioaren aldakuntza x = 1 puntuan.

Beraz, funtzioa x = 1 puntuan gorakorra da. Beste era batera esanda: puntu horretan duen ikutzailearen malda + da.

Deribatuaren kontzeptua puntu batean 3/3

Etxea

ARIKETAK: 305 orrian 1-2-3-4326 orrian 5etik 8ra

Funtzio deribatua

Etxea

f(x) funtzio baten funtzio deribatua, f(x) -ek bere abzisako puntu bakoitzean izango duen deribatua lortzen duen funtzioa da, eta f '(x) izendatuko dugu. Bere adierazpena:

ONDO BARNERATU: f'(x) funtzio deribatuak, f(x) hasierako funtzioaren absizasko puntu bakoitzean ikutzaile batek izango lukeen malda emango digu: 0 horizontala bada, + ikutzailea gorakorra bada, eta - ikutzailea beherakorra bada puntu horretan.

Eragiketen deribatua. Katearen erregela. 1/6

Etxea

Funtzio baten funtzio deribatua, definizioa aplikatuz aurki dezakegu, puntu batean aurkitu dugun bezala. Adibidez: aurkitu funtzioaren funtzio deribatua, definizioa aplikatuz:

Baina praktikan ez dugu bide hau erabiliko funtzio baten funtzio deribatua aurkitzeko. Hurrengo orrialdeetan ohiko funtzioen funtzio deribatuak zerrendatuta izango dituzu. Oso kontutan izan funtzioen arteko batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketaren deribatuak nola egiten diren, hurrengo orrialdean. Bidertzen ari diren konstanteekin zer egiten den ere kontutan izan.

Eragiketen deribatua. Katearen erregela. 5/6

Etxea

Ohiko funtzioen funtzio deribatuak. Funtzio sinpleak eta katearen erregela aplikatuz.

Eragiketen deribatua. Katearen erregela. 2/6

Etxea

Funtzioen arteko eragiketen deribatuak aurkitzeko, kontutan izan erregela hauek:

Eragiketen deribatua. Katearen erregela. 3/6

Etxea

Eragiketen deribatua. Katearen erregela. 4/6

Etxea

Eragiketen deribatua. Katearen erregela. 6/6

Etxea

ARIKETAK: 306 orrian 1-2-3-4 310 orrian 2tik 11ra 311 orrian 12tik 19ra 326 orrian 9tik 11ra

Deribatuaren erabilerak 1/7

Etxea

• Ukitzailearen ekuazioa lortu

Funtzio batek x = a puntu batean duen ukitzailearen ekuazioa lortzeko, gogoratu (x0 ,y0) puntutik pasatzen den zuzenaren puntu-malda ekuazioa:

m, zuzenaren malda izanik

Funtzio deribatuak puntu batean funtzio horren ukitzailearen malda ematen digunez, f(x) funtzioak x = a puntuan duen ukitzailearen ekuazioa lortzeko, nahikoa izango da goiko funtzioan m-ren ordez deribatua ordezkatzea:

(x0 ,y0) puntua, kasu honetan, (a, f(a)) puntua da.

Deribatuaren erabilerak 2/7

Etxea

Adibidez: lortu funtzioak x = 2 puntuan duen zuzen ukitzailearen ekuazioa.

- Ukitzaileak, zuzen bat denez, ekuazio hau izango du:

- gure (x0, y0) puntua, kasu honetan, (2, f(2)) da, eta f(2)=0 denez, puntua (2,0) izango da.

- m edo malda kalkulatzeko, funtzio deribatua aurkitu eta bertan x = 2 ordezkatu beharko dugu:

- datu guztiak baditugu, eta zuzen ukitzailearen ekuazioa: edo

Deribatuaren erabilerak 3/7

Etxea

• Funtzio baten puntu nabarmenak lortu

Funtzio baten puntu nabarmenak, maximoak, minimoak eta inflexio-puntuak dira:

Puntu nabarmenetan ukitzailea horizontala da. Honek zera esan nahi du: puntu horietan deribatua zero dela. Beraz, puntu hauek non dauden aurkitzeko, ekuazio hau askatu beharko dugu:

Deribatuaren erabilerak 4/7

Etxea

Adibidez: aurkitu funtzioaren puntu singularrak, eta zehaztu maximoak edo minimoak diren.

- puntu singularretan zuzen ukitzailea horizontala da, hau da, f'(x)=0 da. Beraz:

deribatu hau noiz izango da 0?

- hiru puntu horiek funtzioaren puntu singularrak dira. Max edo min diren jakiteko, inguruko balioak ordezkatuko ditugu funtzio deribatuan:

f'(-3)= - 60 (beherakorra)f'(-1)= 12 (gorakorra) f'(1)= -12 (beherakorra) f'(3)= 60 (gorakorra)

- Ondorioz: x = -2 minimoa da, x = 0 maximoa eta x = 2 minimoa.

Deribatuaren erabilerak 5/7

Etxea

• Funtzio baten tarte gorakorrak eta beherakorrak aurkitu

Funtzioaren puntu nabarmenak bilatzen baditugu, hau da, f'(x)=0 egiten duten x-ren balioak, beraien arteko puntuetan deribatuaren ikurra aztertzea nahikoa da gorakorra ala beherakorra den ikusteko. Horrela, tarte gorakorrak eta beherakorrak aurkitu ahal izango ditugu. Adibidez: aurkitu funtzioaren tarte gorakor eta beherakorrak.

puntu nabarmenak

Puntu horien arteko puntu batzuk aukeratu eta f'(x)-en ordezkatzen baditugu, zera lortuko dugu:

Deribatuaren erabilerak 6/7

Etxea

• Funtzioen optimizazioa

Funtzio bat optimizatzea, bere balio maximoa edo minimoa noiz lortuko den aurkitzea da, betiere funtzioaren testuinguruaren arabera. Horretarako, berriro ere, f'(x) = 0 noiz den bilatu beharko dugu.

Adibidez: Aurkitu bi zenbaki positibo, beraien batura 100 eta biderkadura ahal den handiena dela jakinda.

Biderkadura:

Biderkadura funtzio bat da, eta maximoa izateko, bere deribatuak zero izan behar du:

Beraz, bi zenbakiak 50 direnean lortzen da biderkadurarik handiena.Funtzio deribatuan 50 baino balio txikiago eta handiagoak ordezkatuz egiaztatu daiteke.

Deribatuaren erabilerak 7/7

Etxea

ARIKETAK: 314 orrian 1-2-3 327 orrian 13tik 21era 331 orrian AUTOEBALUAZIOA (6-7-8 ez)