Limiteak (BATXI1)

Funtzioen limiteak

ideia nagusiak

Ideia nagusiak

Home

Jakin beharrekoak

• Limitea puntu batean. Jarraitutasuna.

• Adar infinituak eta asintotak

• 0/0 indeterminazioa

• Limiteak infinitoruntz

Limitea puntu batean. Jarraitutasuna. 1/4

Etxea

Funtzio baten limitea puntu batean, demagun, a puntuan:

eta

Albo limiteak, ezker eta eskubitik hurbilduz:

Funtzio batek puntu batean limitea izan dezan, demagun a puntuan, ezker eta eskuin limiteak existitu eta berdinak izan behar dute:

Limitea puntu batean. Jarraitutasuna. 2/4

Etxea

Funtzio bat jarraia bada puntu batean, demagun, a puntuan, orduan hiru baldintza betetzen dira:

1 - existitzen da, eta finitua da 2 - f(x) definitua dago a puntuan, hau da, f(a) existitzen da 3 - f(x)-en limitea a puntuan bat dator f(a)-ren balioarekin, hau da: = f(a)

Eten motak

• puntu batean limitea finitua bada, baina jarraitasunaren beste bi baldintzak ez badira betetzen, etena saihesgarria dela esango dugu.

• puntu batean limite errealik ez badago (infinitua delako edo ezker eta eskubikoak desberdinak direlako), etena saihestezina izango da, eta jauzi finitua edo infinitua dagoela esango dugu.

Limitea puntu batean. Jarraitutasuna. 3/4

Etxea

Eten motak

Limitea puntu batean. Jarraitutasuna. 4/4

Etxea

Funtzio baten limitea x = a puntu batean kalkulatzeko prozedura orokorra:

• f(x) funtzioan x ordezkatu a. Zatika definitutuakoa bada, a-ren arabera erabaki zein adierapenetan ordezkatu. Eten puntuan bada, ezkerretik eta eskuinetik ordezkatu, eta emaitzak konparatu.
• balio erreal bat lortu badugu, bukatu dugu. +/-∞ atera bada, albo limiteak kalkulatu. Biak berdinak badira, limitea existitzen da, bestela ez.
• 0/0 motako indeterminaziora iritsi bagara, hau desegiteko beharrezko pausoak eman (hurrengo orrian)

ARIKETAK: 275 orrian 1-2-3 278 orrian 1 295 orrian 1etik 12ra 297 orrian 30, 31, 33.

0/0 indeterminazioa 1/2

Etxea

• P(x) / Q(x) , bi polinomien arteko zatiduraren limitea nola kalkulatu, 0/0 indeterminazioa sahiesteko:

0/0 indeterminazioa 2/2

Etxea

ARIKETAK: 296 orrian 11tik 15era.

Limiteak infinitoruntz 1/4

Etxea

Funtzio baten limitea X aldagaia infinitoruntz doanean, lau kasu eman daitezke:

1. kasua: limitea L balio erreal bat da.

2. kasua: limitea +infinito da (funtzioa etengabe handitzen doa)

3. kasua: limitea -infinito da (funtzioa etengabe txikitzen doa)

4. kasua: limitea ez da esistitzen (funtzioak oszilatu egiten du)

Limiteak infinitoruntz 2/4

Etxea

Funtzio baten limitea x infinitoruntz (edo -infinitoruntz) doanean kalkulatzeko prozedura orokorra:

• Funtzio polinomikoetan:

• Polinomikoen alderantzizkoetan:

Limiteak infinitoruntz 3/4

Etxea

• Funtzio arrazionaletan:

Adibidez:

• x -∞ runtz doanean: berdin jokatu, baina kontutan hartu mailarik handieneko x-ren berretzaileak eta koefizienteen ikurrak. Berretzaile bikoitiek x +∞-runtz eramango dute, eta bakoitiek -∞-runtz. Gero koefizienteek ikurrarekin bidertu beharko da.

Limiteak infinitoruntz 4/4

Etxea

ARIKETAK: 283 orrian 1-2-3 284 orrian 4-5 285 orrian 1-2 296 orrian 17tik 23ra

Adar infinituak eta asintotak 1/3

Etxea

Adar infinituak, etengabe urruntzen diren kurba zatiak dira, bai horizontalki bai bertikalki. Adar infinitu bat zuzen bati hurbiltzen doanean, zuzen horri kurbaten asintota esaten zaio. Asintotak horizontalak, bertikalak edo zeiharrak izan daitezke. Aurten horizontalak eta bertikalak bakarrik ikusiko ditugu.

Funtzio baten asintota bertikalak (A.B.)

Funtzioaren Definizio eremua eta etengunerik baduen aztertu. C punturen batean bere limitea +/-∞ baldin bada, x = c asintota bertikala izango da. Horrelako kasuren bat izango da:

Funtzioak C asintotaren inguruan duen posizioa ezagutzeko, C-ren oso gertuko balioak ordezkatuko ditugu bertan.

Adar infinituak eta asintotak 2/3

Etxea

Funtzio baten asintota horizontalak (A.H.)

Funtzioaren limitea X aldagaia + edo -∞ runtz doanean y = L balio batera hurbiltzen bada, y = L asintota horizontala izango da. Horrelako kasuren bat izango da:

y = L

Funtzioak L asintotaren inguruan duen posizioa ezagutzeko, x-ri balio oso handiak edo oso txikiak eman, (1000, 100.000... ), funtzioan ordeztu eta emaitza L-rekin konparatu, gainetik edo azpitik hurbiltzen zaion ikusteko.

Adar infinituak eta asintotak 3/3

Etxea

ARIKETAK: 287 orrian 1 297 orrian 24tik 29ra 299 orrian AUTOEBALUAZIOA